立体几何中平行与垂直的证明3.doc

高中数学专题复习讲座 关于求空间的角的问题例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证 四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形 BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形 AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由 故面BEDF与面ABCD所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120 求 (1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值 BD1与AC所成角的余弦值为 例3如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角 (1)求证 MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角 (1)证明 作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA 在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA 在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立 (2)解 设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去 sin=,MN与所成角为30 另法（向量法） 如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，设，则，且所以或所以，MN分别与、所成角相等 学生巩固练习 1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A B C D 2 设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A 30B 45C 60D 753 已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_ 5 已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证 二面角BPCD为直二面角 6 设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求 (1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小 7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角 (1)求证 平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小 参考答案1 解析 (特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角 答案 D2 解析 作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45 答案 B3 解析 在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 4 解析 设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60 答案 605 (1)解 因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB= PC= (2)解 如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角 CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为 (3）证明 设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG 在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角 另法（向量法） (略)6 解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 (3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2 另法（向量法） (略)7 (1)证明 取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD 又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD 平面ABD平面ACD (2)解 在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角 设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解 AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2 即二面角ABDC的大小为arctan2 另法（向量法） (略)高中数学专题复习讲座 关于求空间距离的问题例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求 (1)EF的长；(2)折起后EOF的大小 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz, 设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0) EOF=120例2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离 解法一 如图，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离 连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离 在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为 解法二 如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为 解法三（向量法）如图建立坐标系，则设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且则从而有 例3如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 解 (1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b, AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为 (2)解法一 平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离 在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh= 学生巩固练习 1 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D 2 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A B C 2.6 D 2.43 如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_ 4 如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_ 5 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图 (1)求证 平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离 6 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求 (1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积 7 如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F (1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 8 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a (1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 参考答案1 解析 过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案 A2 解析 交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案 C3 解析 以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案 a4 解析 显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD FG为EF与平面ABCD的距离，即FG= 答案 5 (1)证明 由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解 设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离 易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为 (3)解 由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于 6 解 (1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B1EAC的高，得B1Q=a7 解 (