华师版 12 二次函数与一元二次方程及不等式的关系新.ppt

二次函数与一元二次方程及不等式的关系 学习目标 1 通过探索 理解二次函数与一元二次方程 一元二次不等式之间的联系 2 能够运用二次函数及其图象 性质解决实际问题 提高用数学的意识 3 进一步养成综合解题能力 渗透数形结合思想 回顾 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的解的情况与 的关系 1 每个图象与x轴有几个交点 2 一元二次方程x2 2x 0 x2 2x 1 0有几个根 验证一下一元二次方程x2 2x 2 0有根吗 二次函数与一元二次方程 二次函数y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2的图象如图所示 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 一 探究 探究1 求二次函数图象y x2 3x 2与x轴的交点A B的坐标 解 A B在轴上 它们的纵坐标为0 令y 0 则x2 3x 2 0解得 x1 1 x2 2 A 1 0 B 2 0 你发现方程的解x1 x2与A B的坐标有什么联系 x2 3x 2 0 点燃智慧的火花 结论1 方程x2 3x 2 0的解就是抛物线y x2 3x 2与x轴的两个交点的横坐标 因此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 即 若一元二次方程ax2 bx c 0的两个根是x1 x2 则抛物线y ax2 bx c与轴的两个交点坐标分别是A B x1 0 x2 0 x 有两个交点 有两个相异的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 探究2 抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢 0 0 0 O X Y 结论2 抛物线y ax2 bx c 抛物线y ax2 bx c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况说明 1 0一元二次方程ax2 bx c 0有两个不等的实数根 与x轴有两个交点 相交 抛物线y ax2 bx c 2 0一元二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根 与x轴有唯一公共点 相切 顶点 抛物线y ax2 bx c 3 0一元二次方程ax2 bx c 0没有实数根 与x轴没有公共点 相离 归纳 y ax2 bx c a 0 与x轴交点坐标 0有两个交点 0有一个交点 0无交点 即y 0时方程ax2 bx c 0 a 0 的解就是y ax2 bx c a 0 与x轴交点的横坐标 y ax2 bx c a 0 与y轴交点 即x 0时 y的值 y ax2 bx c a 0 与直线y kx b的交点 即解方程ax2 bx c kx b 分 0有两个交点 0有一个交点 0无交点三种情况 做一做 画函数的草图 根据图象回答下列问题 图象与x轴交点的坐标是什么 不看图象你能求出交点坐标吗 这里x的取值与方程有什么关系 3 当x取何值时 y 0 当x取何值时 y 0 4 能否用含有x的不等式来描述 3 中的问题 议一议 能否利用二次函数y ax2 bx c的图象寻找一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 的解 已知二次函数y x2 3x 4的图象如图 1 方程 x2 3x 4 0的解是 2 不等式 x2 3x 4 0的解集是 3 不等式 x2 3x 4 0的解集是 巩固练习 x y o 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 X 1 x 4 X4 1 x 4 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点的横坐标为方程ax2 bx c 的 根据图象可求出不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0的解 先观察图象 找出抛物线与x轴的交点 再根据 写出不等式的解集 规律总结 解 交点的坐标 观察上图 1 2 3 分别表示二次函数y x2 x 2 y x2 2x 1 y x2 2x 2并回答下列问题 1 每个图象与x轴有几个交点 交点坐标分别是什么 2 你知道图象与x轴的交点个数与什么有关 探讨 1 2 3 结论 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点情况可以有对应的一元二次方程的根的判别式判定 抛物线与轴有 个交点 抛物线与轴有 个交点 抛物线与轴有0个交点 已知抛物线的解析式为y ax2 x 当a取何值时 1 图象与x轴有两个交点 2 图象与x轴有一个交点 3 图象与x轴无交点 基础练习 基础练习 1 不与x轴相交的抛物线是 Ay 2x2 3By 2x2 3Cy x2 3xDy 2 x 1 2 3 2 若抛物线y ax2 bx c 当a 0 c 0时 图象与x轴交点情况是 A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定 D C 3 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 4 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 1 1 16 一课一测P18 7 P19 14 19 加强练习 1 已知二次函数y ax2 ax 3x 1的图象的最低点在x轴上 则a 2 已知抛物线y x2 k 1 x 3k 2与x轴交于两点A a 0 B b 0 且a2 b2 17 则k的值是 1或a 9 2 解 因为二次函数y x k 1 x 3k 2的图像与x轴交于A a 0 B b 0 故 a b是x k 1 x 3k 2 0的两个实数根故 a b k 1 ab 3k 2 k 1 4 3k 2 0因为a b 17即 a b a b 2ab 17故 k 1 2 3k 2 17故 k 6或k 2因为k 6时 k 1 4 3k 2 15 0故 k 2 回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点问题 可以转化为一元二次方程有无实数根的问题 可从计算根的判别式入手 小结 你学到了什么 谈谈你的收获 达标测试 1 已知二次函数y x2 mx m 2 求证 无论m取何值 抛物线总与x轴有两个交点 2 已知二次函数y x2 2kx k2 k 2 1 当实数k为何值时 图象经过原点 2 当实数k在何范围取值时