轴对称与等腰三角形复习资料.doc

博士教育 李老师 衡阳 轴对称图形知识点睛1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称如下图1，是轴对称图形2.两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图2，与关于直线对称，叫做对称轴和，和，和是对称点 图1 图23.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的4.对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线5.线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线6.线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若点C在直线m上，则ACBC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.7、角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.8.成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴9.成轴对称的两个图形的主要性质：成轴对称的两个图形全等如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想10.轴对称变换应用时有下面两种情况：图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；图形中有垂线条件时，可考虑用此变换11.等腰三角形1 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3 等腰三角形的性质：(1)两腰相等(2)两底角相等(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴4 等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于6 等边三角形的判定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形(2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形7 等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等等腰直角三角形的判定：(1)顶角为的等腰三角形(2)底角为的等腰三角形定理及其推论的作用。8. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。.9. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。轴对称图形习题1.下列图形中是轴对称图形的是 ( )2.下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A B C D3.下列各种图形不是轴对称图形的是( )4.如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称5. 如图，分别以AB为对称轴，画出各图形的对称图形BABA6.如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？线段垂直平分线的性质习题1.如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）EA6cm B8cmBC10cm D12cm2如图1，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是 3.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分. 求证：. 4.如图，已知：在中，DE垂直平分线AC交AB于D，交AC于E. 求证：. 5. 如图，ABC中，BAC=1100，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足.(1) 求DAF的度数.(2)如果BC10cm，求DAF的周长.角平分线的性质习题一基础题1如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是 2如图，在ABC中，B=300，C=900，AD平分CAB，交CB于D，DEAB于E，则BDE= = 3如图，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分别为E、F、G，且PF=PG=PE，则BPD= 4如图，已知ABCD，0为CAB、ACD的平分线的交点OEAC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于 5.如图，已知点M、N和AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到AOB的两边的距离相等6如图，ADDC，BCDC：，E是DC上一点，AE平分DAB如果BE平分ABC，求证：点E是DC的中点；等腰三角形的轴对称性习题(1)1等腰三角形是_，它的对称轴是_2等腰三角形的两个底角_，它的_、_、_互相重合，简称_3在ABC中，AB=AC， (1)如果A=70，则C=_，B=_； (2)如果A=90，则B=_，C=_； (3)如果有一个角等于120，那么其余两个角分别是_； (4)如果有一个角等于55，那么其余两个角分别是_；4(1)如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为_；(2)如果等腰三角形的周长为14，腰长为6那么底边长为_； (3)如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为_5在ABC中，若AB=AC，BAC=120，ADBC，D为垂足，则BAD=_6若等腰三角形的一个外角为70，则它的底角为_度7在等腰三角形ABC中，A=4B (1)若A是顶角，则C=_； (2)若A是底角，则C=_8若等腰三角形的两边分别是3 crn和7 cm，则这个三角形的周长是_9若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为_10若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则其顶角的大小为_11如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，A=20，则FEM=_12若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( )A50 B80 C65或50 D50或8013如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长是 ( ）A15 B16 C8 D714某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( )A9 cm B12 cm C15 cm D12 cm或15 cm15如图6，在ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB=10 cm，并且ABD的周长为23cm，求ABC的周长16如图12，在ABC中，点D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求BAC的度数17如图13，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE请问BE和CD有怎样的关系，请说明理由ABCDE图1.5-2018、已知：如图1.5-20，点D、E在ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：AB=AC19利用一把有刻度的直尺，按下列要求画图： (1)在图(1)中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D画直线AD即画出等腰三角形ABC的对称轴； (2)在图(2)中画AOB的对称轴，并写出画图的步骤20.（1）已知等腰三角形的周长为12，腰长为，求的取值范围 （2）已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数21.在中，求22.的两边和的垂直平分线分别交于、，若，求23. 如图，已知P、Q是ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度数。 等腰三角形的轴对称性习题(2)1在ABC中，A=100，B=40，则ABC是_三角形2如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，CD=1005，则AB=_3如图，C=36，B=72，BAD=36找出图中所有的等腰三角形_4如图，在ABC中，点D、E在BC上，且1=B，2=C，BC=10 cm，求ADE的周长5如图，在ABC中，AD平分BAC，E是CA延长线上的一点，ECAD，交AB于点F求证：AE=AF6如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点F，过点F作DFBC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=2 009，则线段DE的长为 多少？ 7如图，DAC是ABC的一个外角，AE平分DAC，且AEBC，那么AB=AC吗?为什么?8如图，BC=3，ABC和ACB的两条角平分线相交于点O，OEAB，OFAC求OEF的周长9.如图，在中，、分别是、上的点，与交于点，给出下列四个条件：；(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第小题中的一种情形，证明是等腰三角形10如图，分别平分，问：图中有几个等腰三角形？过点作，如图，交于，交于，图中又增加了几个等腰三角形？如图，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段与、有什么关系？如图，平分，平分外角交于，交于线段 与、有什么关系？如图，、为外角、的平分线，交延长线于，交 延长线于，线段与、有什么关系？ DABCFE图1.5-1611、如图1.5-16，在ABC中，AB=AC，AFBC，点D在BA的延长线上,点E在AC上，且AD=AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论等腰三角形的轴对称性习题(3)1等边三角形是_图形，并且有_条对称轴等边三角形的每个角等于_2如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60，那么这个三角形是_3如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，EDC=_4在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D、E在BC上，且BD=AD，CE=AE判定ADE的形状，并说明理由5如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10 cm (1)求BE的长；(2)BD=ED吗?为什么?6如图，ABC是等边三角形，O为ABC内任意一点，OE AB，OFAC，分别交BC于点E、F 求证：OE