多边形的镶嵌.doc

探究多边形的镶嵌人大附中 陆剑鸣 100080用一些多边形既不重叠又无空隙地将平面完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形镶嵌平面（或覆盖平面）问题. 依照这个镶嵌的定义，在一点处能够进行多边形镶嵌的条件是：这一点处各多边形内角和为360，各多边形的边长相等. 下面我们从特殊到一般，从简单到复杂对“多边形镶嵌”问题进行一些初步的探究，能得到什么结论并不重要，重要的是在探究过程中体会提出问题和解决问题的方法.从最特殊情况入手，探究以一种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题1.问题1：哪些正多边形能够单独进行平面镶嵌呢？由于一点处各内角和为360，所以考虑正多边形内角是360的倍数的情况，进而得出以下结论：结论1：在一点处用6个正三角形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（3，3，3，3，3，3）表示.即用正三角形（等边三角形）可以平面镶嵌，如图1所示；结论2：在一点处用4个正四边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（4，4，4，4）表示，即用正四边形（正方形）可以平面镶嵌，如图2所示；结论3：在一点处用3个正六边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（6，6，6）表示，如图3所示. 只有以上三种正多边形可以平面镶嵌吗？其它的正多边的情况又如何呢？由此提出问题2.问题2：除正三、正四、正六边形外，其它正多边形能不能镶嵌平面呢？请你说明理由.结论4：正五边形不能单独镶嵌平面，这是因为若在一点处摆放3个正五边形，那么一点处内角和为，若在一点处摆放4个正五边形，那么一点处内角和为，如图4所示； 图1 图2 图3 图4结论5：正边形均不能镶嵌平面，因为在一点处各内角的和不等于360. 以上的探究，我们用的是“实验”的方法.如果我们应用代数方法，有如下的推理： 设一点处用个正边形镶嵌，则有的整数. （*）.这就证明了，只用一种正多边形来镶嵌平面，只存在三种情况. 比较以上探究过程中的两种方法，用代数方法简单明了.其中方程（*）为不定方程，它的解法是方程两边同加4，之后将左边因式分解，进而得到方程的解.由正多边形想到一般多边形，提出问题3.问题3：哪些多边形可以单独进行平面镶嵌呢？结论6：任意三角形可以单独镶嵌平面，这是因为三角形内角和为180，在一点处用6个全等的三角形可以镶嵌， 进而扩展到整个平面，如图5所示；结论7：任意四边形可以单独镶嵌平面，这是因为四边形内角和为360，在一点处用4个全等的四边形可以镶嵌，进而扩展到整个平面，如图6所示；结论8：边形均不能单独镶嵌平面.说明某个多边形不能单独镶嵌平面，只需举一个反例即可.这里以五边形为例，若五边形的内角分别为100，100，100，119，121，可以验证其中任意两个角、三个角、四个角的和均不等于360，所以单独用这个五边形不能平面镶嵌.其它边形均不能单独镶嵌平面，请同学们自己举反例说明. 下面探究以两种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题4.问题4：如果用两种边长相等的正多边形，哪些正多边形能够平面镶嵌呢？我们可以将某些正多边形的角度都列出来，然后组合各角和为360.这是前面提到的“实验”的方法.正多边形的一个内角三四五六八九十十二6090108120135140144150如，所以在一点处可用边长相等的3个正三角形和2个正方形镶嵌；我们还可以借助于代数方法求解.设一点处用个正三角形，个正方形平面镶嵌，为正整数.则.这里要求方程的整数解，由于方程系数比较简单，我们直接观察就可以得到.结论9：用正三角形和正方形可以平面镶嵌，用符号（3，3，3，4，4）表示，如图7所示. 图5 图6 图7用同样的方法还可以得到以下结论：结论10：用正三角形和正六边形可以平面镶嵌，有两种情况（3，3，6，6）如图8所示和（3，3，3，3，6）如图9所示.结论11：用正四角形和正八边形可以平面镶嵌，用符号（4，8，8）表示，如图10所示.结论12：用正五角形和正十边形虽然能够在一点处镶嵌（各角和构成360），但是它们不能镶嵌平面，如图11所示. 图8 图9 图10 图11 用两种正多边形的镶嵌就有以上五种情况.下面同学们会自然提出我们该探究以三种正多边形为基础的平面镶嵌.由于以三种边长相等的正多边形为基础的平面镶嵌比较复杂，我们这里只举两个“实验”得出的例子.有兴趣的同学可自己“实验”探究.结论13：由于，所以（3，4，4，6）可以镶嵌平面，如图12所示结论14：由于，所以（4，6，12