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利用观察归纳猜想 借助符号严密演绎 数学高考中数列题的命题和答题 任子朝 2002年数列试题编拟的基本目的是考 查代数推理能力 以考查演绎推理为主 兼 顾归纳推理 在可能的范围和程度考查数学 归纳法 以往在考查数学归纳法时存在这样 的情况 即对命题在从n k到n k 1的 推证过程中 考生并没有真正理解题目的要 求 因为题目已经给出了大于 小于或等于 的关系 只是形式地套用归纳法的模式 证 明已知的关系 因此这次编拟试题的基本的 原则一是尽量不出现 用数学归纳法证明 的字样 而在证题过程中自然用到数学 归纳法 以避免套用之虞 二是尽量不出现 变量间的大于 小于或等于的关系 要求考 生自己判断 这样就需要对题目透彻的理 解 对结论准确的判断 理科数列试题在编 拟之初的原型是这样的 设数列 an bn 满足 an 1 a 2 n nan 1 bn 1 b 2 n nbn 1 设a1 2 求a2 a3 a4并由此猜 想 an 的通项公式 当a1 3 b1 4时 比较an与bn 的大小 并证明你的结论 在第一问中 由递推公式an 1 a 2 n nan 1求出数列的前几项是大纲对递推数 列限定的要求 这样设问完全符合大纲的规 定 试题在此基础上进一步发展 但并没有 要求考生求出数列的通项公式 而是猜想数 列的通项公式 这是在不超纲的前提下的创 新设计 考查了归纳猜想的能力 数列an 1 a 2 n nan 1对首项极其敏感 当a1 2 时 很容易定出通项公式an n 1 但当 a1 2时 an的增长速度很快 很难求出通 项公式 当a1 3 b1 4时 在进行an与 bn大小的比较时 由于存在一个变化较快的 负项 nan和 nbn 因此an与bn的大小关 系并不能简单的判定 一个比较常用的方法 就是作差 应用数学归纳法进行证明 因此 通过这样的题型设计 让学生比较自然地想 到应用数学归纳法 同时要求考生先进行判 断 再进行证明 达到考查数列和数学归纳 法的目的 本题第二问的解题思路是 先证明当a1 3时 an n 1 当b1 4时 bn n 1 用数学归纳法证明 1 当n 1时 a1 3 1 1 b1 4 1 1 2 当n k时 设ak k 1 bk k 1 则当n k 1时 ak 1 ak ak k 1 ak 1 k 2 1 中学数学杂志 高中 2002年第5期 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved bk 1 bk bk k bk 1 k 2 根据 1 2 对所有n 1 an n 1 bn n 1 再用数学归纳法证明an bn 1 n 1时 a1 3 4 b1 2 当n k时 假设ak 0和ak bk k 0知 bk 1 ak 1 bk ak bk ak k 0 根据 1 2 对所有n 1 an bn 在进一步的讨论中感到 同样一个关系 式an 1 a 2 n nan 1 bn 1 b 2 n nbn 1 分别用两个字母给出 显得重复 因此提 出了这样的改进意见 设数列 cn 满足 cn 1 c 2 n ncn 1 设c1 2 求c2 c3 c4并由此猜想 cn 的通项公式 记数列 cn 当c1 3时为数列 an 数列 cn 当c1 4时为数列 bn 比 较an与bn的大小 并证明你的结论 还有一种意见认为 考查中要求考生首 先证明当a1 3时 an n 1 当b1 4 时 bn n 1 担心可能有些考生自己想不 到这一过渡 而造成整题的困难 因此建议 增加了一问作为提示 设数列 an bn 满足 an 1 a 2 n nan 1 bn 1 b 2 n nbn 1 设a1 2 求a2 a3 a4并由此猜 想 an 的通项公式 证明 当a1 2时 an n 1 当a1 3 b1 4时 比较an与bn 的大小 并证明你的结论 将两种意见综合起来有 设数列 cn 满足 cn 1 c 2 n ncn 1 设c1 2 求c2 c3 c4并由此猜想 cn 的通项公式 证明 当c1 2时 cn n 1 记数列 cn 当c1 3时为数列 an 数列 cn 当c1 4时为数列 bn 比 较an与bn的大小 并证明你的结论 这样改造以后题目比较简洁了 但考查 内容还是有些重复 两次考查数学归纳法 显然没有必要 因此建议删除重复的考查部 分 增加新的考核内容和要求 将考查目标 进一步拓展 延伸 一个方案是 证明 6 n k 1 1 ak 1 1 1 2 这 个结论形式比较新颖 证明方法多样 过程 中还要进行必要的放缩 但要证明这个结 论 按照下面的方法 必须先证明当a1 3 时 an an 1 2 用数学归纳法证明 1 n 2时 a2 a1 a1 1 1 2a1 1 a1 1 2 当n k时 假设ak ak 1 2 则当n k 1时 由假设ak ak 1 2 得 ak ak 1 2 ak 2 2 2 a1 2 k 1 2k 1 ak 1 ak ak k 1 ak 2k 1 k ak 2 根据 1 2 对所有n 2 an an 1 2 证明 6 n k 1 1 ak 1 1 1 2 2 中学数学杂志 高中 2002年第5期 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 1 ak 1 1 1 ak ak k 1 ak k 1 ak k 1 ak k 1 ak k 1 6 n k 1 1 ak 1 1 6 n k 1 1 ak k 1 ak k 1 1 a1 1 1 a1 1 a2 2 1 a2 1 1 an 1 n 1 1 an 1 n 2 1 an n 1 an n 1 因为ak ak 1 2 则 1 ak k 1 ak 1 k 2 k 2 3 N 于 是 6 n k 1 1 ak 1 1 1 a1 1 1 an n 1 1 a1 1 1 2 当然还可以用下面的方法证明 但原来 的结论应加强为 当a1 3时 an n 2 ak 1 ak ak k 1 ak k 2 k 1 2ak 1 ak 1 1 2ak 2 ak 1 ak 1 1 2 k a1 1 6 n k 1 1 ak 1 1 6 n k 1 1 2 k a1 1 1 a1 16 n k 1 1 2 k 1 2 还有一种方案是证明 6 n k 1 1 ak 1 1 2 ak ak 1 ak 1 k 1 1 ak 1 k 1 2 k 1 1 2ak 1 1 ak 2 k 1 a1 2 k 2 2 1 2 k 1 a1 1 1 A 1 1 ak 1 1 a1 1 2 k 1 k 2 B 6 n k 1 1 ak 1 1 1 a1 6 n k 2 1 1 a1 1 2 k 1 1 1 a16 n k 1 1 2 k 1 2 1 a1 1 2 比较各种方案发现 最后一个方案可以 比较顺畅地应用已有结论 当a1 3时 an n 2 从 A 式到 B 式的过渡也比较 自然 最后权衡各种考虑 确定应用最后一 个方案 同时 在第一问中加入 一个通项公 式 因为只由数列的前几项a2 a3 a4猜想 数列的通项公式 其通项公式是不确定的 考生还可有其他的猜想 这样提问理论上比 较严谨 也给考生以发挥的空间 第二问由 过去的 证明 当a1 2时 an n 1 改为 证明 当a1 3时 an n 2 因为第二 和第三问利用共同的条件 当a1 3时 将 其合并为第二问 其中附设两个小问 为避 免考生因为不理解求和符号 6 而影响解 题 将 6 n k 1 1 ak 1 1 2 改为 1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 1 2 除了参考答案给出的解法 本题还有其 他的解法 假设n k时 ak k 2 证 明n k 1时成立 1 利用二次函数性质 ak 1 k 3 a 2 k kak k 2 k k 2 4k 8 2 0 所以ak 1 k 3 ak 1 a 2 k kak 1 ak k 2 2 k 2 4 1 当ak k 2 时 二次函数 为增函数 ak 1 2k 5 k 1 2 2 利用条件及不等式缩放 ak 1 a 2 k kak 1 k 2 ak kak 1 2ak 1 2 k 2 1 2k 5 k 3 ak 1 a 2 k kak 1 a 2 k k 1 ak 1 k 2 ak k 1 ak 1 ak 1 k 3 1 当k 1时 由 ak k 2 得 ak 1 a 2 k kak 1 k 2 ak kak 1 2ak 1 所以1 ak 1 2ak 2 2 ak 1 所以 1 1 ak 1 1 2 1 ak 1 1 2 2 1 ak 1 1 1 2 k 1 a1 1 所以 1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 1 a1 1 1 2 1 a1 1 1 2 2 1 a1 1 1 2 k 1 1 a1 1 1 1 a1 1 1 2 1 2 2 1 2 k 1 2 1 a1 2 1 3 1 2 2 直接猜测 1 1 an 1 2 n 1 并用数学 归纳法证明 在考试中 考生比较典型的错误有 审题错误 将递推关系an 1 a2n nan 1 看成an 1 a 2 n n 1 an 1 用归纳法证明an n 2 1 数学归纳法的三段表述不明 2 不会使用归纳假设 3 对数学归纳法的论证思想实质不理 解 如有的考生这样证 验证a1 3成立 假设n k时 ak 1 k 1 2 证明n k 1时成立 这样证明 漏了n 2时的验证或证明 还有考生假设n k时 ak k 2 证 明n k 2时成立 这样证的考生不理解 递推成立的前提假设条件 此不等式证明有个别满分者 但大多数考生没能得分 主要问题在于 1 试图用数学归纳法证明 1 4 1 5 1 n 3 1 2 但没有成功 2 试图用