多重复化高斯——勒让德积分公式及其应用.pdf

第 3 6卷 第 5期 2 0 0 0 年 1 O月 兰州太学学 报 自 林 科学l 匮 J o u r t f La 昌 h u Un v e r s L t y Na t u r a l S c i e n c e s Vo I 3 6 No 5 Oc t 2 000 文章 编号 0 4 5 5 2 0 5 9 2 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 5 多重复化 高斯一 勒 让 德积 分公 式及 其应 用 张 冠 茂 兰 州大学 信 息科学 与 工 程学 院 电子 与信 息科 学 系 甘肃 兰 州7 3 0 0 0 0 摘蔓 根据 物理 学 研 究 的实际 需 要提 出 了多 重 复 化高 斯 一勒 让 德 G a u s s I e g e n d r e 积 分 方法 井 给出了与之相关的一组积分计算公式 经检验 其实际使用社果是令人满意的 完全可以达到工程 计 算 所 要 求 的 髓 毛 一 关麓调 数值计算 多重复化恼斯一勒让德积分方法 多童复化高斯一勒让德积分公式 中田 分类号 02 4 1 4 献 标 识 码 A O 引 言 通常 绝大多 数物 理问题 中所涉及 的实 际积分是 难 以直接 给 出显式解 析解 的 这 样的情 形 在工 程 电磁场的 求解 问题 中是大 量 存在 的 此处 假设 已比较幸运 地找到 了这样一 个初级解 但 是一 个繁杂 的积分通 式 显 然 要想做 进 一步 的解析 分析 已无可能 所 以必 须采 用有 关 的数值 积分算 法 不 失一般性 首 先探讨 二重 三重 复杂积分 的数 值求解 方法 推导 出与之相对 应的多 重复化 高斯一 勒让 德积分公式 然后 向高维情 形加 以推广 1 多重复化高斯一 勒让 德积分 数值计 算公式 的理论推导 一 般地 二重积 分 的被积 函数形式 可设为 二 囫 b j f p D r l f S D b b I f 二 酬 S D 口 b c 图 I 二重 积分 域 的 3种 可能取 法 FL g 1 Th r e e p r o b a b l e s i t u a t i o n o f t h e t wo d i me n s i o n i nt e g r a l d o ma i n 这里 P一 D是积 分域 p 在 D上可 以是分段光 滑 的函 数 由于积 分本 身可划分 为内 层积分和外 层积分 其 中外层 积分 的上 下限必 定是数值化 的 而内层积分 的上 下限既可能 是敬 收 稿 日期 1 9 9 9 1 2 1 4 作 者 简介 张 冠茂 1 9 7 3 一 男 助教 硕 士 维普资讯 第 5期 张 冠 蔑 多重 复化 高斯 一 勒 让 堪积 分公 式及 其 应 用 3 1 值化 的 也 可能是代数化 的 但不 外乎 图 1所示的 3种情形 在此将讨论最 一般 的情 形 即 内层 积分限 是代数 化的情形 如图 1 C所示 至于其它 两种情形 只不过是这 一种情形 的蜕化形 式罢 了 相 对而言是 比较简单 的 二重积 分通 式 可表为 G l l f p d a 2 在直 角坐标 系下 令该 积分的 外层积分上下 限分别 为 6 a 内层积 分上下 限分别 为 妒 则 式 2 可改写为下列 分层形式 G l 1 f x y d y d x 3 若令 G l g x d x 4 这里 g l f x y d y 5 可见 式 4 是 一般的单重积 分 数 值 积分精 度的 高 低主 要 取决于 积 分方 法与 被积 函数 在积 分域 上 的变 化 情况 G L 即 高斯 一 勒让德积分的简称 积分公式对 一1 1 上的积分是有相当准确度的 比如 8 点关系 可达 1 5 阶的代 数精度 对于 大跨度情形 如 有 各种 可化为域 一 1 1 的办法 为 了在 一般 情 况下 能 够求得 高精 度 的积分值 以及达 到较 高的 代数 精度 在 G L数值 积分 中必须 引入 复 化处 理技术 针对二重 积分 采取 由外而里 的逐层 分析 办法 以得到 求 其数值 积分解 的通 用模 式 对 于 式 4 运用复 化技术 将区间进行等 分 以使其每个 子区间均 不超过跨 度 2 不妨 令 o 6 其 中 m r 一 n t 此处符号表 示取 整运算 这里 m O 1 2 3 以此将 胡 区间进行 m 等 分 故 单位 区间长度 为 6一a m 但为 了避 免 m 0的情形 不妨给等分数 加 1 以使 其最 小 为 1 于是有 A x 一 6 一 a m 1 7 则积分 域各分 点关 系可统 一表 为下述形式 a J o 1 2 3 m 1 8 易知 a m 1 Ax 现 在共有 1个 单元 区间 m 2个 分点 于是式 4 的积 分可 表 为 G 妻 x d x 上式共有 m 1个子 积分 由于 j Ax n 1 的区间跨度 为 A 6 一 口 1 1 故完 全可 以采用上下限变 换的方法 使之 映射到域 一 1 1 中 以采 用 G L积分公 式进行计 算 现取 以上 1个 子积分 中的任一个 区间 即 啪 一 E x 1 1 0 令 G J I g d 1 1 维普资讯 兰 州 太 拳 学 报 自 燕 科 学 版 第 3 6卷 再做积 分变 换 z z 一 x t 2 则有 1 2 b G i 牮 f g F 垒 d f 1 3 采用具有 2 q一 1阶代 数精度 的 Ga u s s L e g e n d r e积分公 式 则 有 q个 积分节 点 取为 i 1 2 3 g 并用 表 示对 应 的 G L积分 系数 这 里 及 的取值可参 相关文献 于是 上 述 单元积分 的数值 积分解 为 崛 竽 奎n 竽 1 1 4 现将整个 区间 的 1个子 区间全 部进行 以上 处理 则 整个 积分 的结果 为 G b G 等 g 1 5 其中 一 z 1 1 6 以上 结果仅是 所求二重 积分的外 层积分部 分的值 对 于二重 积分来说 接 下来必须 求 出每一个 g的值 根据 式 5 的定义 可知 j d 1 7 若将 z 分别 看做 口 6 同样可得类 似式 1 5 的数值 积 分表达式 如下 鹏 砉 相关参数 为 n 一 其 中 一 0 1 2 3 A 一 1 Y 1 1 2 这里 的积分节点关系可统一表为下述形式 Y J 研 f z 0 1 2 j 1 1 9 现将 I 8 式代入 1 5 式 可得下列数值积分的最终结果 G 一 壹 妻 2 奎 壹 2 o 对 的求 和和对 的求和无关 故 可 以交换 于是 G 一 等壹 壹 妻 2 壹 2 1 上式的特倒是 若二重积分的内层积分上下限可令为 一f 此时一 Ay O s n 1 于是式 2 1 的结 果改 写为 G一 y 2 2 对 于单重积 分则有 维普资讯 第 5期 张 冠 麓 t 童忆 高斯 一 勘 让琏积 分 公 式 及 鼻应 用 3 3 G 2 3 i 1 对 于三重 积分 则可有 G 垒 2 4 t l 一 1 k 1 J 一日 一日 此处 代表 一 1 2 循着以上思路 可以将上式推广到三重以上的积 分 这里不再 赘述 2 多重复化高斯 一 勒让德积分公式的性能验证及应用 为了验证 以上各公式的可靠性及准确程度 在这里选取 3种被积函数形式 通过计算机实 际编程 处理 以 比较 其 数值 积分性 能 取 口 8 对应 的 i 一 1 2 3 q参 见相 关文 献 1 菲涅尔积 分 c o s 一专 试求F r e s n e l 积分I c o s 一吉 d x 查 有关 数学用表 其 准确积分 为 G 0 5 7 6 9 5 7 8 9 8 5 2 运用 G L多重复 化积分方 法求得结果为 G 0 5 7 6 9 5 7 8 9 9 0 5 9 9 8 8 7 2 二维 面 积 分t 一c o s 3 x 4 y 试 求 积 分I l c o s 3 4 y d x d 可求得其准确积分为 G p 一 s i n 1 2 9 5 9 7 0 1 6 5 4 4 3 8 3 3 8 4 1 0 运 用 G L多重 复化积分 方法求得 结果 为 G 9 5 9 7 0 1 6 2 3 5 4 7 2 6 0 4 1 0 3 线性 天线 振子辐 射问题 中的磁 矢势计算 示倒 试求下列 形式积分 1 z 0 27 0 D f 方向角 J 圈 2 线性 摄 于 夭线 砬 矢势 于 午面 分 布计 算 F i g 2 Nume r i c a l r e s ul t o f t h e l i n e a r d i p ol e a nt e n n a s ma gn e t i c w c t ot po t e n t i a i n t h e v e r t i c a l p l a n e 其中参 数取 为 口 凰 厢 砥 1 0 i 1 0 5 l o g n 9c 维普资讯 兰 州 大 学 学 报 自 然 科 学 版 摹 3 6卷 计算结果 参见 图 2所示 3 结束语 由 以上若 干例子 可 以看 出 多重复 化高斯 一 勒让 德数值积 分 方法 有 着相 当高的积 分精 度 它完 全可 以满足许多实际 工程 积分 问题 对于计算精 度的特 殊需 要 所以在 众多的科学研究 领 域中必将具 有广泛的应用前 景 参考文献 1 李庆 扬 王能超 易大义 数值 分 析 第 3版 M 武 汉 华 中理 工大 学 出版 社 1 9 8 6 1 3 8 1 3 9 2 3 李斌 籁 天 线 原理 与应 用 D 兰 州 兰 卅 大 学 出版 社 1 9 9 3 4 6 4 7 M u l t i pl e Co m pl e x Ga us s Le g e ndr e I n t e gr a l For m u l a e a nd Appl i c a t i o n Z 甜 d De p a r t me n t o f El e c t r o n i c s 8 L I n f o r ma t i o n S c i e n c e Sch o o l o f n f o r ma t i o Sc i e n c e Te c hn o l o g y La n z h o u Uni v e r s i t y 1 a n z h o u 7 3 0 0 0 0 Ch i n a Ab s t r a c t A me t h o d n a me d t h e M u l t i p l e C mp l e x Ga u s s Le g e n d r e i n t e g r a l i s i n t r od u c e d t 0 s o l v e t h e d i f f i c u l t i e s o f t h e n u me r i c a l c a l c u l a t i o n i n t h e fi e l d s m u l t i p 1 e i n t e g r a l t o me e t t h e n e e d s o f t h e p h y s i c s r e s e a r c h a n d a g r o u p o f c a l c u l a t i o n f o r mu l a e a r e s l s 0 d e d u c e d Th e n e w me t h o d h a s b e e n p r o v e d e f fic i e n t i n p r a c t i c a l u s e b y s t r i c t t e s t a n