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第5章信号和权值向量空间5 1目标5 2理论和实例5 2 1线性向量空间5 2 2线性无关5 2 3生成空间5 2 4内积5 2 5范数5 2 6正交性5 2 7向量展开式5 3小结5 4结束语 5 1目标从第3章和第4章可以看出 将神经网络的输入 输出以及权值矩阵的行作为向量看待是非常有好处的 这一章将详细研究这些向量空间 并且复习一些对分析神经网络十分有用的向量空间性质 5 2理论和实例5 2 1线性向量空间定义一个线性向量空间X是一组定义在标量域F上且满足如下条件的元素集合 向量 1 一个称为向量加的操作定义为 2 3 4 存在惟一一个称为零向量的向量 对于所有的 有 5 对于每一个向量 在X中只有惟一一个被称为 满足 6 一个称为向量乘的操作定义为 对所有的标量 以及所有的向量 有 7 对于任意的和标量1 有 8 对于任意两个标量 以及任意的 有 9 10 5 2 2线性无关线性无关如果 当且仅当每个ai均等于零 那么称是一组线性无关的向量 5 2 3生成空间假设X是一个线性空间 且是X中一般向量的子集 该子集能够生成X 当且仅当对每一个都存在一组标量 满足也就是说 如果空间中的每个向量都能写成该子集中向量的线性组合 那么这个子集就能够生成一个空间 基集X的基集是由生成X的线性无关的向量所组成的集合 5 2 4内积内积任何满足如下列条件的关于的标量函数都可以定义为一个内积 1 2 3 对于中的向量而言 其标准内积为 对定义在 0 1 区间内所有连续函数的集合C 0 1 而言 5 2 5范数范数如果一个标量函数满足一下一些性质 则称其为范数 角度5 2 6正交性正交性如果两个向量 满足 那么说这两个向量是正交的 Gram Schmidt正交化方法假设有n个线性无关的向量 如果希望通过这些向量得到n个正交向量 那么 或投影是在向量上的投影 标准正交向量5 2 7向量展开式向量展开式如果向量空间X的基集为那么任意有如下惟一的向量展开式 所以 有限维向量空间中的任意向量都可以用一列数来表示 X x1x2 xn T 互逆基向量互逆基底 5 3小结线性向量空间向量之间的夹角线性无关正交性生成空间向量展开式内积互逆基向量范数 RTB I其中B v1v2 vn R r1r2 rn RT
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