加强比例的一种应用.doc

宗旨：投稿加强比例的一种应用鲁思顺（山东临沂师范学院数学系 邮箱： 山东临沂 276005）摘要 本文给出了一种加强比例两筛法,从而证明了偶数表为两素数和的式子个数不小于.关键词倍数含量，重叠，覆盖，互补相等比例，两筛法 引言 偶数表为两自然数和的式子共有种形式,记作:其中为有序对偶集合 如果把中的加数是合数及的式子都筛除干净,若还有剩余的式子,就说明偶数能表为两素数之和.1、简单比例单筛：大家知道,在中,自然数的倍数个数有或 (为去尾取整). 定义1：中数的个数与自然数p的比值，叫做自然数的倍数含量。易知，的倍数含量与成正比例关系，的倍数个数与的倍数含量的正负误差的绝对值小于1。特别说明：同时也表示至少个的倍数的集合，根据定义1，在中，非自然数的倍数（含量）为。根据容斥原理及定义1，在中的个数，个素数的倍数（含量）是：非的倍数（含量）是：=引理1 (重叠比例定理) 在里的倍数（含量）中, q的部分倍数（含量）占有. 证明: 在里,合数的倍数（含量）. 证毕明筛与暗筛由引理1知,明筛的倍数（含量）,同时也按照相应的比例暗筛去了q的部分倍数（含量）.推论1，筛除的倍数（含量）后，在剩下的非p的倍数（含量）中，q的倍数（含量）有.证明：.证毕由推论1知，筛除p的倍数（含量）之后，欲筛除剩余的q的倍数（含量），只需对剩余部分，再筛除，即可。推论2 在中的个数中,依次筛除的倍数（含量）后,在非的倍数（含量）中, 的倍数（含量）占有,非的倍数（含量）占有.证明: 在筛除的倍数（含量）后,在非的倍数（含量）中,的倍数（含量）有 非的倍数（含量）有 证毕其中，分别是=2，=3，=5，=7我们把推论2中，按照在的倍数（含量）占有比例规律，依次递筛的倍数（含量），求出非倍数（含量）的方法，叫做简单比例单筛。简单比例单筛，筛去的是素数倍数（含量），对有些集合A（或B），是不能筛干净其中素数的倍数，如，若筛去2，3的倍数，应只剩下1，5，7三数，而用上面的简单比例单筛时，因此我们采用下边的加强比例单筛。2、加强比例单筛引理2(覆盖定理) 设为小于的素数,即使间隔最小,即为孪生素数时,仍有.证明: 因为（为孪生素数时,等号取得） ,所以. 证毕方法在筛除，的倍数时，我们不妨用和代替原来的，的倍数（含量）占有比例，在筛除的倍数时，按照比例筛除，这种筛除方法我们称之为加强比例单筛.首先，筛除2的倍数（加强含量）分析：在筛除去的个数中，并不会因为加强，2的倍数就真的会多了，而2的倍数该是多少，还是多少，个数里边，除了2的倍数，多余的是下一步要筛除的3的倍数（含量）。这样，根据引理1，在2的倍数（含量）中，3的倍数（含量）占有，又加强多筛了个3的倍数（含量），显然，在个数里边，3的倍数（含量）的占有比例（实际是）超过，在原来的个数中，3的倍数个数最多是个，3的倍数（含量）是，这样在剩下的个数里边，3的倍数（含量）占的比例（实际是）一定小于。我们按照的比例，再对剩余部分加强筛除3的倍数（含量）=多筛除的是下步要筛除的5的倍数（含量）再加强筛除5的倍数（含量）分析：根据推论2，在简单比例单筛的2，3的倍数（含量）中，5的倍数含量占，而多次加强多筛的是5的倍数（含量），这样在已筛除的部分中，5的倍数（含量）占有的比例（实际是）一定大于，在剩下的部分中，5的倍数（含量）所占的比例（实际是）一定小于，我们按照的比例对剩余部分加强筛除5的倍数（含量），易得：=依次按顺序加强筛除7，11，13，的倍数含量，易得，在中素数个数不少于3、等差互补数列及其性质引理* 在长度为的,公差为的等差数列中,若自然数满足,则中的倍数个数有或个.证明: 只需证明当时中有且只有一个的倍数.设数列为,则它们中任意两个元素对的余数不相同,若不然设关于同余,从而可得,即,这是不可能的.所以关于互不同余,从而其中有且只有一个的倍数. 证毕定义2 设长度为的,公差为的等差数列,若,则称为在数列中的倍数（含量）,为其占有比例.定义3 如果两个正整数数列,对应项的和等于,则称两数列为等差互补数列.引理3（倍数含量互补相等比例定理） 若两数列为等差互补数列,则自然数在两数列中的倍数（含量）相等.即的倍数（含量）在两个数列中所占比例相等。证明: 由引理显然.主筛与从筛在通过筛合数而筛式子的过程中,称筛除中素数的倍数（含量）的过程为对主筛,称因对主筛，而带走的中的数的过程叫做对的从筛.由引理1,3可知,筛除中的素数的倍数（含量）时,不仅按引理1（重叠比例定理）暗筛中的的部分倍数（含量）,而且又按照引理3（倍数含量互补相等比例的定理）从筛了中的的部分倍数（含量）.4、加强比例两筛法:定义4： 同时加强筛除A，B中(为小于等于最大素数)的倍数（含量）,确定是否还有剩余的式子的过程,称为加强比例两筛法.简称两筛法。（1）在中，的倍数成对出现，所以只要筛除（或）中的倍数就把(或)中的倍数带走了.这样在筛的倍数时,只要对一边筛除就可以了,即只要一次按2的数（加强含量）的比例进行筛除即可.(式子数).在每边筛去的数中，不是2的倍数的数的一半是下一步要筛去的3的倍数（含量）。根据引理1（重叠比例定理）易知，这样在筛去的A或B中的倍数中，3的倍数（含量）占有的比例（实际是）都大于，而在A或B剩下的数中，3的倍数（含量）占有的比例（实际是）就不到。（2）加强筛除A及B中的3的倍数（含量）再对个式子的两边（A或B所剩下的个数）分别依照3的倍数（含量）加强占有比例进行筛除（当3整除2n时，其实3的倍数成对出现，本来只需要筛一次即可，即剩余式子则为，但我们统一进行两边加强筛，多筛的作为进一步加强），这样剩余的式子有：=（式子数）（3）根据引理1及引理1的推论2，引理3，在筛除3的倍数（含量）的过程中，同时按照各自的比例，暗筛，从筛A、B中的5，7，11的倍数（含量）。依次再对所剩余的式子的两边，依照的倍数（含量）占有比例进行加强筛除的倍数（含量）（若整除2n时，其实A及B中的倍数成对出现，本来只需要筛一边即可，我们也统一进行两边加强筛，作为进一步的加强）（多筛除的数是后边要筛除的， 的倍数，最后多筛的一定是素数）。则最后至少剩下（的最大素数）个式子。又因为若为素数时，数对（1，）还需去掉，就再减去1。大偶数表为两素数和的式子不少于个。五、结论：定理: 当时,. 1证明: (为小于的最大合数),用1代替从而,又(