等腰三角形新题型例析.doc

等腰三角形新题型例析一、多解讨论型例1等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为a，则其底边的高为 图1（2）图1（1）析解：由于等腰三角形没有确定其形状，所以应该分两种情况：设AB=AC,当高在三角形内部，如图1(1)，易知BAD=60,所以ABC为等边三角形，根据勾股定理可得AE= a；当高在三角形外部时，如图1(2)，所以BAD=60，BAC=120，所以ABC=C=30，因此AE=a。所以底边上的高是a或a. 答案：a或a.技巧点拨遇到等腰三角形的高线的问题时，要考虑到高在形内和形外两种情况。分类讨论和方程的思想是解决等腰三角形双解问题的两大法宝。画出图形，数形结合是解这类题目的基本方法二、阅读辩错题例2（安徽）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，图2我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为、要求“正度”的值是非负数同学甲认为：可用式子|ab|来表示“正度”，|ab|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|来表示“正度”，|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么? （2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式析解：（1）同学乙的方案较为合理因为|的值越小，与越接近60，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等 同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等，如边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2|4-8|=4.（2）对同学甲的方案可改为用、等（k为正数）来表示“正度”（3）可用|60|、|60|、| +120|、（60）2+2（60）2等来表示“正度” 领悟整合对于阅读理解题应该从题目的条件出发，寻求每一条信息，在理解其中的思维过程、思想方法、知识应用、技能技巧的基础上，将其概括成数学模型去解决或判断同类或更高层次的问题，也就是在理解的基础上进一步迁移和发展，探索求新.三、研究探讨型典例3：（安徽）下面是数学课堂的一个学习片断阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）析解：由于不知道A是顶角还是底角，所以分情况讨论，因此李明和王华的回答都不全面答案：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75和75或30和120理由如下：当A是顶角时，设底角是 30+=180，=75， 其余两角是75和75 当A是底角时，设顶角是， 30+ 30+=180，=120，其余两角分别是300和120 （2）在解题时要运用分类讨论的思想或考虑问题要全面等四、实际应用题典例4：王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积析解：由于等腰三角形的菜地不能确定其形状，根据题意，有两种情况，(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图3（1）)， AD=BD=20， DE=15， AE=25 过C点作CFAB于F DECF 图3（1）图3（2） = CF=24 SABC=4024=480（m2）(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图3（2）)， 过A点作AFBC于F AD=BD=20，DE=15， BE=25 BDEBFA ， =. BF=32 ， BC=232=64， AF=24 ， SABC=6424=768（m2） 误点警示我们要善于把生活中的实际问题转化为数学问题来解决，分析问题要全面五、创新设计型典例5：在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度例如正方形ABCD中，ABBCCDDA，ACBD请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段析解：在解决本题的时候要注意在平面上有且只有4个点，在连接两点线段的时候，图形中所有的线段只能有两种长度，如图4，（1）ABADDBDCBD，AC；（2）ABACADBD，BCDC；（3）ABAC，AOBOCODO（4）ABBCAC，AOBOCO；（5）ABAD