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中考数学专题复习 -探究型问题 七里坪镇中学 方畅根据历年来的中考试题，我们不难看到探究型问题是近年中考比较常见的题目。解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有较强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，要仔细分析题目的有关信息，合情推理、联想，并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操作来打开思路。这类题型通常具备如下六个特点：1.条件的不确定性2.结构的多样性3.思维的多向性4.解答的层次性5.过程的探究性6.知识的综合性，因此对学生的能力要求很高，具有很好的选拔功能，也备受命题者的青睐。我把探究型问题分为四大块，分别是规律型问题、实验操作题、存在性问题、动态型问题。规律探索题是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的关注，主要原因是这类试题没有固定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题。例1：观察下面两行数：2， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（写出最后的结果） 例2用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 第1个图第2个图第3个图通过数式规律、图形规律两个方面的规律探讨，归纳出规律探索题的一般步骤为：(1)观察（发现特点）(2)猜想（可能的规律）(3)实验（用具体数值代入猜想）。实验操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性质相联系；与画图、测量、猜想、证明等有关的探究型问题。通过折纸与剪纸、分割与拼合、展开与叠合，来考查全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何操作变换的若干方法和技巧，以及综合运用相关知识解决应用问题的能力。例3如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 例4如图1，ABC是直角三角形，如果用四张与ABC全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在RtABC中，AC:BC的值是 例5右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图， 那么这个展开图是（ ）ABCD 这类问题几乎触及到各种题型，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在。综合题型是指给出操作规则，在操作过程中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的数学实践能力和创新设计才能。例6通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力此题关注了学生认识数学对象的过程与方法为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。 这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证.例7已知，如图，ABC中，AB=6，AC=8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MNBC交AC于点N.（1）当AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长；（2）若A=90，在BC上是否存在点P，使得MNP为等腰直角三角形？若存在请求出MN的长；若不存在，请说明理由. 例8已知,抛物线过点A(-3,0),B(1,0), ，此抛物线的顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）把ABC绕AB的中点M旋转180，得到四边形AEBC. 求E点的坐标；试判断四边形AEBC的形状，并说明理由（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由“存在性”问题大体可分为两类： 1由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）。解决的方法主要是借助于构造方程2由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求。解决的方法主要是借助于构造基本图形。 动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动、线段、动图等问题），能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与综合题形式出现，少数情况时也会以选择题形式出现。例10：已知：如图，AB是O的一条弦，点C为弧AB的中点，CD是O的直径，过C点的直线L交AB所在直线于点E，交O于点F.(1)判断图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论； (2)将直线L绕C点旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你另外画两个备用图,在图上分别画出L在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明.例11如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值。（2）当 ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值。对于动点问题，一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化，即确定整个单点运动变化过程中图形中的变量和不变量 二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一变量x，表示图形中其它的变量 三要结合具体问题，建立方程或函数等数学模型，达到解决问题的目的如假设PQR为等腰三角形，则分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三种情况建立相等关系，列出方程求解解题策略1：化动为“静”解题策略2：分类画出图形线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的。解题策略找出线的几种可能位置，分别讨论，特殊情况特别分析。解题思路点拨: 1.特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）2.反演推理法(反证法) 3.分类讨论法4.类比猜想法对于图动题目，它具备以下几个特点，1.融一些基本的、重要的知识于探索问题中。2.结合探索型问题对数学思想进行考查。3