不等式选讲.doc

4.5 不等式选讲基础自测1.不等式ax2+bx+20的解集是,则a-b= .答案 -102.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=（x，y）|x+y1，且x0,y0，则平面区域B=（x+y，x-y）|（x，y）A的面积为 .答案 13.设x,y满足x+4y=40且x,y都是正数，则lgx+lgy的最大值是 .答案 24.已知h0,设命题甲：两个实数a,b满足|a-b|2h;命题乙：两个实数a,b满足|a-1|h,且|b-1|h.那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分例1 若a,bR,求证：+.证明 当|a+b|=0时，不等式显然成立.当|a+b|0时，由0|a+b|a|+|b|,所以=+.例2 （2008苏中三市调研）已知x、y、z均为正数.求证：+.证明 因为x,y,z全为正数.所以(+),同理可得,当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得+.例3 已知x1,x2,xn都是正数，且x1+x2+xn=1,求证： +n2.证明 +=(x1+x2+xn)（ +）=n2.例4 （2008盐城调研）（14分）已知x、y、z均为实数，（1）若x+y+z=1,求证：+3；（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值.（1）证明 因为（+）2(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.所以+3. 7分(2)解 因为(12+22+32)(x2+y2+z2)(x+2y+3z)2=36,即14(x2+y2+z2)36,所以x2+y2+z2的最小值为. 14分 1.已知|a|1,|b|1,求证：1.证明 11a2+b2+2ab1+2ab+a2b2a2b2-a2-b2+10 (a2-1)(b2-1)0又|a|1,|b|1,(a2-1)(b2-1)0.原不等式成立.2.设a,b,c都是正数，求证：（1）（a+b+c)9;(2)(a+b+c) .证明 （1）a,b,c都是正数，a+b+c3,+3.(a+b+c) 9,当且仅当a=b=c时，等号成立.（2）（a+b）+(b+c)+(c+a)3,又,(a+b+c) ,当且仅当a=b=c时，等号成立.3.设a、b、c均为正数.求证：.证明 方法一 +3=(a+b+c) =(a+b)+(a+c)+(b+c) (+)2=.+.方法二 令,则左边=.原不等式成立.4.已知ab0,求a2+的最小值.解 a2+=（a-b）+b2+4（a-b）b+2=16.当且仅当,即时，等号成立.a2+的最小值是16.一、填空题1.已知2a+10,关于x的不等式x2-4ax-5a20的解集是 .答案 x|5ax-a2.设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有|f(x)|1,则|f(2)|的最大值是 .答案 73.已知a,b,c均为正数，且a+b+c=1，则+的最大值为 .答案 24.设abc且恒成立,则m的取值范围是 .答案 (-,45.（2008山东）若不等式|3x-b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为 .答案 (5,7)6.（2008广东）已知aR，若关于x的方程x2+x+|a|=0有实根，则a的取值范围是 .答案 0a7.若关于x的不等式|x-3|-|x-4|a的解集不是空集，则a的取值范围是 .答案 （-1，+）8.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 .|a-b|a-c|+|b-c|;a2+a+;|a-b|+2;-.答案 二、解答题9.（2008宁夏）已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)解不等式|x-8|-|x-4|2.解 (1)f(x)=图象如下:(2)不等式|x-8|-|x-4|2,即f(x)2.由-2x+12=2,得x=5.由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(-,5).10.求证：（1）|a+b|+|a-b|2|a|;(2)|a+b|-|a-b|2|b|.证明 (1)|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|.(2)|a+b|-|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|.11.（2008江苏，21，D）设a,b,c为正实数.求证：+abc2.证明 因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得3，即，所以+abc+abc.而+abc2=2,所以+abc2.12.对任意实数a(a0)和b，不等式|a+b|+|a-b|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，试求实数x的取值范围.解 依题意，|x-1|+|x-2|恒成立，故|x-1|+|x-2|.因为|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|,当且仅当(a+b)(a-b)0时取“=”，所以=2.所以x的取值范围即为不等式|x-1|+|x-2|2的解.解上述不等式得x，所以所求的x的取值范围是.13.（2008南京第二次调研）已知f(x)=,ab,求证：|f(a)-f(b)|a-b|.证明 方法一 f(a)=,f(b)= ,原不等式化为|-|a-b|.|-|0，|a-b|0，要证|-|a-b|成立,只需证（-）2(a-b)2.即证1+a2+1+b2-2a2-2ab+b2,即证2+a2+b2-2a2-2ab+b2.只需证2+2ab2，即证1+ab.当1+ab0时，0,不等式1+ab成立.从而原不等式成立.当1+ab0时，要证1+ab,只需证(1+ab)2（）2,即证1+2ab+a2b21+a2+b2+a2b2,即证2aba2+b2.ab,不等式2aba2+b2成立.原不等式成立.方法二 |f（a）-f（b）|=|-|=，又|a+b|a|+|b|=+，1.ab,|a-b|0.|f(a)-f(b)|a-b