量子物理学(三)2003.pdf

8 06 量子物理学 三 量子物理学 三 2003 年春季课程年春季课程 作业作业 1 阅读任务阅读任务 8 06 前三周的阅读任务为 自然单位的辅助笔记 正则量子化以及对磁场中电荷粒子应用的辅助材料 格里菲思的 10 2 4 部分对 Aharonov Bohm 效应是一个很好的辅助材料 却忽略了与贝瑞 相位关联的部分 随后我们将提到 非常明显 科恩 塔诺季从来没有提到 Aharonov Bohm 效应 在郎道的 E 中对此有很 好的补充说明 你们要阅读 Sakurai 的 130 139 页 有用的物理量 1 个大气压 1 01 106dynes cm3 cgs 33 1 99 10 sun M g 1MeV 1 602 10 6 ergs cgs 第一部分问题第一部分问题 1 机械量和电磁量的机械量和电磁量的 cgs 单位制单位制 16 分 一般的 cgs 单位制与电磁学比较有些细微的差别 这些差别大都是受光速 c 和 4 的影响 我们运用高斯定律中提到的式子4E i 把因子 c 引入到了洛仑兹定律中 以至于E 和B 具有相同的单位 这个系统就是众所周知的 高斯单位 我们可以认为这是由 cgs 的单位制扩展而来的 它包含电磁学 找出下面量的cgs单位制 采用的是gma cmb s c的形式 a 力 b 能量 c 表面张力 d 压力 e 动量密度 单位体积的动量 f 能量流量 单位面积单位时间内的能量 g 电荷 h 电流 i 电磁场 j 电磁通量 k 电压 l 电导系数 m 传导率 n 电阻 o 电阻系数 p 感应系数 你必须能够从物理定律中推出电磁量在 cgs 单位制中的单位 并详细说明这些量 库仑定律 欧姆定律 法拉第定律 安培定律 2 电磁能量密度 动量密度和能量流量电磁能量密度 动量密度和能量流量 4 分 如果E 和B 为电场和磁场 请给出下列单位 a 和 2 E 2 B 具有能量密度的单位 b 1 EB c 具有动量密度的单位 c 具有能量流量的单位 cEB 3 自然单位自然单位 10 分 用自然单位验证笔记中的方程 12 如下 质量 1 时间 1 eV 长度 1 eVc 动量 1 eVc 力 211 eVc 压力 433 eVc 电荷2 c 电磁场 23 23 2 eVc 并且计算电磁流量和力的自然单位 4 袋子压力袋子压力 12 分 在日常单位的表示下 用质量 力和能量的尺度去描述物理学的夸克是巨大的 对于表示质 子和中子内部的力的大小时 还存在着问题 质子和中子 简言之 核子 都由三个夸克组成 核子的质量近似为 940MeV 夸克被核 子限制在其内部 所以它们要做功来打开一个空区域使自己可以存在 另一种说法是 夸 克的存在扰乱了空间 因此耗费了能量 为了开辟一个可以使夸克存在的空区域必须要做 功 这个功用一个众所周知的 袋子常数 B来表述 B具有的单位为单位体积上的能量 数值大约为B 60MeV fm3 在这里有 1MeV 106eV并且 1fm 10 13cm 因此 需要构造一 个体积为V的 夸克包 所必需的功为BV 这种动力学的简单描述是通过研究在恒定压力下费米子 夸克也是费米子 的量子动力学来 得到 包模型 的这种详细说明是由麻省理工大学的 Jaffe 教授和他的合作者在 19 世纪 70 年代中期最先提出的 下面 我们希望在自然单位下 利用变换因子给出辅助笔记中的 9 式和 13 式 a 证明能量密度和压力具有相同的单位 你可以运用问题 1 中的结果 b 计算在标准大气压下 压力相当于包常数中多少dynes cm2 这就是夸克冲破束 缚打开包必须的力 c 在自然单位下表述B 在自然单位中表述B的传统方法为B xxx MeV 4 c 3 所 以要先找到xxx d 现在我们看如何估计 B 的值 一个不计质量 相对论下的夸克具有一个零点能 00 Ep c 其中 0 p为动量值 不确定 性原理告诉我们 这是被限制在一个半径大小为R的区域所必须要付出的 假设对于一个被 限制在半径为R的区域里的夸克存在 0 2 04 pR 要得到数值因子 2 04 需要求解与 薛定谔方程类似的一个相对论等式 此等式是关于球形包中的一个费密子的方程 我们在 8 06 中将不再做这个问题 你可以现在决定质子的半径大小RP RP的值为要使三个夸克的零 点势能之和加上包的能量BV达到最小时的值 把这个包取为球形 根据包常数 找到质子 的半径 看看有多少fm 你已经根据给定的磁场B的值估计了RP 考虑这个问题的一个较好的方法就是我们从实验测 量得到RP的值 然后利用这个值加上估计值B 虽然如此 这依旧是一个非常简单的问题 事实上质子并没有一个明显的边缘 因此 不可能像我们在这个问题上所做的一样 对RP在 字面上作确切的说明 并且这个包模型不能被用来描述所有的质子的特性 但是仍旧是对大 量实验数据的一个合理描述 质子的半径大约是 1fm 也就是 1 10 13cm 如果我们在解这 个问题时对B做一个合理的选择 那么你得到的RP的值可以和 1fm相比较 5 量子引力 量子引力 12 分 当在cgs单位制系统中考虑重力时 我们引入一个比例因子牛顿常数GN 通过下面式子对它 进行定义 2 然后用GN测量在dynes系统中两个质量分别为 1g 分开距离为 1cm的物体的重力 实验 测量告诉我们GN 6 70711 86 10 8cm3 gm s2 a 在自然单位中计算GN的值的大小 参见读笔记 b 通过两个分离电子的康普顿波长计算两个电子重力的交互作用能量 用它们静止质 量的函数来表述结果 结果用基本常数和数字来表示 这是一个重力强度的测量 可以与电磁力强度相比较 用 来测量 c 如果你有一个非常接近于大质量尖端的物体 牛顿的重力学说将由相对论效应做修 改 并且有必要运用广义相对论 结合点质量m和GN以及光速c得到一个长度值 估 计点质量为m的物体在相对论重力下的长度尺度 在质量为m的情况下 这个长度为 施瓦兹半径rs的一半 对于广义相对论来说 如果一个质量m收缩它的施瓦兹半径到 一定区域 这就构成了一个黑洞 计算一个质量为 1gm的物体它的施瓦兹半径 计 算太阳的施瓦兹半径 d 当我们在一个粒子的康普顿波长的数量级上来看距离时 量子效应就会变得非常的 重要 如果一个粒子的波长跟它的施瓦兹半径的数量级相同的话 那么在这个距离 上用量子引力来描述就是十分必要的 找到这样一个粒子的质量 看看它的康普顿 波长为多少 我们没有相对论量子引力的满意理论 所以我们不知道在这个距离上 如何用物理来描述 弦线理论可能是相对论量子引力的一个可能描述 你可以在教 授 Zwiebach 这学期的课程中学到 6 郎道能级 一个预言郎道能级 一个预言 6 分 当我们分析磁场中的一个带电粒子的问题时 我们将发现能量本征值被一个间距分开 其中 拉莫尔进动或回旋加速器的频率 与磁场 B 成比例 并且由下式给出 L w L w 式中 m 为电子的质量 此外 我们将找到长度 并且面积 起到了很重要的作用 a 假设 B 为一个 10T 的磁场 虽是存在一个很强的磁场但是却可以在实验室中 得到的 我并不十分确定到目前为止 实验室可达到的最大磁场 但是我相信 实验室能够得到小于 100T 的磁场 在一个 10T 的磁场中 是多少 eV 在自然单位中是多少 在 cm 单位中是多少 L w 0 l 0 l b 现在我们来看一下 在这个问题中我们是否可以在某种程度上认识AB区域是如 何产生的 在一个强度为B的磁场中 通量 通过一个垂