参考答案与评分标准2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题.doc

2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、 选择题：每小题6分，满分24分 题号1234答案DDAB二、 填空题每小题6分，满分36分。题号5678910答案20（-，-2）4，+）4（2，4）4解析基本事件的总数为6636.三角形的一边长为5， 当a1时，b5符合题意，有1种情况；当a2时，b5符合题意，有1种情况；当a3时，b3或5符合题意，即有2种情况；当a4时，b4或5符合题意，有2种情况；当a5时，b1,2,3,4,5,6符合题意，即有6种情况；当a6时，b5或6符合题意，即有2种情况故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P.（ B ）7 解析ysin2xcos2xsin4x，所以最大与最小值的积为.8.解：直线y+2=k（x+1）表示过（-1，-2）的直线，根据约束条件画出可行域如图：平面区域是一个三角形，就是图中阴影部分，所以 k（-，-2）4，+）故答案为：（-，-2）4，+）9因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。10解：椭圆的半焦距c=4要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即tan60= ， 即b aa， 整理得c2a a2，又ac=4 则此双曲线实半轴长的取值范围是（2，4）三、解答题：满分90分。11（本小题满分15分）已知向量m，n(1)若mn1，求cos 的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解：(1)mnsin cos cos2 sin cos sin，又mn1， 2分sin=. 3分又cos12sin212，coscoscos. 5分(2)由(2ac)cos Bbcos C及正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，且， 6分2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin(BC)且， 8分在ABC中，ABC，sin(BC)sin A，且sin A0，2sin Acos Bsin A，cos B，B，且，10分0A，sin1. 且， 12分又f(x)mnsin，f(A)sin，且， 14分函数f(A)的取值范围是. 15分12（本小题满分15分）三棱柱的直观图及三视图（主视图和 俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；ABCD （3）求二面角的正切值.解:由三视图可知，几何体为直三棱柱，侧面为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形， 2分ABCDO（1）连BC交于O，连接OD，在中，O，D分别是，AC的中点，而平面，平面，平面.分（2）直三棱柱中，平面，平面， ，D为AC的中点， 平面，.6分 又， 在正方形.分 由，又，10分（3）解法一；提示：所求二面角与二面角C-D互余 .11分ABCDHE取BC中点H，有DH平面，过H作垂线，垂足为E，所以二面角C-D的平面角是DEH13分，因为二面角A-D与二面角C-D互余，所以二面角A-D的正切值为；.15分解法二（补形）如图补成正方体，易得O1OS为二面角的平面角，.15分解法三（空间向量法）以为原点建系，易得设平面D的法向量由BACDOS得令得.12分又平面A的法向量设二面角A-D的平面角为 .14分所以.15分13（本小题满分20分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲 线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由。解：（）设椭圆方程为，则，得2分设，则，两式相减得， 4分由抛物线定义可知，则或（舍去） 6分所以椭圆方程为，抛物线方程为。 8分另解：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以， 4分得，所以c1， 6分所以椭圆方程为，抛物线方程为。 8分（）设，直线，代入得：，即，10分则 12分同理，将代入得： ，则， 14分所以为定值。 20分14（本小题满分20分）已知函数 （I）求的极小值； （II）若上为单调增函数，求m的取值范围； （III）设（e是自然对数的底数）上至少存在一个成立，求m的取值范围。解：（）由题意，当时，；当时，3分所以，在上是减函数，在上是增函数，故 5分（） ， 6分由于在内为单调增函数，所以在上恒成立， 8分即在上恒成立， 9分故， 11分所以的取值范围是 12分（）构造函数，13分当时，由得，所以在上不存在一个，使得15分当时，因为，所以，所以在上恒成立，故在上单调递增，17分，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得， 19分故的取值范围是 20分另法:（）当时，当时，由，得 ，16分令，则，所以在上递减，19分综上，要在上存在一个，使得，必须且只需20分15（本小题满分20分）已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设