高考数学 第六章 第二节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件 理 苏教版.ppt

第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 二元一次不等式表示的平面区域直线y kx b把平面分成两个区域 直线的上方 直线的下方 2 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域的步骤第一步 任选一个 第二步 检验它的坐标是否满足所给的不等式 第三步 若适合 则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域 否则 直线的另一侧为不等式所表示的平面区域 3 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示的平面区域的 不在直线上的点 公共部分 2 线性规划的基本概念 平面区域 可行解 最大值 最小值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 不等式ax by c 0表示的平面区域一定在直线ax by c 0的上方 2 任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域 3 线性目标函数的最优解可能是不惟一的 4 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 5 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 6 目标函数z x a 2 y b 2的几何意义是点 x y 与 a b 的距离 解析 1 错误 不等式ax by c 0表示的平面区域也可能在直线ax by c 0的下方 这要取决于a与b的符号 2 错误 不一定 如果二元一次不等式组的解集为空集 它就不表示任何区域 3 正确 当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时 最优解可能有无数多个 4 正确 线性目标函数都是通过平移直线 在与可行域有公共点的情况下 分析其在y轴上的截距的取值范围 因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 5 错误 由ax by z 0可得 所以才是该直线在y轴上的截距 6 错误 其几何意义应该是点 x y 与 a b 的距离的平方 答案 1 2 3 4 5 6 1 若点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 则m的取值范围是 解析 依题意有2m 3 5 0 解得m 1 答案 m 1 2 若x y满足约束条件则z 3x y的最小值是 解析 z 3x y y 3x z 作出可行域 由图可知过a点时z取最小值 把点a 0 4 代入 可得z 4 答案 4 3 已知点p x y 的坐标满足条件则x2 y2的最大值为 解析 画出不等式组对应的可行域如图所示 易得a 1 1 oa b 2 2 ob c 1 3 oc 故 op 的最大值为 即x2 y2的最大值等于10 答案 10 4 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为元 解析 设甲型货车使用x辆 乙型货车y辆 则所花运费为z 400 x 300y 画出可行域 如图 由图可知当直线z 400 x 300y经过点a 4 2 时 z取最小值 最小值为zmin 2200 答案 2200 5 不等式组表示的平面区域的面积为 解析 该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形 其面积等于 3 6 9 答案 9 6 已知变量x y满足约束条件若目标函数z y ax仅在点 5 3 处取得最小值 则实数a的取值范围为 解析 画出可行域 如图所示 由z y ax得y ax z 则z为直线y ax z在y轴上的截距 由于函数z y ax仅在点 5 3 处取得最小值 如图所示 则a 0 直线y ax z过点p 5 3 且直线y ax z的斜率a大于直线x y 2的斜率 所以a 1 答案 1 考向1平面区域的相关问题 典例1 1 已知不等式组表示的平面区域的面积是 则a 2 2012 福建高考改编 若直线y 2x上存在点 x y 满足约束条件则实数m的最大值为 思路点拨 1 先画出不等式组所表示的平面区域 由于a 0 其形状基本确定 是一个三角形 然后根据三角形的面积公式求解 2 画出不等式组所表示的平面区域 然后结合函数y 2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置 从而求出m的值 规范解答 1 画出平面区域 可知该区域是一个三角形 其面积等于所以h 解方程组得y 所以解得答案 2 如图 当y 2x经过且只经过x y 3 0和x m的交点时 即三条曲线有惟一公共点时 m取到最大值 此时 m 2m 在直线x y 3 0上 则m 1 答案 1 拓展提升 平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象 曲线方程等一些综合问题时 要以数形结合思想方法为核心 充分利用函数图象与方程曲线的特征 增减性 对称性 经过的定点 变化趋势等 与平面区域的位置和形状联系起来 对参数的取值情况分析讨论 进行求解 变式训练 若不等式组表示的平面区域为m 当抛物线y2 2px p 0 与平面区域m有公共点时 实数p的取值范围是 解析 作出平面区域 如图 可以求得a 1 2 b 2 1 代入抛物线方程可得p 2 p 所以p 2 答案 2 考向2线性规划的相关问题 典例2 1 2012 辽宁高考改编 设变量x y满足则2x 3y的最大值为 2 2013 常熟模拟 设x y满足则的取值范围是 3 已知实数x y满足目标函数z ax y的最小值和最大值分别为 2和2 则a的值为 思路点拨 1 典型的线性规划问题 作出可行域 画出直线2x 3y 0 通过截距 观察确定最优解 2 首先把化为转化求的斜率模型求解 3 线性规划逆向性问题 可行域已经确定 可对目标函数中的参数a进行分类讨论 确定最优解 从而求出a的值 规范解答 1 画出线性约束条件表示的可行域 如图中的阴影部分 令2x 3y z 则由图形可知 当直线y 经过点a 5 15 时 截距最大 z取到最大值 且zmax 2 5 3 15 55 答案 55 2 作出可行域如图 不包括y轴 令z 看作可行域内的点与原点连线的斜率 z 1 2 答案 2 3 画出可行域 如图所示 由z ax y得y ax z 显然当a 0时 z的最大值和最小值分别为0和 2 不合题意 若a 0 则z ax y在a 2 2 处取得最大值2 在b处取得最小值 2 因此有解得a 2 符合题意 若a 0 则z ax y在a 2 2 处取得最小值 2 在b处取得最大值2 因此有无解 综上可知 a的值为2 答案 2 互动探究 本例 2 中 若约束条件不变 将目标函数变为x2 y2 求x2 y2的最小值 解析 由本例 2 知x2 y2的几何意义可表示为可行域的点与原点距离的平方 结合图形知 当点为y x与y x 2 0的交点时 x2 y2取最小值 x2 y2 min 2 拓展提升 线性规划中的参数问题及其求解思路 1 线性规划中的参数问题 就是已知目标函数的最值 求约束条件或目标函数中所含参数的取值范围问题 2 解决这类问题时 首先要注意对参数取值的讨论 将各种情况下的可行域画出来 以确定是否符合题意 然后在符合题意的可行域里 寻求最优解 从而确定参数的值 提醒 目标函数中出现类似的 x a 2 y b 2形式时 应注意它是指点 x y 与定点 a b 之间的距离的平方 而不是两点间的距离 变式备选 在平面直角坐标系中 若点 x y 在不等式组 a为正数 所表示的平面区域内 且z 2x y的最大值为6 则该区域的面积等于 解析 画出可行域 如图 当直线y 2x z经过m a a 时z取到最大值 所以2a a 6 得a 2 这时可行域的面积为 2 4 4 答案 4 考向3线性规划的实际应用 典例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 思路点拨 设出午餐和晚餐的单位个数 列出不等式组和费用关系式 利用线性规划求解 规范解答 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 则依题意得z 2 5x 4y 且x y满足 作出线性约束条件所表示的可行域 如图中阴影部分的整数点 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在b 4 3 处取得最小值 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 拓展提升 求解线性规划应用题的注意点 1 明确问题中的所有约束条件 并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号 2 注意结合实际问题的实际意义 判断所设未知数x y的取值范围 特别注意分析x y是否是整数 是否是非负数等 3 正确地写出目标函数 一般地 目标函数是等式的形式 变式训练 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 甲产品每吨利润为5万元 乙产品每吨利润为3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业的最大利润为 解析 设生产甲产品x吨 乙产品y吨 利润为z万元 由题意可得目标函数为z 5x 3y 作出如图所示的可行域 阴影部分 当直线5x 3y z经过a 3 4 时 z取得最大值 zmax 5 3 3 4 27 万元 答案 27万元 易错误区 忽视对参数的分类讨论致误 典例 2013 长沙模拟 已知x y满足约束条件 x 2 y 2 且z y mx m 0 的最小值等于 2 则实数m的值等于 误区警示 本题容易出现的错误主要有两个方面 1 没有将绝对值不等式转化为不等式组 画不出正确的可行域 2 没有对参数m的取值情况进行分类讨论 造成漏解 只得到m 1 规范解答 原不等式等价于以下四个不等式组 因此可画出可行域 如图 由z y mx得y mx z 1 当m 时 由图形可知 目标函数在点a 2 0 处取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 2 当0 m 时 由图形可知 目标函数在点d 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m无解 3 当m 时 由图形可知 目标函数在点c 2 0 处取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 4 当 m 0时 由图形可知 目标函数在点d 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m无解 综上 实数m的值等于1或 1 答案 1或 1 思考点评 1 含绝对值不等式表示区域的画法含有绝对值的不等式所表示的平面区域 应该根据变量的取值情况 将不等式中的绝对值符号去掉 化为几个不等式组 把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域 2 正确运用分类讨论的方法本题是线性规划的逆问题 这类问题的特点是含有参数 当在目标函数中含有参数时 参数的不同取值将要影响到最优解的位置 因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系 对参数的取值情况进行分类讨论 在运动变化中寻找问题成立的条件 从而得到参数的取值 如果在约束条件中含有参数 那么随着参数的变化 可行域的形状可能就要发生变化 因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论 以免出现漏解 1 2012 广东高考改编 已知变量x y满足约束条件则z 3x y的最大值为 解析 作出如图所示的可行域 当直线z 3x y经过点b 3 2 时 z取得最大值 最大值为11 答案 11 2 2013 徐州模拟 已知实数x y满足则z 2x y的最大值是 解析 作出可行域 当过点a 5 3 时 z最大 最大值为7 答案 7 3 2012 浙江高考 设z x 2y 其中实数x y满足则z的取值范围是 解析 约束条件对应的平面区域如图所示 由图易得目标函数z x 2y在o 0 0 处取得最小值 此时z 0 在b处取得最大值 由可得b此时z 故z x 2y的取值范围为 0 答案 0 4 2012 天津高考改编 设变量x y满足约束条件则目标函数z 3x 2y的最小值为 解析 画出可行域如图阴影区域 目标函数z 3x 2y可看作 即斜率为 截距为的动直线 数形结合可知 当动直线过点a时 z最小 由得a 0 2 目标函数z 3x 2y的最小值为zmin 3 0 2 2 4 答案 4 5 2012 四川高考改编 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克 b原料2千克 生产乙产品1桶需耗a原料2千克 b原料1千克 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗a b原料都不超过12千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是 元 解析 设分别生产甲 乙两种产品为x桶 y桶 利润为y元 则根据题意可得z 300 x 400y 作出不等式组表示的平面区域 如图所示 作直线l 3x 4y 0 然后把直线向可行域平移 由可得x y 4 此时