静力学第三章习题解答(部分).pdf

1 3 10 解 假设杆 AB DE 长为 2a 取整体为研究对 象 受力如右图所示 列平衡方程 0 C M 02 aFBy 0 By F 取杆 DE 为研究对象 受力如图所示 列平 衡方程 0 H M 0 aFaFDy FFDy 0 B M 02 aFaFDx FFDx2 取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 y F 0 ByDyAy FFF FFAy 与假设方向相反 0 A M 02 aFaF BxDx FFBx 与假设方向相反 0 B M 02 aFaF DxAx FFAx 与假设方向相反 3 12 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M 0 xFbFD F b x FD FCx FCy FBx FBy FCx FCy FD 2 取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0 xFbFB F b x FB 杆 AC 为二力杆 假设其受压 取杆 AB 和 AD 构成的组合体为研究对象 受力 如图所示 列平衡方程 0 E M 0 2 2 2 b Fx b F b FF ACDB 解得FFAC 命题得证 注意 销钉注意 销钉 A 和和 C 联接三个物体 联接三个物体 3 14 解 取整体为研究对象 由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零 因此有 0 A M 0 MMFM BA 即 B F必过 A 点 同理可得 A F必过 B 点 也就是 A F和 B F是大小相等 方向相反 且共线的一对力 如图所示 取板 AC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 FA FB 3 0 C M 045cos45sin 00 MbFaF AA 解得 ba M FA 2 方向如图所示 3 20 解 支撑杆 1 2 3 为二力杆 假设各杆均受压 选梁 BC 为研究对象 受力如 图所示 其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力 大小为 2qa 作用在 BC 杆中点 列平衡方程 0 B M 0245sin 0 3 MaqaaF 2 2 3 qa a M F 受压 选支撑杆销钉 D 为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 0 x F 045cos 0 31 FF qa a M F2 1 受压 0 y F 045sin 0 32 FF 2 2 qa a M F 受拉 选梁 AB 和 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 045cos 0 3 FFAx 2 qa a M FAx 与假设方向相反 0 y F 0445sin 0 32 qaPFFFAy qaPFAy4 0 A M 0345sin242 0 32 MaFaqaaPaFM A MPaqaM A 24 2 逆时针 D F3 F2 F1 x y 4 3 21 解 选整体为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 0 A M 022 aFaFBy FFBy 0 B M 022 aFaFAy FFAy 0 x F 0 FFF BxAx 1 由题可知杆 DG 为二力杆 选 GE 为研究对象 作用于其上的力汇交于点 G 受 力如图所示 画出力的三角形 由几何关系可得 FFE 2 2 取 CEB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M 045sin 0 aFaFaF EByBx 2 F FBx 代入公式 1 可得 2 F FAx 3 24 解 取杆 AB 为研究对象 设杆重为 P 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 060cos 2 3 3 0 1 r PrN 93 6 1 NN FAx FAy FBx FBy 5 0 x F 060sin 0 1 NFAx 6 NFAx 0 y F 060cos 0 1 PNFAy 5 12NFAy 取圆柱 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 030cos30cos 00 1 TN 93 6NT 注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不处的约束力不 是杆是杆 AB 对销钉的作用力 对销钉的作用力 3 27 解 取整体为研究对象 设杆长为 L 重为 P 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0cos 2 2sin2 L PLFN tan2 P FN 1 取杆 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 B M 0coscos 2 sin LF L PLF sN PFS 2 补充方程 Nss FfF 将 1 式和 2 式代入有 2 tan s f 即 0 10 3 29 证明 1 不计圆柱重量 法 1 取圆柱为研究对象 圆柱在 C 点和 D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用 分别以全约束力 RDRC FF 来表示 如图所示 如圆柱不被挤出而处于平衡状态 则 RDRC FF 等值 反向 共线 由几何关系可知 RDRC FF 与接触点 C D 处法 FAx FAy FN Fs P P 6 线方向的夹角都是 2 因此只要接触面的摩擦角大于 2 不论 F 多大 圆柱不 会挤出 而处于自锁状态 法 2 解析法 首先取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0 lFaFND F a l FND 再取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0 lFaFNC NDNC FF a l F 取圆柱为研究对象 受力如图所示 假设圆柱半径为 R 列平衡方程 0 O M 0 RFRF SDSC SDSC FF 0 x F 0cossin SDSCNC FFF NDNCSDSC FFFF cos1 sin cos1 sin FND FSD o FAx FAy 7 由补充方程 NDSDSDNCSCSC FfFFfF 可得如果 2 tan 2 tan cos1 sin SDSC ff 则不论 F 多大 圆柱都不被挤出 而处于自锁状态 证明 2 圆柱重量 P 时 取圆柱为研究对象 此时作用在圆柱上的力有重力 P C 点和 D 点处的全约束力 RDRC FF 如果圆柱保持平衡 则三力必汇交于 D 点 如图所示 全约束力 RC F 与 C 点处法线方向的夹角仍为 2 因此如果圆柱自锁在 C 点必须满足 2 tan cos1 sin SC f 1 该结果与不计圆柱重量时相同 只满足只满足 1 式时式时 C 点无相对滑动 但在点无相对滑动 但在 D 点有可点有可 能滑动能滑动 圆柱作纯滚动圆柱作纯滚动 再选杆 AB 为研究对象 对 A 点取矩可得 F a l FNC 由几何关系可得 F a l FSC 2 tan 2 cos a Fl FRC 2 法 1 几何法 圆柱保持平衡 则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形 如图所示 由几何 关系可知 sin 2 180 180sin 00 RC FP P FRD FRC 2 8 将 2 式代入可得 cos1 sin tan FlPa Fl 因此如果圆柱自锁在 D 点必须满足 cos1 sin tan FlPa Fl fSD 3 即当同时满足 1 式和 3 式时 圆柱自锁 命题得证 法 2 解析法 取圆柱为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 0cossin SDSCNC FFF 0 y F 0cossin NCSCND FFPF 解得 F a l FF SDSC 2 tan 2 tansin cos a Fl PFND 代入补充方程 NDSDSD FfF 可得如果圆柱自锁在 D 点必须满足 cos1 sin tan FlPa Fl fSD 3 即当同时满足 1 式和 3 式时 圆柱自锁 命题得证 3 30 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 02 0 PFFF FF NEND SESD 由题可知 杆 AC 为二力杆 作用在杆 BC 上的力有主动力F 以及 B 和 C 处 的约束力 B F和 AC F 由三力平衡汇交 可确定约束力 B F和 AC F 的方向如图所示 9 其中 3 1 tan 杆 AC 受压 取轮 A 为研究对象 受力如图所示 设 AC F 的作用线与水平面交于 F 点 列平衡 方程 0 A M 0 DSD MRF 0 F M 0 DND MRPF 取轮 B 为研究对象 受力如图所示 设 B F的作用线与水平面交于 G 点 列平衡 方程 0 B M 0 RFM SEE 0 G M 0tan RFPM NEE 解以上六个方程 可得 FPFND 4 1 FPFNE 4 3 FFF SESD 4 1 FRMM ED 4 1 若结构保持平衡 则必须同时满足 NDD FM NEE FM NDsSD FfF NEsSE FfF 10 即 P Rf Pf f Pf P R P R F s s s s 4 31 4 1 4 3 4 4 min 因此平衡时F的最大值36 0 max F 此时 091 0NFF SESD 91 0cmNMM ED 3 35 解 由图可见杆桁架结构中杆 CF FG EH 为零力杆 用剖面 SS 将该结构分为 两部分 取上面部分为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M 0346cos 1 GH FFF 58 14 1 kNF 受拉 0 x F 0sin 31 H FFF 3 31 3 F 受拉 0 y F 0cos 12 G FFF 3 18 2 F 受压 3 38 解 假设各杆均受压 取三角形 BCG 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F 0 CD FF FFCD 受压 11 取节点 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 0sin45sin 0cos45cos 0 0 CGBC CGCDBC FF FFF 其中 22 21 tan 解以上两