埃及分数分解的一种方法.pdf

专题写作 埃 及 分 数 分 解 的 一 种 方 法 颜 昌 明蒋 云 云 广西师大附属外国语学校 541004 湖南省双牌县一小 425200 收稿日期 2007 11 16 所谓埃及分数分解就是将一个分数分解 成若干个分子为1的分数之和 如 在 1 14 1 1 1 1 的 内填入互不相同的自然数 使等式成 立 对埃及分数分解的研究很多 1 2 一种通 行的解法是 将 1 14的分子分母同乘 14的四个 约数1 2 7 14的和并加以展开 例如 1 14 1 24 14 24 1 14 24 2 14 24 7 14 24 14 14 24 1 336 1 118 1 48 1 24 这种方法称为约数和分解法 我们知道 按约数和分解法上例的答案就只有一个 但 在学生的答案中 出现了数十个不同的正确 答案 这些答案不同于上面的解法 而且找不 到共性 这是否是约数和分解法呢 本文就 以这个题目为例加以探究 1 逐步约数和分解法 我们可以采用逐步约数和分解 即先将 1 14分解成两个 1 之和 分解的方法还是上 面提到的分子分母乘以14的 约数和 的办 法 例如 1 14 1 3 14 3 1 14 3 2 14 3 1 42 1 21 接着 把刚才从 1 14分得的两个分式再各 进行一次同样的分解 就得到了形如式 的 式子 当然 还可先将 1 14分解成三个 1 式子 的和 再将其中的一个按同样的方法一分为 二 由此看出 方法还是约数和分解 但此题 的答案就不唯一了 当然也不是有无数个答案 2 约数和分解法的探究 很容易质疑 在上面的分解中 分子分母 乘的不一定是 约数和 其实为什么一定是 约数和 呢 如在结构 1 14 m 14m m1 m2 14m m1 14m m2 14m 中 m1 m2为14的约数是可以的 若m1 m2 不是14的约数 但只要是14m的约数也完 全可以 此时 只要有m1 n1t1 m2 n2t2 t1 t2是14的两个约数且n1 n2是m的约数 即可 这因为由 1 14 m 14m m1 14m m2 14m n1t1 14m n2t2 14m t1n1 14m t2n2 14m 便可以将 1 14分解成 1 1 的形式 那么 这样的条件是否存在呢 下面将就这个问题 进行进一步的探究 对于一般情形 即将 1 M分解成 1 1 的形式 61中 等 数 学 设M的质约数为m1 m2 mk 其个 数分别为k1 k2 kk 若 t1 m p1 1m p2 2 m pk k t2 m q1 1m q2 2 m qk k 0 pi qi ki 即t1 t2是M的两个约数 故总有 1 M n1t1 M n1t1 n2t2 n2t2 M n1t1 n2t2 t1 M n1 n1t1 n2t2 t2 M n2 n1t1 n2t2 其中 n1 n2是待定的正整数 下面推证以下两点 1 式 可进一步化为 1 1 形式的 条件是什么 式 中 在某个给定的n1 n2下 只要满 足 n2t2 n1s n1t1 n2t s t是正整数 就 可将 1 M分解成 1 1 的形式 这是因为由n2t2 n1s 得到n1 n2t2 s 并代入式 得到 1 M n2t2 s t1 M n2t2 s t1 n2t2 n2t2 M n2t2 s t1 n2t2 t1 M t1 s s M t1 s 在 t1 M t1 s 中 由于t1是M的约数 故 可化为 1 的形式 而对于 s M t1 s 由于t2 是M的约数 故设M ht2 从而 Mt1 ht2t1 且由n2t2 n1s n1t1 n2t 有t1t2 st 即 Mt1 ht2t1 hst 则 s M t1 s 1 Mt1 s M 1 ht2t1 s M 1 hst s M 1 ht M 即化为 1 的形式 因此 只要s是t1t2的约数且t1 t2是M 的约数 分解就一定可以进行 这就是分解的 条件 2 这种分解的本质是约数和分解 下面证明 t1 M t1 s s M t1 s 其实就是 约数和 的分解形式 由于t1t2 st 故设s k i 1 m hi i 则 t1 t1 s s t1 s k i 1 m pi i k i 1 m pi i k i 1 m hi i k i 1 m hi i k i 1 m pi i k i 1 m hi i 由s st t1t2 有hi pi qi 即 hi pi qi 又qi ki 故hi pi ki 即 ki pi hi 又pi ki 故pi ki hi 即 pi hi ki 由式 有 pi hi ki 这说明 t1 M t1 s s M t1 s 最终通过 约简得到 约数和 的形式 最后 说明n1 n2是怎样确定的 在式 中 n1 n2的取值是有规律的 它 们的确定程序是 将s t1 t2看作已知 由 n2t2 n1s与n1t1 n2t可以确定n1 n2的 值 由此看来 由给定的t1 t2和s的值确定 的n1 n2的值就会有很多 但分解形式并不 是无限的 这是因为约简后的结果并不无限 这由式 可以知道 s t1的个数是有限的约 数 约数和分解显然是有限的 712008年第7期 事实上 我们不必求n1 n2的值 而是由 t1 M t1 s s M t1 s 给定t1 t2和s写出结 果即可 此处t1 t2是M的约数 s是t1t2的 约数 我们称这种形式的分解为待定系数分 解法 3 方法的拓广与应用 利用逐步约数和分解法或待定系数分解 法可以容易解决下列问题 其一 通过反复运 用此种方法可将一个分子是1的分数任意分 解成若干个形如 1 形式的分数之和 其二 要将 1 14分解为 1 14 a b c d 其中 a b c d N 这可在 1 14 1 1 1 1 分解的基础上将等号右边的每项分子分母分 别同乘a b c d得到 其三 要将 3 14分解成 1 1 1 1 形式 可先将 1 14分解成 1 1 的形式 再由上面的待定系数分解 法的基础上探讨式子 t1 M t1 s s M t1 s 中的t1 s必须是3的倍数得到 从而 可通 过选择t1和s的值得到 本题还可以从其他的视角进行分解 下 面提供两种特殊的分解方式 分解1 注意到 1 14 1 15 1 14 15 1 210 1 210 1 211 1 210 211 1 44 310 1 44 310 1 44 311 1 44 310 44 311 1 1 963 420 410 则 1 14 1 15 1 211 1 44 311 1 1 963 420 410 分解2 注意到 1 14 1 14 14 17 3 17 1 17 3 238 3 238 3 238 1 120 119 120 1 9 520 1 80 1 80 1 80 1 81 80 81 1 6 480 1 81 故 1 14 1 17 1 9 520 1 6 480 1 81 参考文献 1 杨春宏 对古埃及2 n型分数表拆分规律的研究 J 数学通报 2003 6 2 单 熊 斌主编 奥数教程 小学五年级 M 上 海 华东师范大学出版社 200315 敬 告 读 者 1 2006年第6期 2007年第6期 我部推出了服务于全国高中数学联赛的专刊 聘请多名教练员为 专刊提供模拟试题 含解答 一经出版 受到各地参加高中数学联赛学生的普遍欢迎 我部于2008年第 6期继续出版服务于全国高中数学联赛的专刊 购买方法如下 未在邮局订阅的读者可直接到编辑部邮购 具体方法是 10本以下加收30 邮费 11至31本加收 20 邮费 31至50本加收10 邮费 51本以上不收邮挂费 2 中等数学 合订本2005 下 2007 下 2008 上 每册27元 含邮挂费