第04 章 动量和角动量.ppt

牛顿定律是瞬时的规律 但在有些问题中 如 碰撞 宏观 散射 微观 我们往往只关心过程中力的效果 即只关心始末态间的关系 对过程的细节不感兴趣 而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节 作为一个过程 我们关心的是力对时间和空间的积累效应 力在空间上的积累 作功 改变动能 力在时间上的积累 第4章动量和角动量 4 1动量定理与动量守恒定律 为力在时间上的积累效应 定义为冲量 即力F在t t dt时间内给质点的冲量 在有限时间内 initial final 一 质点的动量定理 牛顿2nd定律 动量定理 讨论 1 冲量是矢量 冲量的大小和方向与整个过程中力的性质有关 2 在冲击等过程中 力的作用时间很短暂 而力随时间的变化却很复杂 无法通过力的积分计算冲量 并估算力的平均冲力 汽车气囊 拳击手套 运动护垫etc 讨论 教授吸收了铁锤的全部动量 但只吸收了部分动能 讨论 讨论 4 动量与参照系有关 但动量差值与参照系无关 因此 动量定理适用于所有惯性系 3 动量定理适用于任何形式的质点运动 但在讨论如冲击 碰撞等过程时更方便 讨论 解 1 根据动量定理 例4 2 质量为m的行李 垂直地轻放在传送带上 传送带的速率为v 它与行李间的摩擦系数为 试计算 1 行李将在传送带上滑动多长时间 2 行李在这段时间内运动多远 3 有多少能量被摩擦所耗费 1 以地面为参照系 2 由质点动能定理 解 或 3 被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功 以传送带为参考系 设有N个粒子 外力用Fi 内力 即粒子之间的相互作用 为fij 对所有粒子求和 二 质点系的动量定理 则第i粒子的运动方程 共有N个方程 依牛顿第三定律 因内力总是成对出现 fij和fji 为质点系的总动量 为质点系所受到的合外力 质点系的动量定理 或 与单个质点的动量定理形式上相同 若 1 质点系所有质点不受外力 1 合外力沿某一方向为零 可得到该方向上的动量守恒 尽管总动量不守恒 三 动量守恒定律 质点系总动量不随时间改变 2 质点系所受合外力为零 注意 质点系动量守恒定律 2 在某些情况下 如碰撞 打击 爆炸等过程 外力与内力相比小很多 3 动量定理只适用于惯性系 在极短的时间内 外力的时间积累 冲量 相比之下可以忽略不计 我们可以有近似的动量守恒 4 在牛顿力学的理论体系中 动量守恒定律是牛顿定律的推论 但动量守恒定律是更普遍 更基本的定律 它在宏观和微观领域 低速和高速范围均适用 例4 3 已知高H 傾角为 的斜面光滑 小车质量M 从顶端滑至中点时刚好有一钢球m从h高度掉入 求小车到达底部时的速度V 解 m M系统 冲击过程 由于m与M间的冲击作用力远大于重力在斜面上的分量 重力在冲击过程中可以忽略 斜面方向动量守恒 冲击过程后 m M 地球系统机械能守恒 解得 例4 4 炮车的质量为M 炮弹的质量为m 若炮车与地面有摩擦 摩擦系数为 炮弹相对炮身的速度为u 求炮身相对地面的反冲速度v 解 选取炮车和炮弹组成系统 运用质点系的动量定理 x方向 内 外力分析 y方向 讨论 1 若炮车与地面没有摩擦 2 若炮车与地面有摩擦 但水平发射炮弹 3 自锁现象 即v 0时 例4 5 质量分别为m1和m2的小孩在光滑的平面上彼此拉对方 设开始时静止 相距l 问他们在何处相遇 x10 x20 解 设t 0时刻 两小孩分别处于x10和x20 x20 x10 l 水平方向上外力为零 x20 x10 l 在任意时刻 两人相遇时 整理后得 距离A 距离B END 4 2质心与质心运动定律 一 质心 考虑两个质点组成的 孤立体系 由动量守恒得 式中定义 它表示一个位置 如图 c称为系统的质心 设 则质点系的运动就等同于一个质点的运动 该系统的动量就等于该 质点 的动量 系统的动量守恒就等同于该 质点 的动量守恒 结果表明 如果将两粒子系统看作一个质量集中在的一个质点 定义质量中心 将上述讨论推广到N个粒子系统 分量形式 对连续分布的物质 可以将其分为N个小质元 分量形式 式中 同样 对孤立的N粒子系统或连续分布体有 或 对于非孤立系统 每个质点都可能受到外力的作用 系统总动量一般不再守恒 例4 6 求半圆环的质心 质心不一定位于物体内部 解 二 质心运动定理 设想系统在外力的作用下运动 质心速度 质心加速度 质心运动定理 当质点系受到的合外力为零时 质心保持静止或匀速直线运动 动量守恒 质心运动 水平方向上外力为零 且在t 0时刻 两小孩静止 由质心运动定理 质心不动 两人相遇时 一定在其质心位置 按定义 t 0时质心位置为 此乃两人相遇地点的位置坐标 与前述用动量守恒定律所得结果相同 例4 8 三棱体C 滑块A B 各面均光滑 已知mC 4mA 16mB 300 600 求A下降h 10cm时三棱体C在水平方向的位移 解 水平方向无外力 质心水平位置不变 设三棱体位移为 例4 9 质量为M的人 手里拿着质量为m的物体 此人用与地平线成 的速度v0向前跳去 当他到达最高点时 把物体以相对于自己以速度u向后抛出 问由于物体的抛出 他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少 人不向后抛出物体 所跳过的距离 解法一 取地面坐标系 用动量守恒定律求解 人在最高点向后抛出物体的过程中 应用动量守恒定律 抛出物体后人的速度 比不抛出物体时速度增加了 抛出物体后多跳过的距离 解法二 质心坐标系中应用动量守恒定律 在下落时间过程中 人相对于质心运动的距离 即为人比不抛出物体时多跳过的距离 解法三 应用质心运动定律求解 人以相对于自己速度u抛出物体m 下落后 人M与物体m之间的距离 联立方程后 可得落地时人离质心距离为 END 有可能结合在一起 或产生新的成份 如粒子间的碰撞 4 3碰撞问题 一 碰撞过程 碰撞是自然界中十分普遍的现象 泛指一类 物体 间的 相互作用 特点 碰撞 前 无相互作用 接近时发生相互作用 碰撞 后 相互作用消失 作用时间短 作用力复杂 碰撞前后为自由运动状态 相互作用结果 由于碰撞过程中 1 相互作用强 2 力的形式复杂 3 无法直接测量和记录碰撞过程 难以直接研究 碰撞 但是 碰撞 前后 物体 的性质是容易测量的 通常根据 碰撞 前后 物体 性质的变化来研究 物体 间的相互作用性质 1 弹性碰撞 二 碰撞分类 按照 碰撞 前后 物体 的性质分类 碰撞 后的 物体 与 碰撞 前相同 且 物体 内部状态无变化 如 宏观物体无形变 无发热等 微观粒子 有内部结构 的状态同碰撞前 特点 碰撞 前后 物体 总能量保持不变 宏观物体指动能 微观粒子指广义能量 2 非弹性碰撞 碰撞 后的 物体 与 碰撞 前不相同 如 宏观物体有形变 有发热等 微观粒子 有内部结构 的状态不同于碰撞前 或产生新的粒子 或 物体 内部状态有变化 特点 碰撞 前后 物体 总机械能不守恒 对微观粒子指部分或全部机械能转化为内部能量 注意 力学部分的碰撞限于宏观物体的碰撞 由动量守恒守恒和总动能守恒 三 碰撞理论 讨论限于两个质点的弹性碰撞和完全非弹性碰撞其它情况同学们自学 1 弹性碰撞 如图所示 这是弹性碰撞所应遵循的两个一般关系 对一维碰撞 并设 仍向前运动 向后运动 速度互换 2 完全非弹性碰撞 以冲击摆为例 碰撞前后 水平方向动量守恒 通常用来测量高速运动物体的速度 碰撞后 两者一起运动 速度为 细绳张力始终垂直于其位移方向 不作功 只有重力作功 机械能守恒 入射物体的速度 只需测量复摆所摆动的最大角度即可 例4 10 已知板M l 小球m v0 h 弹簧k 桌面光滑 掉下时与板为弹性碰撞 求 1 弹簧最大压缩量 2 若只发生一次碰撞 则v0应满足什么条件 解 1 碰撞时 y方向碰撞 小球速度为 设为小球与平板碰撞后的速度 为平板碰撞后的速度 对于弹性碰撞 解得 碰后 板 弹簧 地球系统 得 2 小球从桌面下落至板上经历的时间 球要与板发生碰撞 首先须满足条件1 一次碰撞后 小球弹起再落回原碰撞处经历的时间 得 设平板质量很大 碰后弹簧的压缩量 h 即假定小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处 则小球只与板发生一次碰撞须满足的条件2 例4 11 光滑桌面上 质量为m1的小球以速度u碰在质量为m2的静止小球上 u与两球的连心线成 角 称为斜碰 设两球表面光滑 它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线 已知恢复系数为e 求碰撞后两球的速度 x y方向动量分别守恒 解 设碰后两球速度分别为v1 v2 方向如图 恢复系数 讨论 两个质量相等的小球发生弹性斜碰 m1 m2 e 1时 联立三个方程后求解 得 解 1 A球所受合外力的冲量 例4 12 光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和B 质量均为m 半径为R B球静止在盘壁边 A球以m s的速度斜射至 R R 处与盘壁和B球同时碰撞 碰撞后 若A球的速度为 求 1 A球所受合外力的冲量 2 A B组成的系统所受的合外力的冲量 3 球与壁之间的恢复系数 2 A B系统所受合外力的冲量 3 球与壁之间的恢复系数 例4 13 如图所示 一个质量为m的小球以入射角 与一粗糙的表面发生斜碰 已知小球与表面的摩擦系数为 恢复系数为e 求碰撞后小球的速度大小与方向 考虑小球 碰撞过程 忽略重力 由动量定理 x y 解 恢复系数 v0 m 例4 14 考察如图示两物体间的碰撞 求弹簧对地面的最大压力 解 由于竖直方向上有重力 弹性力的作用 动量不守恒 但是 由于碰撞过程时间很短 与冲击力相比 上述作用力的冲量可忽略不计 竖直方向近似动量守恒 以及碰撞后的机械能守恒 注意势能零点选择 对地面压力 END 4 5角动量与角动量定理 一 力矩 力是物体运动状态改变的原因 力可使物体产生平动或转动 力矩 遵从牛顿2nd定律 遵从什么规律 遵从角动量定理 力矩 如图所示 设力在垂直于转轴的平面内 还与力的方向 作用线到转轴的距离 有关 不仅与力的大小有关 考虑到力矩与转动的方向 定义 称为力对转轴的力矩 力矩方向如右上图所示 力对参考点O的力矩 为参考点到力的作用点的有向线段 力矩大小 这种定义适用于质点绕固定点的转动 二 角动量 类似于力矩的定义 可定义质点对参考点的角动量 角动量大小 方向如图所示 满足右手规则 满足右手规则 L单位 kg m2 s或J s 质点匀速率圆周运动 注意 同一质点相对于不同的点 角动量可以不同 在说明质点的角动量时 必须指明是对哪个点而言的 L mvR 质点对O点的角动量 的大小 角动量的大小 方向均不变 微分公式 三 质点的角动量定理 转动定律 适用于质点对参考点的转动 比照冲量 定义冲量矩 或 或 角动量定理 注意 1 物理意义 2 四 角动量守恒定律 由角动量定理 当 1 mvrsin const 2 轨道在同一平面内 说明 开普勒第二定律 开普勒第二定律 绕 固定轴 的角动量定理和守恒定律 设固定轴为z轴 则绕该轴的角动量守恒 若绕固定轴的力矩为0 即 力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力对该轴的力矩 质点对点的转动定律 其中 质点对轴的转动定律 绕 固定轴 的角动量定理和守恒定律 设固定轴为z轴 则绕该轴的角动量守恒 若绕固定轴的力矩为0 即 质点对点的转动定律 质点对轴的转动定律 质点的角动量守恒 由质点对轴的角动量定理 如果质点所受的力对轴 例如z轴 的合力矩为零 则质点对该轴的角动量就不随时间改变 质点对轴的角动量守恒定律 如果外力使质点变换轨道 由角动量守恒得 星团具有盘状结构 美国宇航局在地面拍摄的银河系的侧面 中央是银核 这是银河系外的M83星系 它的形状与大小和我们的银河系非常相似 星团具有盘状结构 1 引力使星团压缩 2 惯性离心力 随着r减小 离心力增大 当离心力与引力达到平衡时 r就一定了 但z轴方向无限制 最终压缩成铁饼状 星团具有盘状结构 讨论 1 天体系统为什么不坍缩 2 人造地球卫星为什么会掉下来 3 地球自转周期为什么变长 天体系统角动量守恒 大气对卫星的摩擦力相对于地心的力矩使卫星的角动量不断减小 月球引起的地球上的潮汐引起的 因为潮汐的周期与地球自转周期不同 地质研究表明 3亿年前 地球绕太阳一周 自转398圈 现在为365 25圈 解 例4 15 发射宇宙飞船去考察一质量为m1 半径