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第一章第一章 函数函数 函数是数学中最重要的基本概念之一 也是高等数学的主要研究对象 本章我们 将在中学数学的基础上 进一步阐明函数的一般定义 函数的简单性质以及与函数概 念有关的一些基本知识 1 1 集的初步概念集的初步概念 不论在数学或是在日常生活中 我们经常会遇到集这个概念 所谓集或集合就是指一些特定事物的全体 其中各个事物称为这集的元素 我们 常用大写字母 A B C 表示集 用小写字母 表示集中的元素 如果abc 是集 A 的元素则称属于 A 记作A 反之就称不属于 A 记作A a aa aa 可以用列举集中的元素来表示集 例如含元素 的集合可表示为abc 也可以用描述集中元素的特征性质来表示集 例如 0 1 2 3 可以表示为 abc 是整数 03 数学中常见的一些集及其记号如下 nn n 全体自然数组成的集 0 1 2 3 称为自然数集 记作 N N 全体整数组成的集 0 1 2 3 称为整数集 记作 Z Z 全体有理数组成的集 Z Z N N 且 0 称为有理数集 记作 Q Q qpp q q 全体实数组成的集称为实数集 记作 R R 如果集 A 的元素只有有限个 则称 A 为有限集 不含任何元素的集称为空集 记 作 一个非空集 如果不是有限集 就称为无限集 如果集 A 中的元素都是集 B 中的元素 则称 A 是 B 的子集 记作 BA 或 AB 读作 B 包含 A 或 A 包含于 B 如果集 A 与集 B 中的元素相同 即 AB 且 B A 则称 A 与 B 相等 记作 A B 本课程是在实数范围内研究函数 经常用到实数集 R R 的两类特殊子集 区间与 邻域 1 区间区间 设 R R 且 我们把 R R 的两个子集 和 分别ab abxaxbxa x b 称为以 为端点的开区间和闭区间 并分别记作 和 即ababab baxaxb baxa x b 这里 但 ab abab ab 从几何上看 开区间 表示数轴上以 为端点的线段上点的全体 而闭abab 区间 则表示数轴上以 为端点且包括 两端点的线段上点的全体 图 ababab 1 1 abab xx 图 1 1 在图 1 1 中 区间的端点不包括在内时 把端点画成空点 包括再内时 把端点 画成实点 类似定义和理解左开右闭区间 baxax b 和左闭右开区间 baxa xb 上述四种区间统称为有限区间 此外还有五种无限区间 axxa axxa a xxa a xxa R R xx 这里和只是一个记号 分别读作负无穷大和正无穷大 上述各种区间统称为区间 且常用字母来表示某个给定的区间 I 2 2 邻域邻域 设 且 我们把以为端点的开区间特别称为Ra 0 aa aa 记作 分别称为这邻域的中心和半径 由于邻域的 a aU 和a 当且仅当 亦即 因此有 aax axa ax axxaU 如果再把这邻域中的中心去掉 就称它为 记作 即a邻域的去心 a aU 0 axxaU 这里邻域的半径虽然没有规定其大小 但在使用中一般总是取为很小的正 数 并且大多数情形下并不一定要指明的大小 这时我们往往把的邻域和的去 aa 心邻域分别简化为和 aU aU 1 2 函数概念函数概念 1 常量与变量常量与变量 自然界的现象无一不在变化之中 我们在考察某个自然现象 社会经济现象或生 产过程时 常常会遇到一些不同的量 如长度 面积 体积 时间 速度 温度 等 我们遇到的量一般可以分为两种 一种是在过程进行中一直保持不变 这种量称 为常量 另一种却在过程中不断变化着 这种量称为变量 例如 一个物体作匀速直 线运动 则速度是常量 而时间与位移的大小都是变量 又如 一块金属圆板 由于 热胀冷缩 在受热的过程中它的半径与面积在不断变大 冷却时又不断变小 因此 这圆板的半径与面积都是变量 但在整个过程中 面积与半径的平方之比 即圆周率 始终不变 是一个常量 通常用字母等表示常量 用字母等表示变量 cba vutzyx 2 函数的定义函数的定义 在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中 我们还会发现问题中的变量并不 是独立变化的 它们之间往往存在着相互依赖关系 例例 1 自由落体问题自由落体问题 o t 一个自由落体 从开始下落时算起经过的时间设为 秒 在这段时间中落体的路t 程设为 米 由于只考虑重力对落体的作用 而忽略空气阻力等其它外力的影响 s 故从物理学知道 与 之间有如下的依赖关系st 2 1 2 2 1 gts 其中为重力加速度 在地面附近它近似于常数 通常取米 秒 g8 9 g 2 如果落体从开始到着地所需的时间为 则变量 的变化范围 或称变域 为Tt Tt 0 当 在变域内任取一值时 由 2 1 可求出 的对应值 例如ts 秒 时 米 1 t9 418 9 2 1 2 s 秒 时 米 2 t 6 1928 9 2 1 2 s 例例 2 某化工公司统计去年农用化肥月生产量如下表所示 月份 月份 1 2 34 5 6 7 8 9101112 月产量 万吨 5 15 25 66 25 95 55 85 06 15 44 24 1 从上表可以看出过去一年该公司月产量 万吨 与月份 之间有着确定的对应关系 当xt 月份 在 1 至 12 之间每取一整数值时 从表中便得出月产量的唯一确定的对应值 tx 例例 3 图 1 2 是气温自动记录仪描出的某一天的温度变化曲线 它给出了时间 与气温之间的依赖关系 tT T 30 25 20 15 10 5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 图 1 2 时间 小时 的变域是 当 在这范围内任取一值时 从图 2 1 中的曲t240 tt 线可找出气温的对应值 例如时 为一天中的最高温度 14 tCT 25 以上的例子所描述的问题虽各不相同 但却有共同的特征 它们都表达了两个变 量之间的相互依赖关系 当一个变量在它的变域中任取定一值时 另一个变量按一定 法则就有一个确定的值与之对应 把这种确定的依赖关系抽象出来 就是函数的概 念 定义定义 1 2 1 设是实数集 R 的子集 是一个对应法则 如果对于中的每一DfD 个 按照对应法则 都有确定的实数与之对应 则称为定义在上的函xfyfD 数 集称为函数的定义域 与中相对应的称为在的函数值 记作DfDxyfx 全体函数值的集 xfy DxxfyyW 称为函数的值域 f 如果把 分别看作 R 中的变量 则称为自变量 为因变量 xyDxy 关于函数概念 我们作以下几点补充说明 1 函数与函数值是两个截然不同的概念 前者是确定自变量与因变量f xfx 之间数值对应的一个法则 后者表示函数在的值 从定义 1 2 1 可知 决定一个yfx 函数必须知道它的定义域 对应法则和值域 但当与确定之后 也就DfWDfW 随之确定 因此定义域和对应法则是决定函数的两个要素 在高等数学中 为了Df 突出表现函数的这两个要素 我们习惯于用 Dxxfy 来表示一个函数 函数的这种表示使得与这两个变量之间的对应关系简明 运算xy 方便 熟练之后也不致引起函数与函数值之间的混淆 2 我们知道 表示一个函数 除了给出对应法则外 还应标明它的定义域 今后如果提出一个函数 它的对应法则由数学式子给出 且未标明定义域时 其 含义是它的定义域就是使得这个式子有意义的自变量全体之集 这样的定义域也称x 为自然定义域 可以省略不写 例如 如果我们给出函数 它的定义域显然是 x y 1 指的一切实数 又如给出函数 是指它定义在闭区间上 0 x 2 1xy 1 1 在实际问题中 函数的定义域往往要受到具体条件的限制 例如函数 如 2 cxy 果变量与不受问题具体涵意的限制 它的定义域应是无限区间 但如果xy 取 与分别表示圆的半径与面积 则这个函数就是圆的面积公式 在 cxy 时不再有实际意义 因此函数的定义域就成为区间 又如果取 0 x 0 gc 2 1 这里为重力加速度 而与分别表示自由落体所经过的时间 与路程 则这函gxyts 数就是前面例 1 中的公式 2 1 其定义域就应为闭区间 其中为落体着地的时 0 TT 刻 我们把这种由实际问题所确定的函数定义域也称为实际定义域 3 根据函数的定义 对于定义域的任一值 函数仅有一个确定的值x xfy 与之对应 如果在函数定义中 允许同一个值 可以有几个 甚至无穷多个确定的x 值与之相对应 则称它为多值函数 而把仅有一个确定值与之对应的函数称为单y 值函数 例如函数是一个单值函数 而函数则是多 双 值函12 xy 2 1xy 数 在一定条件下 多值函数可以分裂为若干个单值支 例如双值函数 就可以分成两个单值支 和 从而把对多值函数 2 1xy 2 1xy 2 1xy 的讨论转化为讨论它的各个单值支 今后凡未作特别说明时 所论函数都是指单值函 数 还应指出 定义 1 2 1 中只提出因变量与一个自变量之间的关系 但在实际问yx 题中往往会遇到多个自变量的情境 例如矩形的面积 由它的长和宽所决定 Axy 即 是两个自变量和的函数 我们把只含一个自变量的函数称为一元函数 含xyA xy 有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数 本课程我们只讨论一元函数 4 两个函数相同或相等 是指它们有相同的定义域和相同的对应法则 即在相 同的定义域中 每个所对应的函数值总相同 例如与是不相同的两xxy 2 xy 个函数 因为它们的对应法则不相同 又如与 虽然在它们共同有定义的1 y x x y 范围内对应法则相同 但因为它们的定义域不同 所以也是两个不相同的函数 两个 相同的函数 其对应法则的表达形式也可能不同 例如与 从1 yxxy 22 cossin 表面形式上看不相同 但却是同一个函数 3 函数的表示法函数的表示法 x x x x y x y x o x o x 函数的表示法就是用来确定函数的对应法则的方法 从上面所举的三个例子 我 们看到 例 1 中函数的对应法则是用一个公式或者说解析式来表示 这种表示法称为 解析法 例 2 中函数的对应法则用一张表格来表示 这种表示法称为表格法 例 3 中 函数的对应法则是通过坐标平面上的一段曲线来表示 这种表示法称为图象法 一般地 我们可以把函数 看作一个有序数对的集 Dxxfy DxxfyyxC 集中的每一个元素在坐标平面上表示一个点 从而点集就描出这个函数的图形CC 或图象 以上表示函数的三种方法各有其特点 表格法可以直接查用 图象法来得直观 而解析法形式简明 便于作理论研究和数学计算 因此解析式理所当然成为我们今后 表示函数的主要形式 一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解析式来表示 通常称这种形式 的函数为分段函数 例如符号函数 0 1 0 0 0 1 sgn x x x x 和取整函数 2 1 0 1 nnxnnx 都是分段函数 它们的图形如图 1 3 和图 1 4 所示 2 1 1 2 11 2 3 1 1 2 图 1 3 图 1 4 1 3 函数的简单性质函数的简单性质 1 有界性有界性 设函数在集上有定义 若存在常数 K 或 K 使对一切有 xfD 12 Dx K 或 K xf 1 xf 2 则称在上有上界 或有下界 若存在正数 使对一切有 xfDMDx Mxf 则称在上有界 如果这样的不存在 就称在上无界 即对任给的正 xfDM xfD 数 总存在 使 MDx 1 Mxf 1 函数的有界性与集有关 例如在上有界 因为存在 使D x xf 1 1 1 M 对一切有 但它在内却是无界的 因为对任给的正数 1 x1 1 x 1 0 1 M 总存在 使 1 0 2 1 1 M xMM x xf 2 1 1 1 一个函数如果在其定义域上有界 就称它为有界函数 有界函数的图形必位于两 条直线与之间 例如 是有界函数 因为在它的定义域My My xysin 内 又从图 1 5 不难看出 函数在内无界 函数 1 sin x 3 xy 在内仅有下界 因此说它们都是无界函数 2 xy yy 3 xy 2 xy oxox 图 1 5 2 单调性单调性 设函数在集上有定义 如果对中任意两个数 当时 总 xfDD 1 x 2 x 21 xx 有 或 21 xfxf 21 xfxf 则称在集上单调增加 或单调减少 简称单增 或单减 若当时 总有 xfD 21 xx 或 21 xfxf 21 xfxf 则称在集上严格单增 或严格单减 xfD 单增和单减的函数统称为单调函数 严格单增和严格单减的函数统称为严格单调 函数 例如函数在内是严格单增的 因为对任意 R 有 3 xxf 1 x 2 x 2 221 2 121 3 2 3 121 xxxxxxxxxfxf 当时 由于 而 21 xx 0 21 xx 0 4 3 2 2 2 22 1 2 221 2 1 x x xxxxx 故总有 即 0 21 xfxf 21 xfxf 又如函数在区间上严格单减 在区间上严格单增 但在整 2 xxg 0 0 个区间内却不是单调的 这说明函数的单调性亦与集有关 D 3 奇偶性奇偶性 设 其中关于原点对称 即当时有 如果对任Dxxfy DDx Dx 意 总有Dx 或 xfxf xfxf 则称为奇函数 或偶函数 xf 例如 是奇函数 是偶函数 因为对任意R 总有 3 xxf 2 xxg x 33 xfxxxf 22 xgxxxg o y 又如三角函数中 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 而xysin xycos 既不是奇函数 也不是偶函数 xxycossin 在坐标平面上 偶函数的图形关于轴对称 奇函数的图形关于原点对称 y 4 周期性周期性 设函数 若存在常数 使对任意 总有Dxxfy 0 lDx xflxf 则称为周期函数 称为的一个周期 显然 若 为的一个周期 则 xfl xfl xf 也都是它的周期 所以一个周期函数一定有无穷多个周期 通常所 2 1 kkl 说周期函数的周期是指最小正周期 例如 函数是周期为 1 的周期函数 图 1 6 xxy 3 2 1 1 2 3 4 x 图 1 6 又如三角函数中 和是周期为的周期函数 和是周期为xsinxcos 2xtanxcot 的周期函数 但并非任何周期函数都有最小正周期 例如常量函数是周期函数 任何Cxf 实数都是它的周期 因而不存在最小正周期 周期函数的图形在每个区间上都是一样的 其中为任意整数 1 lkxklx k 为轴上任意一点 xx 1 4 反函数反函数 y 考察定义在集上的函数 其中是自变量 是因变量 可以独立D xfy xyx 取值 却按确定的法则随而定 换句话说 函数所要反映的是怎样随yx xfy y 着而定的法则 当然 我们也可以考察随而定的法则 由此引出如下反函数的xxy 概念 定义定义 1 4 1 设函数的定义域为 值域为 若对中每一值 中 xfy DWW 0 yD 必有一个值 使 则令与相对应 便可在上确定一个函数 称此 0 x 00 yxf 0 x 0 yW 函数为函数的反函数 记作 xfy 1 yfx Wy 4 1 相对于反函数来说 原来的函数称为直接函数 1 yfx xfy 由定义 1 4 1 可知 反函数的定义域和值域分别是它的直接函数 1 yfx 的值域和定义域 因此也可以说两者互为反函数 xfy 例如 函数的反函数是 的反函数是 3 xy 3 yx x y 1 y x 1 由于我们所说的函数总是指单值函数 在这个意义上 并不是任何一个函数都有 反函数的 例如就没有 单值 反函数 因为对值域上任一正数 在 2 xy 0 y 其定义域内有两个互为相反的值与之对应 但如果把限制在上取 xx 0 值 则有反函数 即是函数 的反函数 称它为yx yx 2 xy 0 x 的一个单值支 另一个单值支为 图 1 7 2 xy yx y y o y x 图 1 7 xy 从图 1 7 得到启示 若函数的图形与任一平行于轴的直线至多有一个交点 x 则它有 单值的 反函数 严格单调函数就具有这种特性 定理定理 1 4 1 严格单增 减 函数必有反函数 且反函数也是严格单增 减 的 证 设 是严格单增函数 值域为 于是对中任一值 有 xfy Dx WW 0 y 使 根据在上严格单增的性质 对中任一 当Dx 000 yxf xfDD 01 xx 时 有 当时 有 因此只有一个 01 xx 01 xfxf 01 xx 01 xfxf Dx 0 使 从而证得的确存在 单值的 反函数 00 yxf xfy 1 yfx Wy 今任取 且 记 就有 Wyy 21 21 yy 1 1 1 yfx 2 1 2 yfx 11 xfy 且 于是又由的严格单增性推出必有 所以反 22 xfy 21 xfxf xf 21 xx 函数 也是严格单增的 1 yfx Wy 严格单减函数的情形可以类似证明 注意到与是变量与的同一个方程 所以在同一个坐标平面 xfy 1 yfx xy 内它们有同一个图形 这样的反函数也称本义反函数 由于函数的确定在于它规定的对应法则 而与变量记号的使用无关 因此按照通 常的习惯 若以记自变量 记因变量 则 的反函数 4 1 可改xy xfy Dx 写为 4 2 1 xfy Wx 不难说明 在同一坐标平面内 与的图形是关于直线对 xfy 1 xfy xy 称的 图 1 8 y xfy baP 1 xfy M abQ ox 图 1 8 设为的图形上任一点 则 随之有 即是说 baP xfy afb 1 bfa 在的图形上必有一点与对应 反之亦然 经过两点的 1 xfy abQ baPQP 直线斜率为 它与直线的斜率 1 互为负倒数 且线段的中点1 ab ba kxy PQ 在直线上 由此推出直线垂直且平分线段 换句话说 2 2 baba M xy xy PQ 两点对称于直线 从而说明了我们的断言 QP xy 利用这个性质 由的图形容易作出它的反函数的图形 这样 xfy 1 xfy 的反函数也称为矫形反函数 求一个函数的反函数通常是指求出它的矫形反函数 当 从理论上研究有关反函数的性质时 则必须考虑它的本义反函数 例例 1 求函数的反函数 又问当满足什么条 0 bcad dcx bax ydcba 件时 这反函数与直接函数相同 解解 由 得 dcx bax y baxydcx 或 bdyxacy 所以 acy bdy x 反函数是 acx bdx y 考虑反函数与直接函数相同的条件 当时 它们的定义域均为一切实数 0 c 为使两函数相同 只要对任意R 有 x a bdx d bax 由此推出或且 da 0 b0 da 当时 两函数仅当时有相同的定义域 这时对应法则亦相同 0 cda 综合可知 当或且时 这反函数与直接函数相同 da 0 cb0 da 1 5 复合函数复合函数 在实际问题中 我们还经常遇到两个函数之间发生联系的情境 例如 在自由落 体运动中 落体的动能是速度 的函数Ev 2 2 1 mvE 其中为落体的质量 我们又知道 落体的速度 是时间 的函数 mvt gtv 因此 如果要研究动能与时间的关系 就得把代入 结果是gtv 2 2 1 mvE 22 2 1 tmgE 由此看到与 的对应关系是由两个函数与复合而成的 一般地有Et 2 2 1 mvE gtv 定义定义 1 5 1 已知两个函数 1 D uufy 2 D xxu 如果 则对每个 通过函数有确定的 21 2 DxDxxD 2 Dx xu 与之对应 又通过函数有确定的实数与的对应 从而得到一个以 1 Du ufy yu 为自变量 为因变量定义在上的函数 称它为由函数与复合xy 2 D ufy xu 而成的复合函数 记作 2 Dxxfy 其中称为外函数 称为内函数 称为中间变量 ufy xu u 由定义 1 5 1 可知 当 即外函数的定义域与内函数的值域的交集非空时 2 D 两个函数才能复合 例如 函数与可以复合成函数uy 2 cos 2 xu 22 cos xy 函数与可以复合成函数uy 2 1xu 2 1xy 但函数与就不能进行复合 因为外函数的定义域与内函数2 uyxusin 2 的值域不相交 1 1 两个函数复合的过程 其实就是用内函数表达式来代替外函数表达式中的自变量 使之成为复合函数的表达式 这里涉及到外函数 内函数和复合函数 当已知其中某 两个函数时 我们可以通过其复合关系求出另一个函数 例例 1 设 求 0 1 0 1 x xx xf xff 解解 0 1 0 1 xf xfxf xff 易知当时 而 当1 x01 xxfxxxfxff 2 1 1 1 时 无论及 均有 从而 所以1 x01 x0 x0 xf1 xff 1 1 1 2 x xx xff 例例 2 已知 求 2 1 1 xx x f xf 解解 令 则 代入已知表达式 得t x 1 t x 1 11 1 1 1 2 2 t t ttt tf 所以 11 2 x x x xf 复合函数可以由两个以上的函数构成 例如 由三个函数 u y5 3 vu 复合而成的函数为12 xv 3 12 5 x y 反过来我们也能将一个比较复杂的函数分解成几个简单函数的复合 例如 函数 可以看作由以下三个函数 2 2 1logxy uy 2 log vu 1 2 xv 复合而成 1 6 初等函数初等函数 在自然科学和工程技术中 最常见的函数是初等函数 而五种基本初等函数 指 数函数 对数函数 幂函数 三角函数 反三角函数 则是构成初等函数的基础 在 10 aay x o ox x 中学里我们已经学习过这几种函数 本节再予以适当回顾 并对它们的性质略加补 充 1 指数函数指数函数 1 0 aaay x 定义域为 任意R 总有 且 所以指数函数的图形位于轴 x0 x a1 0 ax 的上方 且通过点 值域为 当时为严格单增函数 当时 1 0 0 1 a10 a 为严格单减函数 图 1 9 在今后的学习中 常用的指数函数是 其中为无理数 x ey 7182818284 2 e yy 1 aay x 1 log ay x a 10 log ay x a 图 1 9 图 1 10 2 对数函数对数函数 1 0 log aay x a 它是指数函数的反函数 所以它的定义域为 值域为 当 x ay 0 时为严格单增函数 当时为严格单减函数 它的图形位于轴的右方 1 a10 ay 且通过点 图 1 10 0 1 工程数学中常常用到以 为底的对数函数 称为自然对数 并简记为e x e ylog xyln 3 幂函数幂函数 R xy0 它的定义域当是正整数时为 当是负整数时为不为零的一切实数 当 o x y ox y o y xox y 3 1 xy 是有理数或无理数时情况比较复杂 但不论为何值 幂函数在内总有定 0 义 这时可以把它看作指数函数与对数函数的复合函数 u ey xuln xex x 0 ln 并且它的图形总经过点 的图形如图 1 11 a b c d 所示 1 1 3 1 2 1 2 1 1 x y 1 2 2 1 x y a b 2 1 xy 3 1 图 1 11 4 三角函数三角函数 正弦函数 xysin x 余弦函数 xycos x 正切函数 Z xytan 2 12 kx k 余切函数 Z xycot kx k 正割函数 Z xysec 2 12 kx k 余割函数 Z xycsc kx k 我们在中学里已经知道 这些函数都是周期函数 1 正弦函数与余弦函数都是以为周期的周期函数 正弦函数为奇函数 余弦 2 函数为偶函数 由于 c d xysin xycos xytan xytan xycot 1 sin x1 cos x 所以它们是有界函数 其图形位于两条平行直线与之间 图 1 12 a b 1 y1 y 2 正切函数与余切函数都是以为周期的函数 它们都是奇函数 其图形对称 于原点 正切函数在区间内严格单增 余切函数在区间内严格单减 2 2 0 图 1 13 a b 3 正割函数与余割函数也都是以为周期的周期函数 正割函数为偶函数 2 余割函数为奇函数 由于 故可以将它们分别转化为对余 cos 1 sec x x x x sin 1 csc 弦函数和正弦函数的讨论 y 1 2 2 o x 1 图 1 12 a y 1 2 2 ox 图 1 12 b yy 2 2 3 2 o 2 2 3 x o x x x o o 2 2 2 2 1 1 2 图 1 13 a 图 1 13 b 5 反三角函数反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数 由于三角函数都是周期函数 故对于其值域的 每个值 与之对应的值有无穷多个 因此在三角函数的定义域上 其 单值的 反yx 函数是不存在的 为了避免多值性 我们在各个三角函数中适当选取它们的一个严格 单调区间 由此得出的反函数称之为反三角函数的主值支 简称主值 反正弦函数 xyarcsin 1 1 x 2 2 y 反余弦函数 xyarccos 1 1 x 0 y 反正切函数 xyarctan x 2 2 y 反余切函数 xarcycot x 0 y 它们的图形如图 1 14 a b c d 所示 yy xyarcsin 11 xyarccos x x y y o o xyarctan xarcycot 2 2 2 2 图 1 14 a 图 1 14 b 图 1 14 c 图 1 14 d 上列五种函数统称为基本初等函数 是最常用 最基本的函数 6 初等函数初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合所产生并且能 用一个解析式表示的函数称为初等函数 例如函数 2 1xy 3 2 2sin 3 xy 21 log 1 2 2 2 sin x x xy x 都是初等函数 并非所有函数皆为初等函数 分段函数一般就不是初等函数 不是初等函数的函 数统称为非初等函数 例如 符号函数 取整函数都是非初等函数 但也有xsgn x 分段函数却能用一个解析式来表示 如函数可以写成 0 0 xx xx xf 2 xxf 因而它是一个初等函数 1 7 建立函数关系举例建立函数关系举例 o R r A C 运用数学工具去解决实际问题 往往需要找出问题中变量之间的函数关系 然后 对它加以研究 而函数关系的建立并无一定的法则可循 只能根据具体问题作具体分 析和处理 下面我们通过几个实例来了解建立函数关系的过程 这也是培养我们综合运用知 识以及分析问题和解决问题能力的不可缺少的基本训练之一 例例 1 一球的半径为 作外切于球的圆锥 图 1 15 试将圆锥的体积表示为R 圆锥高的函数 hs 解解 设圆锥的体积为 底半径为 则 Vr 从立体几何学知道 h 7 1 hrV 2 3 1 现在要把 用表示出来 由图可知 rhSBCRt SOARt 且 故得 22 rhSB RhSO B 图 1 15 R r Rh rh 22 或 Rh hR r 2 2 2 以此代入 7 1 得 hR Rh hR V2 2 3 22 这就是所求的函数 例例 2 已知一物体与地面的摩擦系数为 重量为 设有一与水平方向成角 P 的拉力 使物体从静止开始运动 图 1 16 求物体开始移动时时拉力与角之FF 间的函数关系式 解解 力沿水平方向分力的大小为 F cosF 垂直方向分力的大小为 根据库仑定律 物 sinF 体对于地面的摩擦力的大小与正压力成正比 即R 因为要使水平方向的分力与摩 sin FPR 擦力平衡 故有 o 图 1 16 sin cos FPF 即 sincos P F 2 0 这就是所求的函数关系式 例 3 一根长为 的弦 两端点固定在和处 今用一抛物型凸件 其顶l0 xlx 点位于弦的中点处 将弦横向顶出 使弦的中点 y 位移为 图 1 17 然后抽开凸件 任弦作微h 小横振动 试将弦的初位移 即抽开凸件瞬间 弦的位移 表示为的函数 yxh 解 按题意 弦的初位移满足抛物线方程 2 l lx 图 1 17h l xay 2 2 其中为待定常数 因为点 0 0 在抛物线上 所以它的坐标应满足方程 从而有ao h al 4 0 2 由此得 2 4 l h a 所求函数为 lxh l x l h y 0 2 4 2 2 即 lxx l h x l h y 0 44 2 2 例 4 校田径队某队员在教练指导下进行 3000 米跑的训练 训练计划要求是 1 起跑后 匀加速 10 秒时达到每秒 5 米的速度 然后匀速跑到 2 分 2 开始均匀减速 到 5 分钟时已减到每秒 4 米 再保持匀速跑 4 分时间 3 在 1 分之内 均匀加速达到每秒 5 米的速度 保持匀速往下跑 4 最后 200 米 均匀加速冲刺 使撞线时的速度达到每秒 8 米 试写出跑步速度关于时间 的函数 t 解 算出各时间段的位移 列表如下 s 秒 t 0 10 120 10 300 120 540 300 600 540 637 600 13 10 667 637 米 s25550810960270185200 设速度 当时 其中是加速度 由于 tvv 100 tatvv 0 a0 0 0 vv 代入上式得5 10 v 即 a105 2 1 a 所以 2 t v 当时 由 得出 300120 t 120 5 tbv4 300 v 180 1 b 所以 3 17 180 120 180 1 5 t tv 当时 由 得出 600540 t 540 4 tcv5 600 v 60 1 c 所以 5 60 540 60 1 4 t tv 当时 由 得出 13 10 667637 t 637 5 tkv8 13 10 667 v 400 39 k 所以 2284339 400 1 637 400 39 5 ttv 因此速度 关于时间 的函数为vt 13 10 667637 2284339 400 1 637600 5 60054