智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第四章.pdf

2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 91 第四章 随机变量的 6 大数字特征 2009 考试内容 本大纲为数学 1 数学 3 需要根据大纲作部分增删 随机变量的数学期望 均值 方差 标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩 协方差 相关系数 及其性质 考试要求 1 理解随机变量数字特征 数学期望 方差 标准差 矩 协方差 相关系数 的概念 会运用数字特征 的基本性质 并掌握常用分布的数字特征 2 会求随机变量函数的数学期望 考点导读 数学期望EX 方差DX 协方差 XY Cov X Ys或 相关系数 XY r 矩 协方差及其矩阵S 一 数学期望 考研数学 4 种平均概念 算数平均 几何平均 区间平均 加权平均 即概率平均 也就是数学期望 1 一维随机变量及函数 Yg X 的数学期望 离散型 11 kkkkkk kK P XxpEXx porg xp 连续型 EXx f x dx org x f x dx f x为X的概率密度 2 二维随机变量函数 Zg XY 的数学期望EZ 11 iiijiiij ij P XxYypEZg xy p 离散型 EZg x y f x y dxdy 连续型 3 数学期望的常用结论 3 1 E CC E EXEX 3 2 E aXbYaEXbEY 3 3 EXYEXEYEXEXYEY XY独立EXYEXEY 3 4 2 22 EXYEX EY 3 5 2 2 1 0 10 2 x xNexx dxxaxa dxjjj p 二 方 差 2 22 DXE XEXEXE X X D Xs 标准方差 1 离散型 2 1 kk k DXxEXp 2 连续型 2 DXxE Xf x dx 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 92 3 方差的常用结论 3 1 0 D C 0D EX 3 2 2 D CXC DX 3 3 22 2 2 XY XY D XYDXDYEXEXYEYDXDYCov X YDXDY DXDYD X D Y s r 3 4 XY与独立 22 D aXbYa DXb DY 3 5 XY与独立 22 D XYDXDYDX EYDY EX 3 6 2 DXE XC C为任意常数 三 13 大分布的数学期望与方差 1 0 1 分布 1 1 1 0 1 k k P XkppBpk 0 1 i P Xp 1 i P Xp 1 0 0 1 1 ikk k E Xx pppp 11 2222 00 0 1 1 1 ikikkk kk D XxE Xpxpppppppp 1 EXpDXpp 2 二项分布 kkn k n P XkC p qB n p 为n个0 1 分布之和 1111 1 nnnn iiii iiii EXEXE XnpDXDXD Xnpp 3 泊松分布 ke P XkP k l l l 0 l 当0 xkPe l 1 01 222 0 2222 1 1 1 kk kk k k e EXkeee kk EXE X XXk keee k DXE XE X l lll lll ll lll l lllll llll 4 均匀分布 1 0 axb ba f xU a b 11 12 F nn分布 2 212 2 22 2 2 122 22 2 4 2 24 nnnn E XnD Xn n n nn 12 二维均匀分布的数学期望和方差 22 22 1212 abcd E X Y f x yU a b c d badc D X Y 13 二维正态分布的数学期望和方差 12 22 1212 22 12 E X Y f x yN D X Y mm m mssr ss 一维随机变量数学期望题型题法 例 1 设随机变量 X 分布列为 1 1012 2 11111 366124 X p 求 2 1 E XEXE X 解 由随机变量 X 的分布得 X 1 0 1 2 1 2 1X 2 1 1 2 0 1 2 X 1 0 1 4 1 4 p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4 故 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 95 2 1111111 1012 36261243 1111112 1 2101 36261243 11111135 1 04 312646424 E X EX E X 例 2 1 设 2 2XU 1YMax x 求EY 解 1 1 1 1 4 EYE Max xMax xf x dxMax xdx 2112 2211 11115 11 44444 Max xdxx dxdxxdx 例 2 2 设 1 2XU 1 0 0 0 1 0 X YX X 0XNm ss 其分布函数 F x曲线的拐点为 1 1 2 该点的斜率为 1 求 2 EX 解 2 2 2 2 1 0 2 x XNf xe m s m ss ps 根据题意有 2 2 222 01 11 11 22 11 11 22 Fxfxx Fxf x EXDXEX m s psp sm pp 例 4 设排球队A和B比赛 若有一队胜三场 则比赛结束 假定A获胜的概率为 1 2 p 求比赛场数X 的数学期望 解 X的可能取值为 3 4 5 1 n k kk n XB n pC ppPkm X 3 表示A或B全胜 3 330 33 1 31 4 P XC pCp X 4 表示A在第四场取胜或B在第四场取胜 2 222 33 3 4111 8 P Xp C pppCpp X 5 表示A在第五场取胜或B在第五场取胜 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 96 22 2222 44 3 4111 8 P Xp C pppCpp 345 333 3454 133 888 488 XEX 例 5 设球队A与B进行比赛 若有一队胜 4 场则比赛结束 已知A B两队在每场比赛中获胜概率都 是 1 2 求需要比赛的场数的 E X 解 设比赛的场数为X 则X的可能取值 4 5 6 7 相应的概率为 133 23 111 4 228 P XCC 1 2 C 第一场比赛中某队胜一场 3 3 C 该队还需连胜三场 比赛结束 133 24 1111 5 2224 P XCC 最后的 1 2 表示胜出一队输一场 以此类推 1332 25 1115 6 22216 P XCC 1333 26 1115 7 22216 115593 45676 84161616 P XCC E X 例 6 一辆汽车沿街道行使 需要通过三个相互独立的红绿信号灯路口 已知红绿信号显示时间相等 以 X表示该汽车首次遇到红灯已通过的路口个数 求 1 1 E X 解 X的可能取值为 0 1 2 3 记 i Ai 汽车在第个路口首次遇到红灯 则 1 2 i i P AP A 1 1212 22 1313 2323 11 1 0 2 1 1 4 1 2 8 1 3 8 1111111167 1 1224384896 P XP A P XP A AP A P A P XP A A AP A P AP A P XP A A AP A P AP A E X 例 7 已知甲乙两箱中装有同种产品 其中甲中正品和次品各 3 件 乙只有 3 件正品 现从甲箱任取 3 件产品放入乙箱后 求 1乙箱中的次品数X的EX 2从乙箱中任取一件是次品的概率P 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 97 解 1记 0 1 2 3 1 i i Xi i 从甲箱中取出的第 件产品是正品 从甲箱中取出的第 件产品是次品 123 01 13 3 11 22 22 i XEXE XXX 2 应用全概率公式 记事件A 从乙箱中任取一件是次品 333 000 11131 666624 kkk k P AP Xk P A XkP Xkk P XkEX 例 8 设两个相互独立的事件 A B都 不发生的概率为 1 9 事件A发生B不发生的概率与事件A不发生 B发生的概率相等 令 1 1 A B X 事件同时发生 其他 求EX 解 事件A发生B不发生的概率与事件A不发生B发生的概率相等 即 P ABP AB 2 2 112 933 251 111 399 P AP ABP BP ABP AP BP AP B P A BP A P BP AP AP A EXP ABP ABP A P BP A P B 例 9 设 XY是两个相互独立且都服从正态分布 1 0 2 N 求E XY 解 令ZXY 0 1 EZDZZ 2 2 1 0 1 2 x Ne p 22 22 0 112 2 22 xx E XYE Zxedxxedx ppp 例 10 一个系统由两个系统并联而成 若只有一个系统发生故障 则系统还能工作 两个系统的工作寿 命分别为 X 与 Y 且相互独立 并均服从指数分布 1 0 00 t et f t t l l 0 l 求系统工作寿命下的ET 解 联合密度函数为 2 1 0 00 x y et f x y t l l 由 TMax XY 得 xxy TMax x y yxy 求 D XY 解 X Y有四种可能值 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 11 1 63 1 11 10 21 1 11 1 63 21 1 11 1 63 P XYP UU P XYP UU P XYP UU P XYP UU 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 100 2 2 2 202041 11 11 11 1 11112111 0 33333333 28 40 33 XYXYXY D XYE XYE XY 例 17 设随机变量 X 的概率密度函数 1 2 x a f xe x a 为常数 求 E XD X与 并判断X与X的独立性 解 1 2 x a E Xxf x dxxedx 1 22 x ax a a xa edxedx 令 xat 则 t te 为奇函数 0 2 x a a E Xedxa 归一性 22 1 2 x a D XE XE Xxaedx 22 0 11 22 22 tt xatt e dtt e dt 设0a 事件 XaXa 则 01P XaP Xa 于是有 PXa XaPXa PXaP XaP XaP Xa Xa 故 x与 x 不是相互独立 例 18 1 2 x Xf xex 求 1EXDXE Min x 解 22 0 1 0 232 2 x EXEXxe dx G 2 2 2DXEXEX 11 11 11 11 1 01 1 1 111 222 11 1 22 xx xxx xxx E Min xMin xf x dxx f x dxf x dx xedxedxedx xe dxe dxe dxe 例 19 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布 试求 1 3EX与 3DX 2 3X E e 与 3X D e 解 2 2 0 2 0 0 x ex f x x l 求DY 解 1 12 1 23 0 x XUf x other 正相关 负相关 相关系数 XY r的性质反应了两个随机变量X和Y的线性关系 1 01 MinXY er 2 X和Y独 立 说 明X和Y什 么 关 系 都 没 有 当 然 也 不 会 有 线 性 关 系 从 而 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 104 0Cov X Y 0 XY r 0 XY r X和Y不相关 但只能说明X和Y没有线性关系 但X 和Y可能有非线性关系 X和Y当然不一定独立 也就是说 独立必不相关 不相关不一定独立 只有对正态分布和二值分布而言 独立和不相关才是完全等价 3 1 XY r 的充要条件是使 10P YaXba 表示X和Y是完全的线性关系 不相关的等价命题 均为充要条件 1 0Cov X Y 2 0 XY r 3 EXYEX EY 4 D XYDXDY 矩和协方差矩阵 1 k阶矩原点矩 1 kkk ii i E xx px f x dx ii P Xxp 2 k阶中心矩 1 kkk ii i E XE XxE XpxE Xf x dx 3 k l阶混合矩 k EXE XYE Y l 显然 EX为 X 的一阶原点矩 DX是 X 的二阶中心矩 CovX Y是 X Y 的 1 1 阶混合中心矩 也就是说随机变量的全部数字特征最终都可以由矩来统一 4 协方差矩阵 设 n 维随机变量 12 1 1 n XXX L的阶混合中心矩 ijijiijj Cov XYEXE XxE Xs 则协方差矩阵定义为 11121 21222 12 n n nnnn sss sss sss L L LLLL L 由于 ijji ss 是一个对称矩阵 它给出了 n 维随机变量的全部方差和协方差 如对二维随即变量 12 XX 有四个二阶中心矩 下面的 12 XXS是重要考点 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 105 2 1111111 1211221221 2 2222222 cov cov cov cov ijij XX EXE XXXDX EXE XXE XXX EXE XXXDX s s ss s 12 12 112 1121112 12 1222122 122 cov cov X X X X DXDX DX DXXX XX XXDX DX DXDX r ss ss r S 5 n维正态随机变量的性质 n 维随机变量 12 n XXX 服从 n 维正态分布的充要条件是 22 1122 11 nn nniiii ii C XC XC XNCCms 即他们的线性组合服从一维正态分布 若 1 n XX 服从 n 维正态分布 1212 kn Y YYXXX 是 的线性函数 则 1 k YYL服从k维正 态分布 1 n XX 服从n维正态的分布 则 1 n XXL相互独立的充要条件是 12 n XXX 两两不相关 这 是正态分布的特别之处 二维随机变量或两个随机变量函数的数字特征题型题法 例 22 已知 X Y分布率为 Y X 1 0 1 Xj fxP 1 1 8 1 8 1 8 3 8 0 1 8 0 1 8 2 8 1 1 8 1 8 1 8 3 8 Yi fyP 3 8 2 8 3 8 1 试求 XY r 解 323 1010 888 EX 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 106 2 22 3233 101 8884 EX 2 2 3 4 DXEXEX 同理 3 0 4 EYDY 11111 1111101101 88888 11111 0 00 1110 01 10 88888 00 ij ij XY EXYijp Cov X YEXYEXEYr 例 23 设 8 01 0 0 xyxyx f x y other 求 XY r 解 2 11 2 222 0000 42242 8 8 533575 xx EXxxydxdyEXxxydxdyDXEXEX 2 11 2 222 0000 811811 8 8 153315225 xx EYyxydxdyEYyxydxdyDYEYEY 1 00 4484 8 9915225 4 2 66 225 33211 75 225 x XY EXYxyxydxdyCov X YEXYEX EY EXYEX EY DX DY r 例 24 X和Y在 222 XYr 上服从联合均匀分布 求 XY r 解 222 2 1 0 xyr f x yr other p 2222 2222 2222 2222 2121 0 0 rxry rxry XY ryrx dyxrdyyr fxfy rrrr otherother pppp 222 2222 222 221 0 0 0 0 rr rr xyr XY ryrx EXxdxEYydyEXYxydxdy rrr Cov X YEXYEX EY DX DYDX DY ppp r 评 注 上例中 由于0 XY r 所以 XY不相关 又由于 XY f x yfx fy 故 XY并不独立 本题形象地表明 虽然没有线性关系 但存在二次关系 非线性关系 因此不独立 也说明了独立的本质 是 既没有线性关系 也没有非线性关系 例 25 已知 XY在以点 0 0 1 0 1 1 为顶点的三角形区域服从均匀分布 对 XY作 4 次独立重复观察 观察值XY 不超过 1 出现的次数为Z 求 2 EZ 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 107 解 2 01 0 yx f xy other 4 ZBp 2 2 2 1 111111 1 5 242242 x y pP XYf xy dxdyEZDZEZ 例 26 在长为l 的线段上任取两点 试求两点间距离的数学期望与方差 解 将线段置于 x 轴的区间 0 l上 设 X Y 表示线路上任取两点的坐标 随机变量ZXY 表示这 两点的距离 则由 X Y 相互独立 且均服从 0 l上的均匀分布 0 Ul 得 X Y的联合密度 函数为 2 1 0 0 0 xlyl l f x y 其它 22 0000 222222333 222 00 11 111111111 2223223 lllxl x ll EZE XYxydxdyxy dyyx dy dx ll l xxlxx lxdxxlxadxlll lll 222 2222 2 00 1 36918 ll llll D ZE ZEZxydxdy l 例 27 设 1 1 2 1 4 8 X YN 求2DXY 解 11 1 2 1 4 1 1 2 4 88 XY X YNXNYNr 2 2 22 2 222 120 1 2444 1441 49 8 2 2 0 9 0 1 3 16 23 22 181818 22222909 XY u EXYEXEY DXYDXDYDX DY XY XYNUN EXYuedu DXYEXYEXYDXYEXY r pp ppp 例 28 设 X Y Z 相互独立 且两两构成的二维随机变量均服从二维正态分布 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 X YN X ZN Y ZN 试求 WXYZD W 的 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 108 解 1D XD YD Z 11 0 22 XYXZYZ rrrr 11 0 22 2 2 2 3 XY Cov X YD XD YCov X ZCov Y Z D WD XYZD XD YD ZCov X YCov X ZCov Y Z r 例 29 XY独立同分布 12 21 33 X UMax X Y VMin X Y 求 Cov U V 解 U V有三个可能值 1 1 1 2 2 2 224 1 11 1 339 214 2 11 22 12 339 111 2 22 2 339 P UVP XY P UVP XYP XY P UVP XY 1212 4581 9999 141044116 1 11 2 02 12 2 999999 1614104 99981 UV EUEVEUV Cov X YEUVEU EV 例 30 将一枚硬币重复掷n次 以 XY分别表示正面向上和反面向上 求 XY r 解 11 22 XYnXB nYB n 22 2 222 2 1 24 44 4 1 24444 4 XY XY XY nn EXEYnpDXDYnpp nn Cov XYEXYEX EYE X nXE nXDXEX n nnnnn DX DY n s s r V U 1 2 1 4 9 0 2 4 9 1 9 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 109 例 31 XY独立同分布 UXY VXY 则 U V必然 AB CD 不独立独立 相关系数不为零相关系数为零 解 22 0EUVEXYXYEXEYEU EV 故 D成立 当 XY为正态分布时 则 U V也为正态 由 U V不相关得出 U V独立 但 XY为非正态分布时 就未必 如取 11 00 11 22 P XP YP XP Y 则有 1 10 10 1 4 1 21 11 1 4 131 1 2 012 2216 P UP XYP XPY P UP XYP XPY P UUP XYP UP U 故 A B都不一定成立 例 32 设 X Y的分布律为 X Y 0 1 0 1 p 0 1 0 p 求 XY Cov X Yr和 解 易知 X 的分布律 0 1 1 P XpP Xp Y 的分布律 0 1 1 P XpP Yp 故 1 1 E XpD Xpp E YpD Ypp iiij ij E XYx y Pp 仅当1 ii xy 时不为 0 2 1 Cov X YE XYE X E Ypppp 1 1 1 1 XY Cov X Ypp D XD Ypppp r 例 33 设 X Y的概率密度为 01 01 0 xyxy f x y 其它 求 Cov X Y 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 110 解 1 0 1 01 2 0 X xy dyxx fx 其它 1 01 2 0 Y yy fy 其它 11 00 11 00 1717 212212 1 3 1771 31212144 E Xx xdxE Yy ydy E XYxy xy dxdy Cov X YE XYE X E Y 例 34 点 X Y在以 0 0 1 0 0 1为顶点的三角形内服从均匀分布 求 XY r 解 2 0 x yD f x y other 11 00 1111 0000 1 2 22 0 22 1 0122 1 01 0 0 111 2 1 2 1 2 3312 2 1 xy XY x dyxxdxyy fxfy otherother EXxx dxEYyy dyEXYdxxydy DXEXEXxx 1 2 22 0 2 1111 2 1 918918 111 1 1233 2 1 18 XY dxDYEYEYyy dy Cov X Y DX DY r 评 注 尽管 f x y为常数 相当于可分离变量 但由于正概率区间非矩形 故 X Y一定 是部分相关的 本质上相当于两个随机变量存在取值纠缠 例 35 1 10 2 1 02 4 1 2 X x fxx other 2 YX 求 1 Y fy 2 Cov X Y 1 3 4 2 F 解 0 0 2 0 10 0 0 113 01 244 1 1111 14 2424 1 4 y y Y y y Pyxydxdxyy FyP Xy Pyxydxdxyy y 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 111 3 01 8 1 14 8 0 YY y y fyFyy y other 独立同分布 服从 0 1N 1 1 n i i XX n ii YXX 求 1 i DY 1 2 n Cov YY 1 3 0 n P YY 解 1 11 1 iiiki k i DYD XXDXXXX nn 注意 和 不独立 2222 11111 1 ik k i nnn DXDXn nnnnn 2 1111 nnnn Cov YYEYEYYEYE XXXX Y X 0 1 0 2 3 1 12 1 1 6 1 12 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 115 2 11 1 2 22 111 21 1 22 1111 21 1111 11111 0 1111 01001 nn nn ninni ii nn ninnni ii EX XEXEX XEX X EX EXDXEXEXEX XEXEX X nnnn EX EXDXEXEX XDXEXEX X nnnnn nnnn 11 00 nn 3 1 111 2 222 n nnni i nn YYXXXXXXX nnn 1 11 2 222 0 n nni i nn E YYEXXX nnn 11 1 Y 0 2 nn YYP YY 可见 属于对称轴为 轴的对称正态分布 故 例 40 设 1 02 02 8 0 xyxy f x y 其它 求 XYXY E XE YD XD YCov X YrS 与 解 22 00 7 6 E Xxf x y dxdyE Y 22 22 00 11 36 D Xx f x y dxdyEXD Y 22 00 1771 86636 Cov X YE XYE X E Yxy xy dxdy 1 11 XY Cov X Y D XD Y r 1112 2122 cov cov XY DXX Y X YDY ss ss S 111 3636 111 3636 XY S 例 41 设随机变量 X Y的联合分布函数为 0 0 y Cxexy f x y other 求 1 2P XY 显然 XY不独立 又 2 11 0 2 0 02 22 0 0 1 1 2 2 24 X YX Y Y X Y x x xyfx y x yfx yfx fy other other x P XYfxdxdx 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 117 1 2 1 1 0 0 0 n Xx n x fx xex n l l 2令 2 ZMax XY 2 1 1 22 2 222 0 0 0 0 0 0 11 1 0 1 0 ZY X YZzz zX z FzP ZzP Max XYzP Xz YzP Xz PYzFz Fz z z z FzFzFz eeez ez ll l l 11 22 0 0 0 11 0 2 Zzzzz z z fz eeeez z llll l l 3 222222 0CovXYXYDXDY 例 43 设 X Y服从G上的均匀分布 其中 02 01Gx yxy 设 0 1 XY U XY 0 2 1 2 XY V XY 求 UV r 解法一 利用面积比 2 2 2 2 133333 111 4444416 111111 12121 222224 EUP XYP XYEUEUDU EVP XYP XYEVEVDV 131 11 242 1 12 2313 164 UV EUVP XYr 解法二 利用 X Y的分布律 0 0 0 1 1 0 1 1U V 111 2 2 424 1 0 0 2 4 0 1 20 1 1 0 22 4 1 1 1 22 2 P XYP XYP YXY P UVP XYXYP XY P UVP XYXYP P UVP XYXYP YXY P UVP XYXYP XY F 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 118 22 22 1113 01 4424 313113 01 4444216 1111 01 4422 111111 01 244224 1111 0 00 1 0 1 01 1 4422 131 242 3 16 UV EU DU EV DV EUV EUVEU EV DU DV r 1 13 4 例 44 已知 0 1 XN 在Xx 条件下 1 YN x 求Y的分布和 XY r 解 2 2 11 22 11 22 xy x XY X fxefy xe pp 2 2 22 11 22 11 221 1 2 1 2 2 1 2 1101000 2 2111222 221 2 11 0 0 1 2 0 2 22 xy x XY X xxyy XY f xyfx fy xee xxyy ee NYN p p p r 例 45 已知 1 X 2 X相互独立且服从 1 Pl和 2 Pl 1 12 01P XXe 求 2 12 E XX 解 2 2222 1212121212 22E XXE XXX XEXEXEXEX 2 22 1122121212 2llllllllll U V 0 1 0 1 4 1 4 1 0 1 2 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 119 12 12 12 1 121212 1212 1 12 22 121212 011010 10 0100 11 111 2 P XXeP XXP XX P XXP XP X eee ee E XX llll ll ll llll 例 46 1 1 1 1 XUYxaa 0 XY r 求a的值 解 1 11 02 0 x Xf xEX other 11 2 11 00 1 300 26 XY a a EXYEX EY a EXYEX Xax xa dxx ax dxx xa dxaa r 例 47 已知 12 n XXXL相互独立 方差相同 2 0s 求 1 D XX 和 1 X X r 解 2 2 22 111 12 11111 1 nn ii ii nnn D XXD XXDXXn nnnnnn s ss 1 2 11111 11 2 1 1 111 ov cov cov cov cov 1 nn ii ii X X CXXXXXXXX nnnn XX n n DXDX n s s r s s 例 48 设 1 1 0 9 16 2 XYN 32 XY Z 求 XZ EZ DZr 并说明X Z是否独立 解 101 32323 XY EZE 111 2cov 1453 43 329432332 cov 1111 cov cov cov 3300 3232 XY XYXZ XYDXDYXY DZDDXDY X Z X ZX XX YDXDXDY DXDY r rr 因为 XY 是正态分布 故 32 XY X 即 XZ 也是正态分布 又0 XZ r 对正态分布不相关与 独立等价 故X Z独立 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 120 例 49 设 1 X 2 X相互独立 i XB i p 1 2i 令随机变量 12 1 12 0 1 1 1 XX Y XX 21 2 21 0 2 1 2 XX Y XX 试确定p使 12 X X s最小 解 根据题意 12 3 XXBp 又 1 Y 2 Y 1 Y 2 Y都服从0 1 分布 故 1 ii EYP Y 2 12 111123 22221 0 00222 1203 122121 2 1 2121212 11011111 3 11012 10 21111 0 01 20 000000 03 EYP YP YP XXC pppq EYP YP YP XX P XXC ppC ppp q P YYP XXXXP P YYP YYP YP YP YYpq F 1 2 1 2 1 2 2 22 1 21 21 2 3 22223 121 212 2 2 33 1101 3 cov 1 31 3131 1 911 20 2 113 31 2264 YY YY YY Min p q EYYP YYP YYpqp q Y YEYYEY EYpqp qpqp qpp pppp s s s 例 50 0 1xNF 求 1 lim 1 x a x x x F F 解 2 2 2 22 2 1 111 2 limlimlim 1 1 2 a x x x xxx aaaa xxe xxxx xx e j p j p F F 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 limlim1 xa a x a a a x x xx a e ax ee x e 例 51 设 01 1 1 13 2 44 XP Y n维向量 123 aaa线性无关 求向量 122331 2 XYaaaaaa 线性相关的概率 解 123 aaa线性无关 则 122331 2 XYaaaaaa 线性相关 必有 1 1223312 3 110110 2 012012020 00 XYXY YXYX a aaaaaaa a 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 121 1 1 2 1113 200 01 1 2224 PY P XYP XYP XYP XYP Y Q 例 52 0 2 0 1X YU 求 00 20 211 Y AX 的特征值全为实根的概率 解 1 2 0 x yD f x y x y D 2 0 201204401 211 Y EAXXYXYXY l lllll l D 1 2 12 10 11 1111 1 11 ln2 2222 x xyxy P XYf x y dxdydxdySSdxdy 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 122 第四章 随机变量的数字特征模拟题 一 填空题 1 某产品的次品率为 0 1 检验员每天检验 4 次 每次随机地取 10 件产品进行检验 如发现其中的次品数 多于 1 就去调整设备 以 X 表示一天中调整设备的次数 则 X 的数学期望为 方差为 设诸产品是否为次品是相互独立的 2 设 的概率密度为 01 1 0 2 axbx f xE Xab 且则 其他 3 设随机变量 的分布函数 0 1 0 2 10 0 6 01 1 1 x x F x x x EX 则 DX 4 设随机变量 和 的相关系数0 7 XY r 若Z X 0 8 则Y与Z的相关系数为 5 设随机变量 2 0 1 n XY XNYXnr 为正整数 则相关系数 二 选择题 设离散型随机变量 的所有可能取值为 123 1 2 3 2 3 xxxE X 且 0 61 D X 则 123 x xx所对应的概率为 123 0 1 0 2 0 7 ppp 123 0 2 0 3 0 5 ppp 123 0 3 0 5 0 2ppp 123 0 2 0 5 0 3 ppp 设 是一随机变量 且 22 E XD Xmsm s 为常数则对任意常数 c 必有 22 E XcE Xm 22 E XcE Xm 22 E XcE Xm 22 E XcE Xc 设随机变量 和 相互独立 且同服从 上的均匀分布 则服从相应区间或区域上均匀分布 的是 2 X 设随机变量 与 相互独立 则 XE X E YE Y 1 X EE X E YY 2010智轩考研数学创高分红宝书系列 概率论与数理统计 第四章 随机变量6大数字特征 http bbs qinjing cc 123 设二维连续型随机变量 服从 222 Dx yxya 上的均匀分布 则 和 不相关 不独立 和 相互独立 和 相关 和