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高等光学第1-3章习题答案第一章光的基本电磁理论1.1 在非均匀介质中，介电系数是空间位置的函数，波动方程有下面的形式解释为什么当电场的三个分量中有多于两个不为0时，电场分量之间就会出现耦合。解答: 因而 由上式看到式的分量中含有和，分量中含有和，分量中含有和，结合题中所给出的波动方程看到电场的三个分量中有多与两个不为0时分量之间出现了交叉耦合。1.2（1）在（1-57）式中若，验证平面波是波动方程（1-51）的解。（2）验证（1-62）式所示的球面波是波动方程（1-60）的解。解答：（1）波动方程为 (1-51)即 令 ， 则有 (A1-1) (A1-2)将(A1-1)、(A1-2)式代入波动方程的左边，显见（2）波动方程为 (1-60)即 设 ， 令 ， 则有 用同样方法可以求出 之值。这里注意 ， 代入后即可证得1.3 证明群速度与材料色散有下面的关系式解答： 根据（1-129）式 因此1.4在光学中场量和的表示方法有许多种，分别推导采用以下三种表示方法时平均光强的计算公式。(1) 设场量表示为，(2) 设场量表示为，(3) 设场量表示为，解答：（1） 取时间平均值得到 （2）和均以实数表示展开后取时间平均得 或 （3）和均以实数表示展开后取时间平均得 或 1.5（1）一右旋圆偏振光在通过1/2波片以后变成一个左旋圆偏振光，求此1/2波片的琼斯矩阵表示。（2）快轴沿x方向的1/4波片，其琼斯矩阵为，一线偏振光的偏振方向与轴的交角为45，求此线偏振光经过上述1/4波片后的偏振态。若入射至上述1/4波片的光是一左旋圆偏振光，结果又如何？（3）用快轴沿y轴的1/4波片和透光轴与x轴成-45角的偏振器组合在一起, 就构成了一个只让入射的右旋圆偏振光通过的装置，试证明这一结论。解答：（1）由讲义第一章中表1-2，入射的右旋圆偏振光电矢量的列矩阵为出射的左旋圆偏振光的电矢量的列矩阵为设所求的波片的琼斯矩阵为 ， 因此有 右边展开后得到 比较后得 ， ， ， 对照第一章表1-3，它是一个快轴沿轴或轴的波片。（2） 出射光为一左旋圆偏振光 出射光为一线偏振光，其偏振方向与轴夹角为。（3）本题本质上与上题相同，只是换一种叙述方式。设有一右旋圆偏振光入射至快轴沿轴的波片上，则有这正是一个偏振方向与轴成角的线偏振光，它能够通过透光轴与轴成角的偏振器。1.6 求（1-201）式中所表示的表象之间的变换矩阵。解答：设偏振光表示为也可以表示为 比较以上两式得到因此 1.7设一个偏振态与下列偏振态正交 (1) 求该偏振态的琼斯矩阵表示。 (2) 证明两个相互正交椭圆偏振态的椭圆主轴是相互垂直的，电矢量末端的旋转方向是相反的。解答：（1）设所求偏振态的琼斯矩阵表示为，由得或 ， ， （2）将坐标轴沿逆时针方向旋转，则有将上式结果与比较，它们在各自的坐标系中描述偏振态变化的椭圆形状一样，由指数上符号判断它们的旋向相反。由于这两个坐标系的轴成角，因而它们椭圆的主轴是相互垂直的。1.8 有两个单色平面波它们的电矢量分别表示为设这两个波的偏振态是正交的，的两个直角坐标分量之间的相位差为，的两个直角坐标分量之间的相位差为(1) 试证明；(2) 设和均，证明；(3) 令和分别为和的琼斯矩阵表示中分量和分量之比，证明。解答：（1）设 由得到 （P1.8-1）因为、均为实数，所以 （P1.8-2）（2）正交的椭圆偏振态旋向相反，这就是说和的表达式中和反号，所以（3） （P1.8-3）由（P1.8-1）和（P1.8-2）式得到 （P1.8-4） 将（P1.8-2）和（P1.8-4）式代入（P1.8-3）式中得到 证毕1.9 在图1-11所示的椭圆主轴坐标系中，一般偏振光两个分量的复数表示为式中，设(1) 证明在坐标系中，表示光波偏振态的归一化琼斯矩阵为(2) 在为基矢的空间中，求上述偏振光的表示，并由此验证在为基矢的空间中右旋及左旋圆偏振光的琼斯矩阵分别为 和 解答： 式中 琼斯矩阵 取归一化的形式 在、坐标系中，以为基矢的空间中取得到在为基矢的空间中右旋及左旋圆偏振光的琼斯矩阵分别为和。1.10 证明透光轴与轴成角的检偏器的琼斯矩阵为这个矩阵是否是幺正变换矩阵。证明：图p1-10设入射光的琼斯矢量为，当入射光通过检偏器时，将矢量的两个分量投影在透光轴P的方向上，投影后的分量叠加得到这就是透射光的振幅，将它投影到、方向得到将上面的关系式写成如下形式因而检偏器的琼斯矩阵为容易验证，不是幺正变换矩阵。1.11写出邦加球球面上下述点的琼斯矩阵表示：与x轴交点、与y轴交点、北极和南极。解答：由(1-217)式参考图1-19，与轴交点 ，代入得到与轴交点 ，代入得到与轴成的线偏振光北极， 归一化后得到（右旋圆偏振光）南极，归一化后得到（左旋圆偏振光）1.12过邦加球的球心作一条直线，该直线与球面相交于两点，试证明这两点所对应的偏振态是正交的。解答： 图P1-12邦加球参考图P1-12所示的邦加球对于直径两端对应的点来说、与、之间有关系式 ， ， ， ， P点所表示的偏振态为点所表示的偏振态为1.13 证明（1-241）式和（1-242）式，即, =解答：由(1-239)式 =式中表示电场的两直角坐标分量之比。由(1-217)式 式中，均为时间的函数。 由此式可以求出 = 将的分母有理化得即(1-241)式， 即(1-242)式1.14利用计算变换后相干矩阵的迹的方法，证明检偏方向与轴夹角为的检偏器透过的光强度可以表示为式中、分别为入射光相干矩阵的矩阵元。证明：透光轴方向与轴夹角为的检偏器的琼斯矩阵为 当时，琼斯矩阵 设入射光的相干矩阵为 经检偏器后的出射光相干矩阵为经检偏器输出的光平均强度为相干矩阵的迹，因而由相干矩阵的厄米共轭性，得到1.15利用计算相干矩阵迹的方法证明，通过一块快轴沿波片及一个检偏方向与轴成角的检偏器出射的光强度可以表示为证明: 快轴沿轴的波片的琼斯矩阵为 ，起偏方向与轴成角的检偏器的琼斯矩阵为 。上述两个光学元件串联，总的琼斯矩阵为 设入射光的相干矩阵为 出射光的相干矩阵为出射的平均光强为相干矩阵的迹，因而由相干矩阵的厄米共轭性，得到1.16 证明如果将在同一方向上传播的几个独立的光波叠加，则合成波的相干矩阵等于参与叠加的各个波相干矩阵之和。用式子来表示就是式中是合成波的相干矩阵元，是第个波的相干矩阵元。证明: 设各个波的电矢量分量表示为，通常它们都是复数，合成波的电矢量分量为 因此其相干矩阵元为题中已假定各个波是相互独立的，后一球和号内各项均为0，由此得出式中是第个波的相干矩阵元，上式表明合成波的相干阵等于所有波的相干矩阵之和。1.17 准单色光的斯托克斯参量由(1-286)式所定义，证明对于部分偏振光证明： 由教材中（1-250）和（1-251）式 因而有 1.18设光强为的光波垂直入射在一个偏振器上，改变偏振器的起偏方向，使之分别通过偏振方向与 轴成、0、的线偏振光。四次测量的结果用、来表示。又用一个波片和偏振器的组合，使得只让右旋圆偏振光或者只让左旋圆偏振光通过，测得的光强用、表示，证明由(1-286)式所定义的斯托克斯参量与用以上方法测得的光强有(1-289)式所描述的关系。解答： 图p1.18由(1-214)式令 ， 由(1-238a)式在坐标系中将轴旋转角在坐标系中，沿和方向测量得到的偏振分量的振幅分别为和若将入射光按左右旋去分解，设展开式系数为和由上式看出 (1)(1-289a)式的证明(2) (1-289b)式的证明(3) (1-289c)式的证明在坐标系中，沿和方向的偏振分量强度之差即为在新的坐标系中沿新轴和新轴偏振分量的强度之差，它等于 (4) (1-289d)式的证明准单色分量的右旋和左旋圆偏振分量之差为1.19 证明在全反射条件下，透射光波场玻印廷矢量的三个分量由(1-380)式给出，并据此说明沿方向的平均能流恒为正，。提示 ： 玻印廷矢量的表达式由（1-379）式给出，以其中的分量为例 （P1.19-1）式中每一项为两个因子相乘，这是一个非线性运算。由（1-377）和（1-378）式给出的表达式均为复数形式，以（1-377b）式为例，应该用下式代替（P1.19-1）式中的去计算，其余量、类推。经过相当冗繁的运算后，得到形式上与（1-380）式相同的结果，容易看出。运用倍角公式，容易证得。第二章干涉理论基础和干涉仪2.1用迈克耳逊干涉仪进行精密测长，光源波长为633nm，其谱线宽度为10nm，光电接收元件的灵敏度可达1/10个条纹，问这台仪器测长精度是多少？一次测长量程是多少？解答：设测长精度为，则由探测器接受灵敏度所决定， （32nm）一次测长量程由相干长度所决定， 2.2 雨过天晴，马路边上的积水上有油膜，太阳光照射过去，当油膜较薄时呈现出彩色，解释为什么油膜较厚时彩色消失。解答：太阳光是一多色光，相干长度较小。当油膜较厚时光经上下两界面反射时的光程差超过了入射光的相干长度，因而干涉条纹消失。2.3计算下列光的相干长度(1)高压汞灯的绿线，(2)HeNe激光器发出的光，解答：计算相干长度（1） （2） 2.4在杨氏双缝实验中（1）若以一单色线光源照明，设线光源平行于狭缝，光在通过狭缝以后光强之比为1:2，求产生的干涉条纹可见度。（2）若以直径为0.1mm的一段钨丝作为杨氏干涉实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双缝必须与灯丝相距多远？设=550nm解答：（1） （2）由(2-104)式 M2.5图p2-5所示的杨氏干涉实验中扩展光源宽度为p，光源波长为5893，针孔P1、P2大小相同，相距为d，Z0=1m， Z1=1m（1）当两孔P1、P2相距d=2mm时，计算光源的宽度由=0增大到0.1mm时观察屏上可见度变化范围。（2）设p=0.2mm，Z0、Z1不变，改变P1P2之间的孔距d，当可见度第一次为0时 d=?（3）仍设p=0.2mm，若d=3mm， .求面上z轴附近的可见度函数。 图p2-5解答：（1）由(2-106)式 （2）由(2-107)式 mm（3） 2.6 有两束振幅相等的平行光，设它们相干，在原点处这两束光的初相位，偏振方向均垂直于平面，这两束光的入射方向与轴的夹角大小相等（如图p2-6所示），对称地斜射在记录面上，光波波长为633。(1) 作出平面，并在该平面上大致画出干涉条纹的形状，画三条即可。(2) 当两束光的夹角和时，求平面上干涉条纹的间距和空间频率。(3) 设置于平面上记录面感光物质的空间分辨率为2000条/mm，若要记录干涉条纹，问上述相干涉的两束光波波矢方向的夹角最大不能超过多少度。图p2-6-1解答：参考教材(2-31)式，干涉条纹的间距（1） 在平面上干涉条纹的大致形状如图p2-6-2所示。图p2-6-2（2）两光束夹角时， ， 条/mm两光束夹角时， ， ， 条/mm（3） 由和计算得到2.7如图p2-7所示，三束相干平行光传播方向均与平面平行，与轴夹角分别为、0、。光波波长为，振幅之比。设它们的偏振方向均垂直于平面，在原点处的初相位。求在的平面上(1) 合成振幅分布(2) 光强分布(3) 条纹间距图p2-7 解答：（1）三束光在平面上的复振幅分布分别为总的复振幅分布（2）在平面上光强分布（3）条纹间距 2.8 如图p2-8所示，S为一单色点光源，P1、P2为大小相同的小孔，孔径间距为，透镜的半径为，焦距为f，P1、P2关于z轴对称。（1）若在观察平面上看到干涉条纹，条纹的形状和间距如何？（2）当观察屏的位置由Z=0开始增大时，求面上观察到的条纹横向总宽度，讨论条纹总数与Z的关系。 图p2-8-1解答： 图p2-8-2由P1P2点发出的光波经透镜后变成两束平行光，设这两束光与轴的夹角大小为，两束光重叠区域坐标的最大值为。当观察屏由开始向右移动时屏上干涉区域的横向宽度为。（1） 条纹垂直于纸面，间距（2）增至时条纹消失，由当0时，条纹的总宽度 条纹总数 2.9 在图P2-9所示的维纳驻波实验中，设光不是垂直入射而是以角入射。对于以下两种情况，求电能密度的时间平均值(1) 入射光的偏振方向垂直于入射面；(2) 入射光的偏振方向平行于入射面；(3) 以上两种情形中那一种会使感光乳胶在曝光、显影后得到明暗相间的条纹。当图中乳胶膜与镜M成角时，求乳胶膜F上条纹的间距。 图p2-9 维纳驻波实验解答：（1）入射光的偏振方向垂直于入射面时，在入射角时由（2-41）式给出所以电矢量的振幅以及电能密度的时间平均值沿方向是周期变化的。由（1-81）式，电能密度的时间平均值结果与坐标有关，与坐标、无关。（2）入射光的偏振方向平行于入射面时，在入射角时，由（2-41）式给出由（1-81）式电能密度的时间平均值经时间平均后电能密度与无关。（3）比较以上结果，当入射光的偏振方向平行于入射面时，与无关因而感光乳胶在曝光、显影后变黑是均匀的。当入射光的偏振方向垂直于入射面时，与有关，与、无关，在照像底片上能够得到明暗相间的条纹。干涉条纹的间距 考虑到乳胶膜与镜M成角，在乳胶膜上得到的条纹的间距2.10 在杨氏实验中光源为一双谱线点光源，发出波长为和的光，光强均为I0，双孔距离为d，孔所在的屏与观察屏的距离为D，求：（1）观察屏上条纹的可见度函数。（2）在可见度变化的一个周期中干涉条纹变化的次数。（3）设=5890，=5896,d=2mm,D=50cm,求条纹第一次取极小值及可见度函数第一次为0时在观察屏上的位置。解答： （1） ， 其中 ， 图p2.10以及，表达式中有一个函数，它是周期函数被一个的振幅包络所调制的结果(见图P2-10)， 条纹的可见度 （2）可见度变化周期 条纹间距为 在可见度变化的一个周期中明暗的变化次数为，则有式中 （）（3）由，得 mm （可见度函数第一次为0）由，得 （条纹第一次消失）2.11 光源的光谱分布规律如图p2-11所示，图中以波数作为横轴，波数的中心值为在光谱宽度范围内F()不变，将从光源来的光分成强度相等的两束，设这两束光再度 相遇时的偏振方向相同，光程差为，试求：（1）两光束干涉后所得光强的表达式I()（2）干涉条纹的对比度V(（3）对比度V的第一个零点所对应的？ 图p2-11 解答：两束光的每一束在范围内光的强度为 ， （1） （2）可见度 （3）第一个零点处，由这一关系式得到2.12 如图p2-12所示，一辐射波长范围为、中心波长为的准单色点光源S置于z轴上，与透镜La相距（为La的焦距）在与z轴相垂直的屏0上有两个长狭缝S1、S2，它们垂直于纸面对称放置，透镜Lb紧靠在0在Lb的后焦面上观察干涉条纹，当X由0增大时求条纹第一个零点所对应的X值。图p2-12-1解答： 图p2-12-1方法一 ， ， 方法二 即 ， ， 2.13 图p2-13所示是一个由光波导制成的马赫曾特尔干涉仪。它由三个部分组成：第I部分是对输入信号进行分路的耦合器，耦合器的长度为；第II部分是长度相差的两条波导，它们的折射率；第III部分与第I部分的结构和功能相同，也是一个耦合器，其作用是将信号进行复合。以下讨论中不计光在波导中的传输损耗。耦合区长度为的耦合器传输矩阵为式中为常数。图p2-13中第II部分的传输矩阵为(1) 若I、III部分的耦合器对每一路输入信号均具有分束并平分功率的功能，试证明它的传输矩阵为 (2) 设频率附近有频率相差（）的两个单色光信号、分别从图p2-13中左端的两个入口处输入，在进入端口时它们的初始相位相同。若要全部光功率只在右端的同一个端口，如端口2探测到，求干涉仪两臂差应满足的条件。图p2-132.13解（1）对于一个平分功率的3dB耦合器来说，传输矩阵中，因此有（2）两个臂的输出光场和与输入场和的关系为 （P2.13-1）式中 （P2.13-2） 图P2-13所示的结构就构成了一个复用器，设波长为的光从处注入，波长为的光从处注入。利用（P2.13-1）式得到输出场和分别是两个输入场单独分布时的总和： （P2.13-3a） （P2.13-3b）式中，（）。输出光功率 （P2.13-4a） （P2.13-4b）式中，（）。在推导以上两式时，由于交叉项的频率是光载波频率的两倍，光探测器不能响应，因而在式中没有写出该项。由以上两式可以看出，若要全部光功率只在右端的同一个端口如端口2探测到，需要有及，或者 （P2.13-5）因此干涉仪两臂的长度差应满足 （P2.13-6）式中是由端口入射的两光波之间的频率差。2.14 一直径为1cm单色扩展圆形面发光光源，面上各面元发出的光波相互独立，如果用干涉孔径角来量度的话，其空间相干范围是多少弧度？如果用相干面积量度, 求离光源1m远处的相干面积有多大？10m远处的相干面积有多大？ 设光源波长。解答：光源线度cm，由(2-119)式，对于角直径为的均匀圆盘光源 相干面积计算的准则，参考(2-109)式所下的定义，由 在近似估计时所采用将线度平方的方法，根据这一方法，对于圆形光源由 当m时， 当m时 2.15 (1)什么是定域条纹，什么是非定域条纹。(2)结合图2-30说明对于一个楔角很小的平面劈如何确定以S为中心的扩展光源产生的定域条纹的位置。(3)在图2-32所示的情形中，若入射的平行光垂直于劈角的尖劈表面，问干涉条纹定域在什么位置。提示：（1）参考教材2-6中有关部分。（2）参考教材2-6中图2-30及其说明（3）定域在尖劈的上表面第三章光学薄膜的基本知识3.1 证明在TM波入射的情况下单层膜的特征矩阵为=式中=，其它参数及图示参考3.1节中图3-2。图p3-1解答: 模仿教材3-1中推导TE波入射情况下求特征矩阵所用的方法。在界面I处： (p3.1-1) (p3.1-2)由非磁性介质中和的关系式(p3.1-2)式化为 (p3.1-3)在界面II处： (p3.1-4) (p3.1-5)由(p3.1-3)式，(p3.1-5)式化为 (p3.1-6)两个界面上的电矢量有关系式 由(p3.1-7)和(p3.1-8)两式，(p3.1-4)、(p3.1-6)两式化为由(p3.1-9)和(p3.1-10)两式解出 (p3.1-11)和 (p3.1-12)将(p3.1-11)、(p3.1-12)式代入(p3.1-1)式，并令有 (p3.1-13)用同样的方法得到 (p3.1-14)由(p3.1-13)和(p3.1-14)式 式中 3.2 如图p3-2所示，有一单层介质膜，入射光由折射率为的介质经过界面I、单层膜及界面II后进入折射率为 的衬底，入射光在界面I和界面II一次反射的振幅反射率分别为和，一次透射的振幅透射率分别为和。将三层介质看作一个整体，证明它的振幅反射率和振幅透射率分别为 ， 式中 其中为真空中光波波长，为单层膜厚度，为膜的折射率，为光波在介质2中的折射角。证明：图p3-2 令和分别为光由折射率为的介质入射至折射率为的介质时的振幅反射系数和振幅透射系数。和分别表示光由折射率为的介质入射至折射率为的介质时的振幅反射系数和振幅透射系数。当介质没有吸收时，由斯托克斯定律可知，这些量存在如下关系 （P3.2-1） （P3.2-2）设入射光的振幅为1，不考虑介质对光波的吸收，图P3.2中所示各反射光的振幅依次为 ， ， ， （P3.2-3）式中振幅反射系数及振幅透射系数的下标1和2分别表示在界面1和界面2的情况。图P3.2中所示各透射光束的振幅依次为 ， ， ， （P3.2-4）无论是反射光束还是透射光束，相邻两光束的相位差由下式给出 （P3.2-5）因此反射光的复振幅依次为 ， ， ， （P3.2-6）叠加后反射光的合成振幅为 （P3.2-7）当光束反射次数足够多时，利用无穷递减等比级数求和公式及（P3.2-1）和（P3.2-2）式求得用同样的方法，写出透射光的复振幅依次为 ， ， ， （P3.2-8）总的透射光由无穷递减等比级数求和公式给出取，并运用（P