例谈含参数的不等式问题.doc

例谈含参数的不等式问题浙江省上虞市春晖中学 张黎庆 312353 综观近年来的高考试题，含有参数的不等式问题主要有三种主要类型.第一种类型：解含有参数的不等式. 第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围. 第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立 ，求参数的范围.本文结合例题对上述三类型问题作点归纳，供复习使用。一.解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注：意什么问题，我们将通过例题进行说明。例1(2004年,辽宁卷,18（1）解关于x的不等式分析：利用解绝对值不等式的基本方法。因为出现参数，应该进行讨论。解：由当时，解集是R；当时，解集是注：教材对于绝对值不等式中，条件是。所以这里的讨论是自然而然的。例2 解关于的不等式 分析：分式不等式一般先通分。解：原不等式化为 ， 若，有，原不等式的解集为 若，有，原不等式的解集为 若，有，原不等式的解集为 注：讨论的切入点是讨论的关键。例3：解不等式,()分析：利用绝对值不等式与分式不等式的基本解法进行求解。解： 原不等式等价于移项，通分得 由已知，所以解得；解得或 故原不等式的解集为 注：看似复杂的表达需要认真的进行分析、运算。例4：已知,关于的不等式: 恒成立，求分析：是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式 解： 变为 记,由于是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在轴的下方,于是, 关于的不等式 的解等价于解得 于是 .注：在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究.。 二. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.例5：(2004年，上海卷，理19)记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax) (a1) 的定义域为B.() 求A；() 若BA, 求实数a的取值范围.分析：关键是对不等式进行求解。解：() 的定义域满足不等式20, 得0, x 0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是. 注：出现参数，一定有讨论。例6：设,又设是关于的不等式组的解集,若是的充分条件,试确定的取值范围.分析：本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B。解：设.于是有不等式组 解得 注：注意对充分条件、必要条件、充要条件的理解。例7：(2005年，全国卷,理22)已知函数 （）求的单调区间和值域；（）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.分析：此类题一般是采用导数进行求解。解：（I）对函数求导，得 令解得当变化时，的变化情况如下表：0（0，）（，1）10+减函数4增函数3所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为4，3.（II）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有任给，存在使得，则即解式得 ；解式得又，故a的取值范围为注：导数的简单运用是近年高考中出现的一个新的题型，应该引起足够的重视。例8：已知集合,求使和同时成立的的值.分析：本题是寻找使与同时成立的充要条件,为此需要把集合具体化.解：由由题设条件可知,不是空集,可设由有 由有所以有 即,因此,注：解题的过程事实上也是分析的过程。 三. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?它的操作程序如下：1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2. 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立, ,则等价于函数在区间上的最小值小于.3. 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为,例9：(2005年春考，北京卷，理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 分析及解：第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题. 设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.例10：(2005年，湖北卷，理，文17)已知向量若函数在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.分析：将向量的问题通过向量的坐标运算进行转化。解： 依定义在区间上是增