高校自主招生考试中有关带电体在电场和磁场中的圆周运动.pdf

第 3 5卷第 3 期 2 0 l 4年 物 理 教 师 PH YSI CS T EA CH ER Vo I 3 5 NO 3 2Ol 4 J L j 同 校 自主招 生考试 中有关 带 电体在 电场和磁场 中的圆周运 动 金爱兵 江苏省盱眙中学 江 苏 旰眙2 1 1 7 0 0 电场 磁场是 近几 年高 校 自 主招 生考 试 的必 考 内容 同时也足 高考的热点问题 近几年江苏 高考物 理卷都 是 以 带 电体在 电磁场 中 的运动 作为压 轴考 题 北 约 华约 试卷也将带 电体在 电场 磁 场 中运动 作为 重要 内容 考 查 为应对新 的 自主招生考试模式 笔者根 据几例 自主招 生考 题 淡淡带 电体 在电场和磁场 中圆周运动这一重要 的模 型 1 电场 中的 限定轨道 圆周 运动 题1 2 0 1 3 年 北 约 试 题 如 图 l所 示 在 水 平 一 坐标 平 面 的第 1象 限 七 有一个 内外半 径几 乎 同 为 R 圆心 位 于 一 R Y 一0处 的半 网形 固定 细 管 道 坐标 平 面 t有 电场强 度 三一 图 1 沿着 轴方 向的匀强电场 带 电质点 P在 管道 内 从 一 0 一0位置出发 在管道 内无摩擦 地运动 其初 始动 能为 E P运 动到 一一R y R 位 置 时 其动 能 减 少 了二 分 之 一一 试问 P所带电荷是正 的 还是负的 为什么 2 P所 到 位置 可 用该 位 置 的 r坐 标来 标 定 试 在 O 2 R范 围内导 出 P 的动能 E 随 r变 化的函数 3 P在运 动过程中受管道 的弹力 F 也许 是径 向朝 里 的 即 指 向 圆心 的 也 许 是径 向 朝外 的 即 背离 圆心 的 通过定量讨论 判定在 O 2 R范 围内是 否存 在 F 径 向朝里 的 取值区域 若存 在 请给 出该 区域 继 而判定 在 o 2 R 范围 内是 否存在 F 径 向朝外 取值 区域 若存在 请给 出该 区域 解析 1 带 电质点 P在 管道 内无摩 擦地 运动 动能 减少 电势能 增 加 电 场 力做 负 功 故 该 带 电质 点带 负 电 一 q 2 设 P运动到某一位置坐标为 由 R Y R 1 根据 能量 守恒 有 Eq R 1 Ek 2 一 Eqy Ek Ek 3 联立 1 3 式得 一 一 号 斋 z 一 斋 民 c 3 根据题意判 断该带 电质点 的运动 具有对 称性 只 需讨论 O R范 围即可 设 P运 动 到某 一 位 置 坐 标 为 质点 和 尺 0 点 连 线 与竖 直方 向夹 角 为 0 假 设 弹 力F 的 方 向 径 向 朝 里 三一 2 图 2 FN Eq c o s O 5 当 一0时 c o s 口 一9 0 是最 大值 此位 置的弹 力 F 为最 大 值 有F 一 箐 一 o 而 后 增 大 减 小 2 Eq c o s O 增大 FN减 1 当 R 时 达 最小 值 E q c o s O F 达最大值为 E q 此位置的弹力 F 为最小值 F 一 L k O 一 P k 0 一 Lk o O 即得 O R区域 内有FN O 故 F 的方 向径 向朝里 根据对称 性 O 2 R 范 围内 F 是径 向朝 里 的 不存在 F 径向朝外的取值范围 点评 本题是 带电质点在电场 中一个 限定 轨道里 的圆 周运动模型 这个模 型可 以转化 成轨 道 在竖直 平 面 内 不 受 电场力 在 重力和 弹力 的作用 下做 变 速圆周 运 动 那 么 这个模型就是考生 比较熟悉 的 双轨约束 模型 考生 通过 分析 根据 能量和圆周运 动方程 列出 E k 随 r的定量 关系 就容易一些 了 讨 论 弹力方 向 时 可 以根 据对 称性 缩小 讨 论的范 围 由于是讨论 弹力 的方 向 可 以先假 设 弹力 方向 再结合能量方程 和径 向牛顿 第二 定律方 程 可 以得 出 弹力 表达式 进 而根据表 达式判 断 弹力 的方 向 如果将 本题 改 编为将 圆轨道放在竖直平 面内且考虑带 电体 的重力 也可 以 运 用 相 同 的方 法 解 决 2 电场 中的不 限定 轨道 圆周 运动 题 2 2 0 1 2年清华保送生试题 物理学 家在微观 领域 中发现 了 电子偶 数 这一 现象 所谓 电子偶 数 就是 由 一 个负 电子和一 个正 电子绕 它们 的质 量 中心 旋转 形 成的 相对稳定 的系统 已知正 负电子的质量均为 珥 电荷量大 小均 为 普 朗克恒 量为 h 静 电力常量为 1 用 玻尔模型推算 电子偶数 的基态半径 2 求 莱曼 线产生光子的最高频率 解析 1 由于正负 电子做匀速 圆周运 动 由库仑力提 供 向心力得 T e 2 u 1 2 丽一 Vo l 3 5 NO 3 2 O1 4 物 理 教 师 PH Y SI CS T EA CH ER 第 3 5卷第 3期 2 O 1 4年 轨 遁 量 千 化 n 1 2m r 一 h 由 1 2 式 得 丁 c 走 一 一 2 轨道量子化 2 r 一 nh 库 仑力提供向心力 南 一 gR 1一 c os O 2 由 4 5 式得 mg Bq FN 3 4 由 3 4 式 得 E z 专 m e U n 2 一 莱曼线产生光子 的最高频率理解 为从 一 x 一 处跃迁到 一l的轨道产生 即 hV m a x mP m 6 一 L b J 5 6 式 得 一 譬 点评 本题以 电子偶 数 现象 为背景 实质 上就 是正 负 电子在 电场 中的匀速 圆周 运动这一 考生熟悉 的模 型 考 生完 全可 以类 比天体运 动中的 双星系统 既然是 匀速 圆 周运动就要用 到圆周运 动的方程 关 键是要 找好 向心力 的 来源 同时结合轨道量子化条件和系统能量 的表达式 3 磁 场 中的限定 轨道 圆周 运动 题 3 2 0 1 1年 北 大 保 送 生 试 题 如 图 3 所示 半径为 R的光滑圆轨道竖直放置 匀 强磁场垂 直纸 面向外 一个质 量为 电荷 量为 q的带正 电小球从 圆轨道最 高点 静止 释放 1 如 果磁 感 应强 度 大小 为 B 小 球 从左侧 滑下 求小球 脱离 圆轨 道 时与球 心 连线 和竖直方向之间的夹角 图 3 2 如果 B大小 未知 小 球从 右侧 静 止滑 下 刚好 能 滑到底部 求 B的大小 3 在 2 的情况 下 小球能否继续转 圈 解析 1 如 图 4所示 小球脱离 圆轨 道时速度为 与球心 连线转 过 口角 由于 刚要 脱离 故 F 一0 所 以 2 mgc o s O Bq 1 根据机械能守恒有 1 mg R 1 一c o s O 一 由 1 2 式得 图 4 2 目 一 3 2 m g c o sO B q 一 F 一 警 4 5 6 N T V 一 g B q v 对 E o 2 恒成 立 这 表明此时 F 总大于 0 即只需考虑当 一2 g R时满足即 可 由此 得 Bn in 2 qW 曼 R 3 能 将 从底 部滚 回到 顶部 并且速 度刚 好 为 o 但 这是不稳定平衡状 态 接下 来若 向左 侧滚 下 则将会 飞 出 若向右侧滚下 则再 转一 周 如此循 环 直至最 后从左侧 滑 下 后 飞 出 点评 本题是带 电小球在磁场 中限定轨道 上 的圆周运 动 解决本题 的关键 点是一定要抓住径 向合力 提供 圆周运 动的向 0力 若 讨论脱 离 即找临 界状 态 F 一0 若 不 脱离 即抓住关键 F O这一 条件 结 合能 量列 方程讨 论 将陌 生问题转化成熟悉 问题 4 磁 场 中的不 限定轨道 圆周 运动 题 4 2 0 1 1年 北 约 试 题 如果质 量 相 同 的小 球 A B在 沿一条直线 的运 动过程 中发生 弹性 正碰撞 则 A 的碰后 速度 等 于 B 的碰前 速度 B 的碰后 速度 等于 A 的碰前速 度 如 图 5所 示 光滑 水 平 绝 缘 大 桌面 取为 0一 x y坐标 面 空 间有竖 直 向 下 图 中朝 里 的匀 强磁 场 B 1 X B X D X 图 5 1 0一 z y平面上 的小球 A 质量 为 电荷 量为 q 0 初速度 方 向如 图 5所示 大小 为 而后 A 将做匀 速圆 周 运动 试求 圆半径 尺和运动周期 T 2 图 5中小球 A A 质量同为 电荷量也 同为 q 开始时分别位于 Y轴上 的 Y Y Y 位 置 初速度 方 向如图所示 大小也 同为 设 A A 问可能 发生 的碰撞 都是 弹性 正碰而且不会 相互 转移 电荷 下同 要求 A 能 到达 Y z 处 试求 Y 一 的所有可能取值 3 图 5中小球 B的质量也 为 电荷量也 为 t 一0 时位于 轴 上距 O稍远 的 位置 初速度 方向沿 r 轴 大 小也为 现给你一 个质量 为 电荷量 为一q 初速 度大 小为 的小球 B 一0时 B 的初 始位 置和 初始速 度方 向由你选定 但要求在 一 T时刻 N B球可 达到 z轴上与 3 2 相距 尽可能远 的 位置 最后 给 出你所得 的 o2 7 z 的值 附注 解 题时 略去球 问的 电作 用力 解析 1 带 电小球 会在 水平 面内做匀速圆周运动 由 B一 得 尺一 T 一 一 一 u e 第 3 5卷第 3期 2 O 1 4年 物 理教 师 PH Y SI CS TEA C H ER VO1 3 5 NO 3 2 01 4 2 满足题 意的一种 情况对 应两球 未发 生碰撞 但 各 自转过半 圆后 分别到达 另一点 此时 Y 一 一2 R 另一 种 情况对应两球各 自转半 圆后发生 弹性正碰 速度 交换后 又 各 自转半 圆周 到达 另 点 此时 一Y 一4 R 曰 皿三 B t 0 m l t k T卢 导 2 图 6 3 将 B 放在 j 一2 R位置处 并且 同时在 t 一 0时刻 释放 上 和 B 这样 两球各 自转过 1 4圈后正碰 以 后 每 转 过1 2 圈 后 就 会 正 碰 经f 一 T 时 B 球 又 回到 轴 上 故 z 2 一T I 2 2 k 1 R 点评 本题 是带 电小球 在匀 强磁 场 中的 圆周 运动 没 有外界轨道 束缚 完 全 是 洛伦 兹 力 提供 向 心力 做 圆周 运 动 解 答 时 要 紧 扣 q B 一 箐这 个 主 导 方 程 充 分 运 用 小 球 的运 动轨迹草 图 分 析 小球 运 动过 程 找 出题 目所需 要 的 条件 题 5 2 0 1 3年 北 约 试 题 如图 7所示 在一竖 直平 面内有水 平 匀 强磁 场 磁 感 应强 度 B的方向垂直该竖直 平 面朝 里 竖 直 平 面 中 b 两点 在 同一 水平 线 上 两点 相距 1 带 电荷量 q 0 质量 n 一 x xv xB x x x l g x l 6 图 7 为 m 的质点 P 以初速 度 从 对准 b射 出 略去空气 阻 力 不考虑 P与地面接触 的可 能性 设定 q m 和 B 均为不 可改取 的给定 量 1 若无论 l 取 什么值 均可使 P经 直线 运动 通过 点 试问 应取什么值 2 若 为 1 问可取值 之外 的任意值 则 z 取哪些值 可使 P必定会经 曲线运动通 过 b点 3 对每一个满足 2 问要求 的 1 值 计 算各种可能 的 曲线运 动对应的 P从 a到 b所经过的时间 4 对每一个满足 2 问要 求的 l 值 试 问 P能 否从 静止释放后也 可以通过 b点 若能 再求 P在而后运 动过 程 中可达 到的最 大运动速率 V 解析 1 要使 P经直线运动通过 b点 必有 qv B 1 解 得 一 2 2 质 点速 度 是满足第 1 问之外的值 由于质点做 曲线运动到达 b点 可 以将运 动分解 一个 分运 动 是匀 速 直线运动 另一个分运动是匀速 圆周运动 将速度分解为 一 1 q 2 3 3 式 中 Z I一 m g 4 q D 是匀速直线运动的速 度 是 圆周运 动的速 度 它的 大小 取决 于 的大小 可 以 与 同 也 口 以反向 质 点必 完 成 整数个 圆周到达 b点 t 一 T 5 T一 6 上J l 一 z 7 联立 4 7 式得 1 3 8 3 由 5 6 式 得 一 1 2 3 4 9 q D 4 质点 P从 a静止释放 即 一0 其后 的运动 可视 为沿水平方 向速度 一 的匀速直线 运动和 沿反方 向的 D 线速度 V 2 一 mg的匀 速 圆周 运 动 从 8 9 两式 町以看 q D 出 z 和 t 与 的大小无 关 所 以 P从 n静 止释放后可 以通过 b点 当质 点做匀速圆周运动 到最低点时运 动速率 最大 最 大运 动速率 一2 一 Z m g q J 点评 本题采用递进式命题方式 从易到难 以带电质点 考虑重力 在磁场中的运动切入 意在考查速度分解 立意较 高 如果考生能有较强的运动合成 与分解思想 构建嘲川运动 就能找到本题的突破 口 第 1 2 4 问实质都是分解速