江苏省南通市通州高级中学高考数学总复习 第15讲 对称与最值优秀课件.ppt

第15讲对称与最值 主要内容 聚焦重点 与直线和圆有关的对称问题 破解难点 与直线和圆有关的最值问题 廓清疑点 如何确定最值点的位置 聚焦重点 与直线和圆有关的对称问题 基础知识 主要涉及以下问题 1 求点关于定点的对称点的坐标 2 求点关于直线的对称点的坐标 3 求直线关于定点对称的直线方程 4 求直线关于直线的对称直线方程 5 求圆关于定点对称的圆的方程 6 求圆关于直线对称的圆的方程 问题研究 如何求点关于直线的对称点的坐标 典型例题1 例1求点a 1 4 关于直线l x y 1 0的对称点a1的坐标 思路分析 两点a a1关于直线l对称 满足哪两个几何条件 分析 求点a1的坐标 需要几个独立条件 例1求点a 1 4 关于直线l x y 1 0的对称点a1的坐标 思路分析 直线aa1 l a a1到直线l的距离相等 思路1 例1求点a 1 4 关于直线l x y 1 0的对称点a1的坐标 求解过程 解法1 故所求对称点为a1 3 0 设点a1 a b 由aa1 l及点线距离公式 得 例1求点a 1 4 关于直线l x y 1 0的对称点a1的坐标 思路分析 求解过程 解法2 故所求对称点为a1 3 0 由已知 得方程组 设点a1 a b 则线段aa1的中点为 aa1 l 直线aa1的方程是y 4 x 1 即x y 3 0 求解过程 解法3 又直线l的方程是x y 1 0 设点a1 a b 由中点公式 得所求对称点为a1 3 0 联立方程组 解得 回顾反思 1 基本方法 待定系数法 2 思维策略 寻找两个独立条件 将几何条件代数化 3 数学思想 数形结合 变题1光线自点a 1 4 出发 经直线l x y 1 0反射后 反射线所在直线斜率为求入射线所在直线的方程 变式训练 写出反射线所在直线方程 x 2y 3 0 变题1光线自点a 1 4 出发 经直线l x y 1 0反射后 反射线所在直线斜率为求入射线所在直线的方程 写出入射线所在直线的方程 2x y 6 0 求出反射线与直线l的交点 c 5 4 思路分析 c 求出a的对称点a1 3 0 回顾反思 研究光线关于某直线的反射问题 根据光学知识 就是求一点关于该直线的对称点问题 这是因为 入射光线与反射光线关于表示镜面的直线成轴对称 那么入射光线上任意一点关于表示镜面所在直线的对称点必在反射光线所在的直线上 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 变式训练 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 思路分析 思路1 根据两点确定一条直线 可分别求出直线l上的两点关于点a的对称点 再由两点式写出直线方程 答案l1 x y 9 0 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 思路分析 思路2 利用几何知识可以证明 两条直线必平行 可设l1 x y m 0 再求出l上一点关于点a的对称点 由点斜式即得 所求直线为l1 x y 9 0 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 思路分析 思路3 由于两条直线平行 且与点a等距离 可设l1 x y m 0 由点到直线的距离公式 可得m 9或m 1 舍去 所求直线为l1 x y 9 0 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 变式训练 思路4 直线l1就是直线l上任意一点关于点a的对称点的集合 变题2已知直线l1与直线l x y 1 0关于点a 1 4 对称 求直线l1的方程 求解过程 解设直线l1上任意一点 x y 关于点a的对称点为 x0 y0 由中点公式 得 又x0 y0 1 0 代入整理 得l1 x y 9 0 x y x0 y0 回顾反思 求一条直线关于一定点的对称直线 通常有以下三种方法 取特殊点 在已知直线上取两个特殊点 求出它们关于定点的对称点 两点确定对称直线 平行关系 关于定点对称的两条直线互相平行 由点斜式确定对称直线 求轨迹法 求出已知直线上任意一点关于定点的对称点的轨迹方程 变式训练 变题3若直线l1 x 2y 3 0与直线l2关于直线l x y 1 0对称 求直线l2的方程 c 5 4 思路2 求轨迹法 a 3 0 思路1 取特殊点 思考 能否转化为我们已经解决了的问题 答案l2 2x y 6 0 变式训练 变题4在 abc中 已知a 1 4 b c的平分线所在直线的方程分别为y 和x y 1 0 求直线bc的方程 答案bc x 2y 3 0 关键 角的两边关于角平分线成轴对称图形 变式训练 变题5在 abc中 已知a 1 4 b 5 内心i 0 1 求顶点c ac 2x y 6 0 bc x 2y 3 0 c 5 4 回顾反思 以上我们研究了点 线之间的对称问题 重点应掌握求点关于直线的对称点的方法 很多问题常可通过适当的转化而归结为这一问题来处理 由于圆既是中心对称图形 又是轴对称图形 有关求圆关于定点 定直线对称的圆的方程 只需求出圆心关于定点 定直线的对称点就可以了 破解难点 与直线和圆有关的最值问题 问题研究 在直线和圆中 有哪些常见最值问题 又如何解决 典型例题2 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设u x2 y2 求u的最大值和最小值 设v 求v的最大值和最小值 思路2 先由条件 将u化为 u 6x 8y 24 解得代入条件得到关于x的二次方程 u为系数 再根据二次方程有实数根的条件 利用判别式法求解 思路分析 方法可行 运算量大 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设u x2 y2 求u的最大值和最小值 思路1 能否通过消元 将u转化为关于x y 的一元函数求最值 消元困难 函数复杂 思路分析 思路3 将条件配方为 x 3 2 y 4 2 1 你是否有了新的念头 p x y 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设u x2 y2 求u的最大值和最小值 求解过程 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设u x2 y2 求u的最大值和最小值 解将已知条件配方 得 x 3 2 y 4 2 1 表示圆心是o1 3 4 半径为r 1的圆 oo1 5 4 op 6 16 u op2 36 即 u的最大值为36 u的最小值为16 数形转换 快速求解 回顾反思 1 基本策略 观察结构特征 进行合理联想 2 数学思想 数形结合 3 思维误区 一味消元 误入困境 思路分析 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设v 求v的最大值和最小值 斜率公式 思路分析 例2已知实数x y满足x2 y2 6x 8y 24 0 设v 求v的最大值和最小值 解配方得 x 3 2 y 4 2 1 表示圆心是o1 3 4 半径为r 1的圆 设切线方程为y 3 k x 1 由相切条件 得 变式训练 变题1已知圆o1 x 3 2 y 4 2 1 两点a 1 0 b 1 0 p为圆上的动点 设 pa2 pb2 求 的最大值和最小值 的最大值是74 最小值是34 思路1 设p x y 则 pa2 pb2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 2 x2 y2 2 16 x2 y2 36 变式训练 变题1已知圆o1 x 3 2 y 4 2 1 两点a 1 0 b 1 0 p为圆上的动点 设 pa2 pb2 求 的最大值和最小值 的最大值是74 最小值是34 思路2 在 apbq中 ab2 pq2 2 pa2 pb2 而ab 2 pq 2op pa2 pb2 2op2 2 4 op 6 变题2已知实数x y满足 x 3 2 y 4 2 1 求w x y的最大 最小值 变式训练 思考 已知实数x y满足 x 3 2 y 4 2 1 若对一切实数x y 不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围是 纵截距 变式训练 变题3已知点p在圆o1 x 3 2 y 4 2 1上运动 点m在直线l 3x 4y 12 0上运动 求线段mp长的最小值 分析 点o1到直线l的距离为 mp的最小值为 变式训练 变题3已知点p在圆o1 x 3 2 y 4 2 1上运动 点m在直线l 3x 4y 12 0上运动 求线段mp长的最小值 思考1 过l上的点m向圆所作切线长mp的最小值是 思考2 过圆o1外一点m作圆的切线 切点为p 若mp mo 则切线长mp的最小值为 变式训练 变题3已知点p在圆o1 x 3 2 y 4 2 1上运动 点m在直线l 3x 4y 12 0上运动 求线段mp长的最小值 思路分析 变题3已知点p在圆o1 x 3 2 y 4 2 1上运动 点m在直线l 3x 4y 12 0上运动 求线段mp长的最小值 回顾反思 研究与直线和圆有关的最值问题 通常有以下两个解决途径 1 从代数角度入手 利用函数 方程等知识解决 2 从几何角度入手 观察一些代数式的结构特征 通过类比联想 弄清其几何背景 数形结合解决 廓清疑点 如何确定最值点的位置 基础知识 1 设a b是位于直线l异侧的两点 则直线l上与a b两点距离之和最小的点就是线段ab与直线l的交点 2 设a b是位于直线l同侧的两点 则直线l上与a b两点距离之差的绝对值最大的点就是线段ab与直线l的交点 平面几何中的两个最值问题 问题研究 1 若a b是位于直线l同侧的两点 如何在直线l上求一点c 使点c与a b两点距离之和最小 2 若a b是位于直线l异侧的两点 如何在直线l上求一点c 使点c与a b两点距离之差的绝对值最大 例3设点a 3 0 b 5 1 试在直线l x y 1 0上求一点c 使得c点到a和b两点的距离之和最小 典型例题3 例3设点a 3 0 b 5 1 试在直线l x y 1 0上求一点c 使得c点到a和b两点的距离之和最小 思路分析 思路1 从代数角度思考 利用直线l的方程设出点c的坐标为 x x 1 建立点c到两定点a b距离之和u关于x的函数 再求最值 函数复杂 无从下手 例3设点a 3 0 b 5 1 试在直线l x y 1 0上求一点c 使得c点到a和b两点的距离之和最小 思路分析 思考1 能否从几何角度入手 寻找破题之策 例3设点a 3 0 b 5 1 试在直线l x y 1 0上求一点c 使得c点到a和b两点的距离之和最小 思路分析 思路2 找对称点 化 同侧 为 异侧 求解过程 变式探究 变题试在直线l x y 1 0上求一点d 使得d点到a 1 4 和b 5 1 两点的距离之差的绝对值最大 回顾反思 1 求定直线上到位于该直线同侧的两个定点的距离之和为最小的点 只需求出其中一点关于该直线的对称点 这个对称点和另一定点的连线与定直线的交点即为所求 2 求定直线上到位于该直线异侧的两个定点的距离之差的绝对值为最大的点 只需求出其中一点关于该直线的对称点 这个对称点和另一定点的连