第2章质点动力学B.ppt

1 上式表明 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量 这一结论称为质点动量定理 一 质点动量定理 冲量 学习要求 要学会计算变力的冲量 掌握在一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法 2 2力的时间累积效应 动量守恒定律 2 解由动量定理 又 3 例题2 2斜面 h 3m l 5m 摩擦系数 0 3 m由静止开始下滑 求在水平面上滑行的距离S 取g 10m s2 解1 斜面上 mgsin mgcos ma a gsin gcos 6m s y x 3 72m s 2 4 3 在水平面上滑行 2 3 72m s a g 2 3m 0 3 取g 10m s2 5 例题2 3m经时间t 以不变的速率 越过一水平光滑轨道60 的弯角 求轨道作用于质点的平均冲力的大小 解平均冲力可视为恒力 由动量定理有 三角形法 单位矢量法 平均冲力 6 于是平均冲力的大小为 1 三角形法 7 建立直角坐标系 如图 把每个矢量用单位矢量表示出来 2 单位矢量法 8 例题2 4煤粉自高h 0 8m高自由落下 流量为qm 40kg s 传送带A的速度 3m s 求卸煤的过程中 煤粉对传送带A的平均作用力 不计相对传送带静止的煤粉质量 取g 10m s2 取在时间dt内落下的煤粉dm qmdt为研究对象 由动量定理有 解煤粉下落h时的速度 9 1 单位矢量法 根据牛顿第三定律 煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小相等而方向相反 3 o 4 53 1o 10 由图可求得煤粉对传送带A的平均作用力的大小 2 三角形法 3 o 4 53 1o 11 例题2 5均匀柔绳铅直地悬挂 下端刚好触到水平桌面 如果把绳的上端放开 试证明 在绳下落的过程中 任意时刻作用于桌面的压力 等于已落到桌面上的绳重量的三倍 此时落在桌面上的绳m h受力 证设绳的线密度为 任意时刻t 下落h时 绳的速度为 重力mg 桌面的支持力N 落下绳的冲力F 由右下图可知 N mg F 12 取时间t t dt内落下的绳dm dt为研究对象 由动量定理得F dt dm 2dt所以F 2 N mg F 所以F 2 2gh 2mg 最后得 N mg F 3mg即 作用于桌面的压力是重量的三倍 已知 13 质点系 系统 作为研究对象的质点的集合 内力 系统内各质点间的相互作用力 外力 系统以外的物体对系统内质点的作用力 处理质点系问题的思路是 把质点动量定理应用于质点系中的每一个质点 设系统有n个物体 其 二 质点系动量定理 然后将这些方程相加 就得到用于整个系统的动量定理 14 这就是质点系的动量定理 它表明系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量 式中i 1 2 对所有质点求和 就得 15 当质点系所受的合外力为零时 这一质点系的总动量矢量就保持不变 动量守恒定律 几点说明 1 一个系统总动量的改变完全由合外力来确定 与内力无关 内力能引起动量在系统内的物体间传递 而不能改变系统的总动量 三 动量守恒定律 16 2 系统动量守恒的条件是合外力为零 即 由此可见 如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零 则沿此坐标方向的总动量守恒 4 动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系 3 动量守恒表示式是矢量关系式 在实际问题中 常应用其沿坐标轴的分量式 Fx 0 则mi ix 常量Fy 0 则mi iy 常量Fz 0 则mi iz 常量 17 例题2 6子弹m 20g以 o 400m s的速率射入静止的摆球M 980g中 摆线长度不可伸缩 求子弹射入后与摆球刚一起运动时的速率 解 M m 4m s 水平方向不受外力 动量守恒 m ocos60 M m 18 例题2 7大炮 含炮弹 质量为M 由静止沿光滑固定斜面下滑L距离时 从炮内沿水平方向射出一发质量为m的炮弹 欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止 炮弹的初速 o应是多少 解 1 炮车M沿斜面下滑L 匀加速直线运动 2 发炮 车 弹 斜面方向动量守恒 19 例题2 8地面光滑 小车M静止 小物体m以 o滑向车顶 设物体与车顶之间的摩擦系数为 求 1 从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间 2 要物体不滑下车顶 车长至少应为多少 解 M m 水平方向不受外力 故动量守恒 m o M m 式中 是相对静止时的速度 1 对物体m应用动量定理 有 mg t m m o解得 20 m相对地面的加速度 a gm相对地面运动的距离 S1 2 02 2aM相对地面的加速度 a0 mg MM相对地面运动的距离 S2 2 2a0 m o M m 故车的最小长度为 2 要物体不滑下车顶 车长至少应为多少 21 例题2 9两三棱柱体M和m静止 各处光滑 求当m的下边缘滑到水平面时 M在水平面上移动的距离 解系统 M和m 水平方向不受外力 故水平方向动量守恒 设M与m相对地面的速度分别是V和 m相对于M的速度为 则m x MVx 0 1 由相对运动公式有 x x Vx 2 22 M m Vx m x将上式对时间t积分 有 最后求得M在水平面上移动的距离 是m相对于M在水平方向移动的距离 S 是M相对水平地面移动的距离 将 x x Vx代入m x MVx 0得 23 四 质心质心运动定理 将三角板 质点系 抛出 三角板 质点系 中有一点c始终按抛物线运动 就像三角板 质点系 的全部质量都集中在c点的一个质点那样 这个几何点c就称为三角板 质点系 的质量中心 简称质心 质心和重心的概念是有区别的 但在地面上 质心与重心重合 对质量均匀分布的物体 质心也就是它的几何中心 如一根质量均匀分布的细棒 质心就在它的二分之一处 1 质心 24 可以证明 质心坐标为 质点系的总质量 25 2 质心运动定理 质心速度 质点系的总质量 即 质点系的总质量 26 i 1 2 3 质心运动定理 27 质心运动定理 系统所受合外力 系统的总质量 质心的加速度 质心运动定理表明 质心的运动规律 就像质点系的全部质量 全部外力都集中在质心上的一个质点的运动一样 1 质心的运动规律完全由合外力确定 与内力无关 2 系统所受合外力为零 这表明 质心原来静止就静止 质心原来运动就作匀速直线运动 28 3 系统所受合外力为零 系统动量守恒 2 2 5火箭飞行原理 自学 29 例题2 10开始时人和船都静止 当人从船的一端走到另一端时 船移动的距离 设船的质量为M 人的质量为m 船长为l 并忽略水的阻力 解 M m 系统所受合外力为零 质心不动 30 一 功质点动能定理 2 3力的空间累积效应 能量守恒定律 1 功 力与力作用点位移的标积 31 2 质点动能定理 质点动能定理说明 合外力对质点所作的功等于质点动能的增量 1 功是标量 且有正负 2 功是相对量 其大小随所选参考系的不同而不同 功率 例 重力对m的功 地面参考系 A mgh物体m参考系 A 0 32 3 在直角坐标系中 功是沿质点运动轨道进行积分计算的 一般地说 功的值既与质点运动的始末位置有关 也与运动路径的形状有关 4 应当明白 动能定理只在惯性系中成立 相应的功也只能在同一惯性系中计算 学习要点 变力的功 33 解将弹簧缓慢地提起的过程中 需要用多大的外力 fx kx 物体m脱离地面的条件是什么 kxo mg 例题3 1开始 弹簧原长 物体m触地 将弹簧缓慢提起 到物体m刚能脱离地面时止 求此过程中外力作的功 34 完成积分得 10 m s 解 20 N m 35 解 20J 36 解 因 x acos t y bsin t当t 0时 x a y 0 当t 2 时 x 0 y b 合外力的功为 合外力 分力 Fx m 2x Fy m 2y 例题3 4质点m位矢 SI 式中a b 是正值常数 且a b 求 t 0到t 2 合外力的功及分力Fx Fy的功 37 分力Fx Fy的功为 1 显然合外力的功等于分力的功之和 2 合外力的功也可由动能定理直接求出 Fx m 2xFy m 2y 38 由动能定理得合外力的功为 39 解 法向 1 切向 2 例题3 5光滑水平面上有一粗糙的固定半圆形屏障 滑块m以 o进入屏障 求滑块滑过屏障过程中 摩擦力的功 滑块与屏障摩擦系数为 N不作功 只有摩擦力作功 40 得 d d 摩擦力的功为 41 质点m沿曲线L从a到b 高度分别为ha和hb 重力对m作的功为 重力作功只与质点的始末位置有关 而与质点所经过的实际路径形状无关 重力的功 1 保守力作功的特点 二 保守力场中的势能 42 小球a b 弹性力的功为 弹性力的功只与运动质点的始末位置有关 而与其经过的实际路径形状无关 弹性力的功 43 质点m在M的引力场中 由a点到b点 万有引力对质点m所作的功为 万有引力的功也只与质点始末位置有关 而与质点所经过的实际路径形状无关 万有引力的功 注意 dscos dr 44 上式表明 保守力的环流 沿任意闭合路径L的线积分 为零 2 保守力和非保守力 如果一个力的功只与与运到的始末位置有关 而与路径形状无关 这种力称为保守力 相应的力场称为保守力场 否则叫做非保守力 显然重力 弹性力 万有引力都是保守力 45 定义 Epa是系统在位置a的势能 Epb是系统在位置b的势能 3 势能的定义 46 表示 系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力作的功 原则上讲 势能的零点是可以任意选择的 因此势能仅具有相对的意义 即 保守力的功等于势能增量的负值 若取b点为零势点 则系统在位置a的势能为 47 重力势能 1 零势面可任意选择 2 重力势能为Ep mgh 3 弹性势能总是正值 弹性势能 1 规定弹簧无形变时的势能为零 2 弹簧伸长 或压缩 x时的弹性势能为 4 势能零点的选择 48 如选x xo处为势能零点 则弹性势能 49 1 取无穷远为势能零点 3 引力势能总是负值 应当注意 势能是属于系统的 引力势能 2 M m相距r时的引力势能 Ep mgh 50 对mi 系统动能定理 外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量 三 系统动能定理 51 系统动能定理 A内 A外 Ek Ek0 四 功能原理 A内 A保守内力 A非保守内力 E Ek Ep是系统的机械能 系统外力和非保守内力的功之和等于系统机械能的增量 功能原理 52 五 机械能守恒定律 A外 A非保守内力 Ep Ek Ep0 Ek0 如果外力的功与非保守内力的功之和为零 即A外 A非保守内力 0 时 则 Ep Ek 恒量 这一结论称为机械能守恒定律 1 机械能守恒定律只适用于惯性系 2 在某一惯性系中机械能守恒 并不能保证在另一惯性系中机械能也守恒 因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关 但A外却取决定于参考系的选择 53 六 碰撞的分类 54 例题3 6链条 长L 质量m 静止 下垂长度a 链条与桌面 求链条末端离开桌面时的速率 解 摩擦力 变力 的功 A外 A非保守内力 Ep Ek Ep0 Ek0 有一定形状大小的物体 计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心 从而当作一个质点处理 55 取桌面为零势面 由功能原理 解得 56 例题3 7光滑地面 静止小车M 长为L的轻绳将小球m悬挂于o点 把绳拉直 将小球由水平位置静止释放 求小球运动到最低点时的速率 解小球受两个力 绳的张力T 重力mg 解得 这个解法对吗 因为小球绕o点作圆运动 张力T与运动方向垂直 因此它不作功 只有重力 保守力 作功 所以机械能守恒 错 57 一是小车是非惯性系 有加速度 机械能守恒定律是不成立 系统 小车 小球和地球 一对内力 张力T 作功之和为零 只有保守内力 重力作功 则该系统机械能守恒 1 这里有两个错误 二是机械能守恒条件中的功 应该在惯性系中计算 在惯性系 地面 上看 张力T要作功 小球的机械能是不守恒的 58 1 系统动量守恒吗 竖直方向的动量显然不守恒 只有在水平方向 根本不受外力 动量守恒0 MV m 2 解得小球运动到最低点时的速率为 59 例题3 8半球面 R M 球面和地光滑 m M静止 若在角 处m开始脱离球面 试求 1 角满足的关系式 2 分别讨论m M 1时cos 的取值 解 1 小物体脱离球面的条件是 N 0 1 m相对球面作圆运动 m离开球面的瞬间球面是惯性系 于是沿法向有 60 m M 水平方向动量守恒 2 3 应当注意 式 1 中 r是m相对M的速度 2 3 中的 x 是m对地的速度 1 m M 机械能守恒 61 由速度合成定理 5 解上述式子得 4 62 2 当m M m时 cos 2 3这相当于M不动的情况 当m M 1 即m M时 有cos3 3cos 2 0分解因式得 cos 1 2 cos 2 0cos 1 0 这表明 这时M一下子滑出 m竖直下落 63 解何时弹簧伸长最大 A B的速率相等时 压缩xo 原长 例题3 9用力推B 将弹簧压缩xo后静止释放 求 弹簧的最大伸长量 以及此时A B的速率 设地面光滑 64 原长 弹簧伸长最大 A B的速率相等时 解得 65 1 木块的下滑过程 2 碰撞过程 分两步求解 例题3 10木块M 1 0kg由弹簧 k 25N m 原长下滑x 30cm时 水平飞来的子弹 m 0 01kg 200m s 与其相碰并陷在其中 求子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度 斜面光滑 固定 30 66 M m 地球 机械能守恒 选弹簧原长处为零势点 则有 求得 解 1 木块的下滑过程 方向沿斜面向下 67