高等数学中求极限的几种常用方法.pdf

济南教 育学院学报 2 0 0 1 年第 6 期 高等数学中求极限 的几种常用方法 曹 爱 民 极 限概 念 是数 学 分 析 中一 个 非常 重 要 的基 本概 念 是 研 究 变 量数 学 的有 力 工 具 极 限 方 法是 数 学 分 析 中 研究函数的基车方法 对学习者来讲 首先是对极 限概念的理解 其次是极 限问题 的计算 现将求极限的几 种常用方法简单介 绍如下 1 基本方法 利用定义 性质 倒 1 求数列 0 9 0 9 9 0 9 9 9 的极 限 证 明 令 0 9 9 一 9 共 n个 9 n 1 2 对于任意给定的 E 0 l 一 1l 1 要 使 I 1 I E 只 需 就 行 这 相 当 于 1 因 此 其 要 取 1g 蜊当n N 时 就有I 1 I E 所以 数列0 9 0 9 9 0 9 9 9 的 极限 是 1 侧二 求 l j m 解 0 s i n n n 1 2 且 0 则 由 夹 逼 性 定 理 知 磐 m n 0 此题主要是运 用了数列 的定义及数列的一个性质 夹逼性定理 来加以解决的 2利 用洛 必达 法 则 洛必达法则是求极限的一种非常基本且有效的方法 凡属 一 0 1 的不定型 均可经 恒 等 变 形 而 成 为 罟 或 詈 的 不 定 型 只 要 函 数 具 备 一 定 条 件 一 般 就 可 以 利 用 洛 必 达 法 则 来 求 极 限 但 要 注 意在重复使用洛必达法 则时 每 步求导后要整理所得结果 将 定型的因式分离出来 例 三 求 极 限 c 一 解 这 是 一 个 一 型 的 极 限 但 由 于 c tg 一 x c o s x sin x 故 可 化 成 罟 型 的 极 限 利 用 洛必 达 法 得 c 一 lira 眦 x s lnc o sx 蠢 0 3利 用基 本极 限 57 维普资讯 济南教育学院学报 一 在求极 限时 有时直接使用洛必达法则达不到简 化目的 甚至求不出极限来 有时需要变形 分离 出一些定 型因式来 这些 常用的定型因式就是基本极限 而我们平 时最常用的是两个重要极限 即 1 警 1 2 1 e 慨求 o o s n x c o a x x I s m x x t x 锄 s i nx 一 一 x 圭n x 最后 步中 前四 个 式 子 结果 已 知 最 后一 个 因 式的 2 极 限利用洛必达法则很容易求出 所 以 l i o ra e o s s i s i I n x f c o s x i 1 4 利用搴勒公式 有些类型的极限 可以将其中 4 1 一v 求 o 一 消去 些项 转化成易于求出极限的不定型 解 l 萼 一 等 萼 l 一 i 1 4 又 一 1 一 萼 一 1 x 2 o 一 号 故 舞 专 8 t 4 寺告 5 利用定积分求和式 的极 限 区一再琢设 限的越 目 一般要先判断是 哪个函数在哪个 区间 然后利 用定积分的定义 分割 求和 再取极 限 常见的题 目中 区间一般为 0 1 区间的划分为 n 等分 取点一般为左端点或右端点 稠 六 求 1 一 一 一 1 解 S l 1 一 1 1 一 1 号 了1 上2 n 一 2 了 1 1 丽 1 1 志 毒 志 最后 式是 函数 f 在区向上 的积分 和 n 等分 取 右 端 点 故 s r 5 8 一 景 I I 维普资讯 高等数 学中求极限的几种常用方法 又 一 5 1 2 因 此 1 一 吉一 一 1 In 2 6 利用数列的递推荚 系 有的极限计算的题 目要利用数列 自身的关系来计算 在这方面有一个 非常 有用的定理 就是单调有界数 列极限存在定理 单调上升 下降 有上界 下界 的数列必存在极 限 例七 试证数列 X l 收敛 并求 l i mx 4 4 共 n 个根号 n 1 2 证明 容易看 出 n i 2 下面用数学归纳法证明 I x 是递增数列 易知 1 2 施 4 赶 2 一 则 一 一瓤 生 尝 兰 0 4 1 札 4 札 4 机 札 同样利用教学归纳法可证得 X 0知 c 0 从等式 I l n 1 2 两边取极限 得 c 解之得 c 击 极限的证 明与求法是高等数学 中非常 重要的一部分内容 它还有很多其他的方法 在这里只是将一些常 用的方法简单加以总结 希望对初学者能有所帮助 c 作者单位 济南教育学院数 学系 2 5 0 0 0 1 上接 5 6页 事实上2 n c q G 2 n l f n 4逆 向主 次 关 系 化 归数 学 模 式 有些数学问题对立 面不明显或不易求解 这时逆向思维 变换题 中 主元 的地 位 把题 中 主元 的反 面 某个 次元 突出来 化归数学模式 例 4 解方程 2 3 x 一1 0 这是一个三次方程 习惯思维是求出未知数的三个值 这 x是题 中的 主元 但 系数中含有无理数 不易 求解 如能把 主元 x当作 已知数 而把某个 次元 i 突出来作 主元 看作未知数 令 a 化归数学模式 则方程就化归为 a 的一元二 次方程 岔 1 a i 0 x 0解 a I x或 a 一 1一 a 3 一 a 1 a 1 一 4 原方程的解为 i 一 3 一 1 扼 5 对命题进行转换 举反倒推翻命题 证明一个命题为真 固然 要经过严格而周密的证明 然而要 推翻一个命题却只要举出一个反例就可达到 目的 侧 5 如果 a b 都是无理数 是 a b 也是无理数 是否正确