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基于“ 一境多用”下的教学设计案例南京市宁海中学分校 卜以楼“一境多用”是指同一问题情境，在不同的教学内容中多次、有效的使用，它有助于我们在教学过程中，把握数学本质，彰显数学思想方法，放大数学情境功能当前，运用问题情境来激发学生思维、培养学习兴趣、提升学生学力，已成为新课程理念下常态的教学行为但是，在教学过程中，如何实践一境多用，还有很大研究和提升的空间 “鸡兔同笼”问题，是苏科版“二元一次方程组”的章头情境，笔者对此情境进行挖掘、整合，将之上移到“用字母表示数”，前置于“一元一次方程”， 延伸至“一元二次方程”，发挥了“一境四用”的作用下面，就“鸡兔同笼”问题，谈谈一境多用的做法和认识，并求教于教学同仁 1 上移到“用字母表示数”的教学问题情境“鸡兔同笼”问题，同学们还记得吗？下面就请同学们运用“用字母表示数”的知识来解决下列问题现有鸡、兔共35只，若鸡有a只，则有兔多少只？鸡有多少个足？兔有多少个足?设计意图 一是通过对熟悉情境再认识的过程，加深对“用字母表示数”本质的理解，提升学生思维的力度，体验螺旋上升的学习理念；二是为研究方程与方程组打下伏笔，让它成为研究代数的源头之一，并由此逐步延伸下去2 前置于“一元一次方程” 的教学创设情境“鸡兔同笼”问题在小学数学里，在初中“用字母表示数”的内容中，我们都有研究今天我们将继续研究这个问题请看题：今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？设计意图 运用“鸡兔同笼”作为问题情境，一是从学生最近发展区出发，发挥“承前”的作用，二是为将“假设法”过渡到“方程法”打下伏笔，留下玄机，起到“启后”的作用。探究解法问题1 请同学们回忆一下，在小学里是怎么解决这个问题的？生1： 把兔子的足砍去一半, 则有35270（只）足, 那么被砍去的足有947024（只）, 故有24212（只）兔子师： 噢，你是运用假设把兔子的足砍去一半的方法来解决的这个方法很好，大数学家孙子就是用这种方法来解决该问题的，我们就把它称之为“砍足法”（板书：“砍足”法）生2： 我受生1解法的启发，想出如下解法的：假设让兔子全“起立”，那么鸡、兔共有352=70（只）足，而实际多了94-70=24（只）足，故有24=12（只）兔子师： 生2的想法颇具“拟人”的味道，这是一种创新，而且更具有人性化，很有研究价值我们可将此方法称为“兔立法”（板书：“兔立”法）生3： 老师，我是这样想的，兔有4只足，鸡有2只足，这样对鸡是否有些不公平？不过我又想，兔子没有翅膀，而鸡有2只翅膀，这样一想，也能算是公平了，和谐了我们如果把鸡的两只翅膀也算足的话，那么就有354=140（只）足，这就说明鸡有14094=46（只）翅膀，故原来有46223（只）鸡师 ： 生3是假设将鸡2 只翅膀也算作足，让鸡与兔和谐共生因此，我们可将此方法称之为“公平法”（板书：“公平”法）事实上这种解决问题方法，数学家张景中院士给青少年讲数学时，早就运用了，看来生3具有数学家的潜质噢！ 问题2 上述解决问题的方法主要运用的是小学数学知识，请同学考虑一下，这几种方法有什么共同点？生4： 我认为上述解决问题的方法虽然不尽相同，但是它们都是在假设的基础上进行的师： 生4的回答很好，从上述的解法中，我们体验到了假设思维的妙趣虽然有些事情并没有发生，但我们可以在想像中假设它发生了，于是出现了合乎解决问题的情境，从而获得问题的答案故上述解法，其实质就是“假设法”设计意图 “鸡兔同笼”解法探究活动的设计，一是激发学生学习数学的兴趣，再次唤起学生的求知欲；二是通过不同方法的求解，得到解决问题的本质却是一种思想，就是假设法；三是利用学生熟知的素材，把它作为“引子”过渡，找到新知识与学生原有知识、经验的“切合点”，把新知识“同化”或“顺应”到已有的知识结构中，从而达到学习新知识的目的。形成概念（3）引入方程解法问题3 我们能否沿着假设法的思路, 通过用字母表示未知数的的方法来解决该问题?生5： 假设鸡有x只，则兔有(35-x) 只 根据鸡兔共有94只足，就有2x+4(35-x)=94.余下的问题就变成求x的纯数学问题了. 师：生5同学的思路非常清晰，它将小学阶段学习的“假设法“迁移到我们初中数学中今天我们就来研究从问题到方程（板书：从问题到方程）。设计意图 以算术中的假设法为起点，将学生认识问题的视角，迁移到用字母表示未知数上来这样的设计，一方面让学生感觉到由算术方法过渡到用方程的方法解决问题非常自然、得体、流畅；另一方面也让学生感觉到方程的本质其实就是一种假设法，为此，用方程解决问题的过程中，我们要解决好设元的问题3 运用在“二元一次方程组” 的教学创设情境 出示苏科版七（下）P83页章头图中的“鸡兔同笼”问题，让学生解决设计意图 在初中学习过程中出现过该问题情境两次后，再让之出现，主要是让学生对此问题有一种亲切感、探究感，潜意识的提示学生对该情境在新起点、新方法上作思考，作预测，对该问题作出深层次的思考探索新知问题1 这个问题熟悉吗？在七（上）你是如何解决的？生1：设鸡有x只，则兔有（35-x）只，根据题意有 2x+4（35-x）=94 （1）（以上内容教师板书）解这个方程得x=23师：生1的解法用方程的思想，将该问题数学化，得到模型1 （板书：模型1： 方程）还有其它解法吗？生2： 设鸡有x只，则兔有y只，根据题意有 （2）师： 生2是引入两个未知数，建立两个方程来解决问题的他的想法很有创意，值得表扬问题2 那么我们如何给方程和起个名字呢？并说明起名的理由或依据生3： 我是这样想的，在七（上）我们已经知道，方程中的“元”表示未知数的个数，方程中的“次”表示含未知数项的最高次数，故上面两个方程都可以将它称为“二元一次方程” 师：很好，生3把握了整式方程概念中的“元”与“次”的准确涵义，有了这个“规则”，我们就可以在整式方程概念系中，对任何一个方程下定义，起名了，这就是掌握学习方法的魅力所在！师：接着讲，我们把两个二元一次方程组合在一起，并用“”符号将两个二元一次方程联合起来，这时就称为二元一次方程组师：生2的解法就是用方程组的思想，将问题数学化，得到模型2（板书：模型2： 方程组）设计意图 其一， 让学生体验问题情境的发展性，延伸性，提高学生对问题情境认识的深度与厚度，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习的参与度；其二，进一步让学生感受数学是一门模式化的科学，并体验符号化，模式化的思想方法；其三，让学生在概念系中发展概念，培养创新精神，达到“会学”的目的4 延伸至“一元二次方程” 的教学 创设情境 “鸡兔同笼”的问题我们在初中学阶段已研究过三次了（问：在哪些地方研究过它？），今天我们来研究它的变式情形情境1：今有鸡兔同笼，上有三十五只头，若鸡、兔只的积为2208个，问鸡、兔各有多少个？ 情境2：在这35只鸡、兔中，若鸡、兔个数的积比鸡的个数的35倍还少625，问鸡、兔各多少个？情境3：在这35只鸡、兔中，若鸡、兔个数的积是鸡只的5倍，问鸡、兔各多少个？设计意图 上述三个情境， 都是对“鸡兔同笼”问题的变式，主要让学生感受将原问题中的两个量的“和”的关系，转化成两个量的“积”的关系，那么，模型就由“一元一次方程”变化成“一元二次方程”，有助于学生对一元二次方程的本质的理解情境1、2、3的设计，又为得到不同的一元二次方程形式（；）作好基础，为最终对一元二次方程符号化作预设形成概念问题1 上述三个方程有何共同特征，该给它们起个什么名字较为科学？生1： 应该称它们为“一元二次方程”因为它们只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数为2，根据方程概念系中的相关规定，可称它们为一元二次方程问题2 你们对一元二次方程的概念的本质属性有了较高的认识，那么能否将任何一个关于x一元二次方程，用一般形式表示出来呢？生1：师： 生1同学，你写出来的一般形式，具有一般性吗？生1： （纠正）一般地一元二次方程应含有三项，因此，应修正为师： 一定有三项吗？生1： 不一定，师： 那么如何解释二项，三项呢？生1：生2： 当时，它只有和二项；当时，它只含和二项师：那么当且时，它是不是一元二次方程呢？生2：我理解它应该是一元二次方程，因为它符合方程系中的一元二次方程的定义师： 我们对字母a、b进行了讨论，那么字母a的取值要讨论吗？其取值有限制吗？如果有，有什么样的限制？说明你的理由生3：字母a一定不为0若，就不存在含有未知数的二次项了，也就不是二次方程了师： 这一点很重要同学们要深刻理解一元二次方程的一般形式（板书：）设计意图 探究活动把学生的重点放在一元二次方程概念的形成和符号化上，让学生经历一元二次方程概念的形成过程，引导学生找出具体例子的共同特征，不断让学生思考、小结、提升，不断