分类计数原理和分步计数原理.ppt

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 应在学完古典概型1后才学 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 甲 1 分类加法计数原理 问题1从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 乙 3 2 5 种 分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 问题2从甲地到乙地 要从甲地先乘火车到丙地 再于次日从丙地乘汽车到乙地 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么两天中 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分步乘法计数原理 注意 分类计数原理与分步计数原理的区别在于 分类计数原理是 完成 某件事可分几类 而分步计数原理则是 分几步完成 一件事 例题1 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取一本书 有多少种取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 注意区别 分类 与 分步 解 1 从第1层任取一本 有4种取法 从第2层任取一本 有3种取法 从第3层任取一本 有2种取法 共有4 3 2 9种取法 答 从书架上任意取一本书 有9种不同的取法 2 从书架的1 2 3层各取一本书 需要分三步完成 第1步 从第1层取1本书 有4种取法 第2步 从第2层取1本书 有3种取法 第3步 从第3层取1本书 有2种取法 由分步计数原理知 共有4 3 2 24种取法 答 从书架上的第1 2 3层各取一本书 有24种不同的取法 分类时要做到不重不漏 分步时做到不缺步 例3同时掷两个骰子 计算 1 一共有多少种不同的结果 2 其中向上的点数之和是5的结果有多少种 3 向上的点数之和是5的概率是多少 解 1 掷一个骰子的结果有6种 我们把两个骰子标上记号1 2以便区分 它总共出现的情况如下表所示 从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种 3 由于基本事件的总数为36 记事件A为 向上点数之和为5 则事件A包含的基本事件的个数为4 由古典概型的概率公式 得 答 向上的点数之和是5的概率是 例3同时掷两个骰子 计算 1 一共有多少种不同的结果 2 其中向上的点数之和是5的结果有多少种 3 向上的点数之和是5的概率是多少 解 1 一共有6 6 36种不同的结果 3 记事件A为 向上点数之和为5 由于基本事件的总数为36 且事件A包含的基本事件的个数为4 由古典概型的概率公式 得 答 向上的点数之和是5的概率是 1 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码 每位上的数字可在0到9这十个数字中选取 假设一人完全忘记了自己的储蓄卡上密码 问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少 解 这是一个古典概型 基本事件的总数是10 10 10 10 10000种 记事件A 能取到钱 则A包含的基本事件个数为1 P A 答 他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 2 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码 每位上的数字可在0到9这十个数字中选取 某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字 他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码 而随意按下密码的最后一位数字 正好按对密码的概率是多少 变式训练 解 这是一个古典概型 P A 答 他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 记事件A 基本事件的总数是1 1 1 10 10种 则A包含的基本事件个数为1 例2一种号码锁有4个拨号盘 每个拨号盘上有从0到9共10个数字 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码 本题的特点是数字可以重复使用 例如0000 1111 1212等等 与分步计数原理比较 这里完成每一步的方法数m 10 有n 4个步骤 结果是总个数 N 10 10 10 10 104 解 由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字 每个拨号盘的数字有10种取法 根据分步计数原理 4个拨号盘上各取1个数字组成的号码个数是 答 可以组成10000个四位数字号码 N 104 3 5本不同的语文书 4本不同的数学书 从中取出2本 一共有种不同的取法 取出的书恰好都是数学书 一共有中不同的取法 取出的书至少有一本是数学书 共有种不同的取法 2 在5个红球与3个白球的袋子中任摸3球 一共有种不同的摸法 1 连续抛掷两枚骰子 一共有种不同的结果 练习 6 6 36 8 7 6 336 9 8 72 4 3 12 4 5 5 4 4 3 52 注意 6 四名研究生各从A B C三位教授中选一位作自己的导师 共有 种选法 三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生 共有 种选法 5 在1 20共20个整数中取两个数相加 使其和为偶数的不同取法共有多少种 答 10 9 10 9 2 90 种 43 4 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口 问从1楼到5楼共有多少种不同的走法 答 3 3 3 3 34 81 种 34 例3要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 解 先选1名上日班 共有3种选法 再选1名上晚班 有2种选法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是 答 有6种不同的选法 日班晚班 甲 乙 丙 丙 乙 甲 乙 甲 丙 相应的排法 不同排法如下图所示 例4 满足A B 1 2 的集合A B共有多少种 解法一 A B均是 1 2 的子集 1 2 1 2 但不是随便两个子集搭配都行 本题犹如含AB的两元不定方程 其全部解分为四类 1 当A 时 只有B 1 2 得1组解 2 当A 1 时 B 2 或 1 2 得2组解 3 当A 2 时 B 1 或 1 2 得2组解 备选例题 4 当A 1 2 时 B 或 1 或 2 或 1 2 得4组解由加法原理 共有1 2 2 4 9组解 解法2 设A B为两个 口袋 需将两种元素 1与2 装入 任一元素至少装入一个袋中 分两步可办好此事 第1步装 1 可装入A不装入B 也可装入B不装入A 还可既装入A又装入B