春季班教材.doc

第一讲 图形的分割【知识引领】怎样把一个图形按要求分割成若干部分?怎样把一个图形分割成若干部分后再按要求拼接成另一个图形?同学们已经学过初步的几何知识，接触过旋转、平移等割补方法。本讲将进一步讲解这方面的知识和技巧。同学们经过分割图形的练习，可以提高观察图形特点的能力，熟悉图形的性质学会分割图形的技巧，增强空间观念。【面对问题】例题1 用四种不同方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。思路点拨：我们已经学过三角形的面积计算公式：三角形的面积=底高2，由这个公式很容易得出两个非常重要的结论。(1)等底等高的三角形面积相等。(2)甲、乙两个三角形等底(或等高)，若甲的高(或底)是乙的高(或底)的几倍，则甲的面积就是乙的面积的几倍。根据结论1，我们可进一步得出结论：任何一条边上的中线把三角形面积平均分成二份。这道题要把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形，根据“等底等高的三角形面积相等”这一规律，我们可以将三角形中的任意一条边四等分，再将各分点与这边对应的顶点边起来即可。还可把三角形先平均分成两份，再把其中的一份平均分成两份即可。星星细语：可以灵活应用等底、等高三角形面积之间的关系进行分割。尝试解答：用不同的方法把一个等边三角形分成面积相等的三部分。例题2 将下图分割成五个大小相等，形状相同的图形。思路点拨：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于155=3(个)小正方形的面积。3个小正方形组成的图形只有 和 两种形式(可以旋转)，于是可得到下面两种分割方法。星星细语：先进行计算，再抓住图形的特征进行分割，是做这种题的基本方法尝试解答：如图，将它分成形状和大小都相同的四块。例题3 下图是一个44的方格纸。现在要求把这张正方形纸分割成大小相等、形状相同的四个部分。但要保持每个方格的完整。共有哪几种分法？思路点拨：44的方格纸共有16个小方格。把它分成大小相等、形状相同的四个部分。且要保持小方格的完整，说明每个部分有4个小方格。把这四个小方格组合起来共有四种。请同学们试一下以上述图形中的一块为基本图形，将44的小方格纸分成四部分，想一想，各有几种分法？尝试解答：如图是一张34的方格纸。请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。例4 四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。思路点拨：上图所示的三角板 A是直角， B十 c=90。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将 A作为外正方形的角(左下图)和拼内正方形的角(下中图)两种情况。若三角板可以重叠放置，还有右下图所示的拼法。星星细语：本题突破点是抓住三角板特殊角(直角)的摆放，使问题得以解决。尝试解答：将一个正方形分成4个小正方形怎样分?分成7个怎么办？10个呢?例5 如右图，长方形的长和宽各是9厘米和4厘米。要把它剪成大小和形状都，相同的两块，并使它们能拼成一个正方形。思路点拨：计算可知，长方形的面积是36平方厘米。不妨把这个长方形平均分成36个小正方形，每一个正方形的面积都是1平方厘米。而把它分成两块后再拼成一个正方形，图形的面积并没有改变，即拼得的正方形面积是36平方厘米，其边长是6厘米。相比之下，长方形的宽还少2厘米，而长多出了3厘米。我们可以把上面的长分成6厘米和3厘米两段，下面的长分成3厘米和6厘米两段。而长方形的宽从中间分成两半，即向下向上剪两个格，如(1)图所示。此时长方形已经分成了大小和形状相同的两块，只需要把左面的一块向上移动两个小格，再向右移动三个小格即可拼成正方形，如(2)图所示。星星细语：图形的剪拼可以先从面积入手，然后根据具体的题目要求来确定每一部分的形状和位置。在拼的时候，要注意平移和旋转的利用。尝试解答：如下图，把边长为5的正方形中间挖去一个边长是1的小正方形(阴影部分)，再将这个图形分成两块，拼成一个长方形。【课内练习】1、将等边三角形纸片按图(a)所示的步骤折3次(图(a)中的虚线是三边中点的边线), 然后沿两边中点的边线剪去一角(图(b)。将剩下的纸展开、铺平，得到的图形是( )。2、将下图分成4个大小相等、形状相同的图形。3、下图是一个44的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部，)4、.将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。5、.把一个长5厘米、宽1厘米的长方形分割、拼接成一个正方形。【课外练习】1、怎样把一个平行四边形剪拼成一个长方形。（画出示意图）2、将下图分成四个大小相等、形状相同的图形。3、你能把下面的图形分成面积和形状都相同的5块吗?在图上丬将分法画出来。4、你能把一个等边三角形分成大小、形状都相同的3个、4个、6个三角形吗？5、两个大小相同的正方形怎样拼成一个大正方形。（拼一拼并画出示意图）。数海拾趣：巧剪妙拼王大娘是个高明的裁剪师，她做的衣服用布最节省，连一些边角废料，在她的手里都能利用，右面形状的两块布头，被她各剪一刀，竟神奇的拼成了正方形。小朋友，你知道王大娘是怎样剪拼的吗?家长留言： 签名：第二讲 包含与排除 【知识引领】集合是指具有某种属性的事物的全体，组成集合的每个事物称为这个集合的元素，它是数学中最基本的概念之一。如某班全体学生可以看做一个集合。每一个学生都是这个集合的元素。两个集合也可以做加法运算。把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合叫做集合C。计算集合C的元素个数的思考方法主要是包含与排除。先把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起;再“排除”A、B公共元素的个数，减去加了两次的元素，即C=A +B-AB，在解答包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。【面对问题】例题1 一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人?思路点拨：我们通常可以画一个图帮助思考：画两个相交的圆，其中一个圆表示体育代表队，另一个圆表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的圆中有25人，但30+25=55，大于42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42 =13，即是两队都参加的人数。30+25-42 =13(人)，答：两队都参加的有13人。星星细语：重叠一次容斥原理：两部分之和减去总数等于两部分的公共部分。.尝试解答：一个班有学生45人，参加数学兴趣小组的有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人?例题2 求100以内即是5的倍数又是7的倍数的数的个数？思路点拨：100以内5的倍数有1005=20个，7的倍数有1007=142即14个。但100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数并不是20+14=34个。因为在100以内有些数既是5的倍数，又是7的倍数，如35，这些数在计算5和7的倍数时，重复统计了，因此要求100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数时，还应减去100以内5与7的公倍数的个数。100以内5的倍数有1005=20（个）100以内7的倍数有1007=142即14（个）100以内35的倍数有10035=230即2（个）20+14-2=32（个）答：100以内既是5的倍数又是7的倍数的数的个数是32个。星星细语：可以先求出每个部分的数量，在减去他们的重叠部分。尝试解答：1至100的自然数中，是2的倍数又是3的倍数的数有多少个?例题3 五年级一班62个同学在课堂小测验中，答对第一题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人。问至少答对一题的有多少人?两题都没有答对的有几人?思路点拨：如图所示，已知答对第一题的有兑叭，答对第二题的有49人，根据题意先用52+49=101(人)求出答对第一题和第二题的总人数，但其中两题都答对的43人被算了两次，用101-43 =58(人)，就得到至少有一题答对的人数。所以，两题都答得不对的有62-58=4（人）。星星细语：你还能开动脑筋想出别的方法吗？尝试解答：某班39个同学在一项测试中，答对第一题的有28人，答对第二题的有26人，两题都答对的有18人。问至少答对一题的有多少人?两题都没有答对的有几人?例题4 某班58人，参加数学竞赛的有29人，参加语文竞赛的有28人，如果两科都没参加的有25人，同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?思路点拨：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：58 -25=33（人），根据参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有29人，可以求出两科竞赛同时参加的人数：28+29-33 =24 (人)。星星细语：你还能想出别的方法解答吗？尝试解答：一个旅行团有42人，其中会法语的有21人，会英语的有30人，两样都不会的有6人。两样都会的有多少人?例题5 育才小学举办学生美术作品展览分学校的橱窗里展出了各个年级学生的作品，其中有22幅不是四年级的，有26幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有12幅，其他年级参展的作品共有多少幅?思路点拨：由题意知，22幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；26幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。22+26=48(幅)，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的12幅即得到两个一、二、三、六年级参展作品的总数，再除以2，就求出了其他年级参展的作品。(22+26 -12)2=18(幅). 答:其他年级参展的作品共有18幅。星星细语：要根据具体题目，认真分析，再利用容斥原理进行解答。尝试解答：新年到了，学校把同学们制作的新年贺卡进行展览。学校的走廊里挂出了各年级同学的作品，其中有76张不是二年级的，有98张不是一年级。一、二年级的参展作品共有24张。其他年级参展的作品共有多少张?【课内练习】1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有23人，会弹电子琴的有15人，其中两种乐器都会演奏的有7人。这个文艺组一共有多少人?2、五年级选出60个同学参加作文竞赛和数学竞赛，结果7人两项竞赛都获奖了，有26人两项竞赛都没有获奖，已知作文竞赛获奖的有15人，问数学竞赛获奖的有多少人？3、四年级一班参加舞蹈队的有16人，参加合唱队的有28人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有20人。请算一算，这个班共有多少人?4、五(1)班同学排成4队做操，每队人数一样多。小华的位置是从前面数第7个，从后面数第9个。这个班共有多少个学生?5、儿童节那天学校举办各年级同学的书法作品展览。其中有26幅不是五年级的，有30幅不是六年级的，五、六年级的参展作品共20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级的作品总数少6幅。三、四年级参展的书法作品共有多少幅？6、在1到120的全部自然数中，既是3的倍数，又不是6的倍数的数有多少个?【课外练习】1、五年级(2)班有64名同学，订阅少年报的有32名同学。订阅小学生数学报的有51名同学。已知两种报刊每人至少订一种，有多少名同学两种报刊都订了?2、某班有58个同学，其中35人参加数学兴趣组，31人参加科技兴趣组，有27个人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有加? 3、一个少儿俱乐部有92人，其中会下中国象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，这两种棋都不会下的有14人。这两种棋都会下的有多少人?4、五(4)班同学排成6队做操，每列人数一样多。小林站在第二列，从前面数或是从后面数，她都是第6个。五(4)班一共有多少个学生在做操?5、学校的展览室里展出了每个年级学生的手工作品，其中有42件不是三年级的，有38件不是四年级的。三、四年级的参展作品共有20件。其他年级参展的作品共多少件?6.在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？数海拾趣“135岁”的爱迪生爱迪生是举世闻名的大发明家。他的一生有许多伟大的发明，使我们的社会和生活发生了巨大的变化。在爱迪生79岁生日那天，他骄傲地对前来祝寿的人宣布：“我已经是135岁的人了。”-大家都赞同和理解这句话，原因很简单，爱迪生工作十分勤奋。从12岁当报童开始，就一直进行看孜孜不倦的学习和不懈的实验，从16岁发明电话自动拨号机起，一生中竟有1000多项发明创造。在工作中，爱迪生相信的是“勤奋加恒心”。他常常废寝忘食，在研究电灯这漫长艰苦的10年中，他先后选用过6000种不同物质作灯丝。为此，他时常在实验室里连续工作24小时，有一次，他和助手们竟连续工作了5个昼夜。即使在80岁高龄的时候，他白天仍在实验室一工作就是一整天，晚上还要在书房里读35小时的书。正如他所言：“停止就意味着生锈。必须经常收获，而不能一生只收一次。”有时，采访者会问他准备何时退休，爱迪生回答有两种方式，其一是“葬礼之前”；其二是“当医生搬来氧气瓶时”，这样的回答正好解释了爱迪生的那句名言“天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋!爱迪生在几十年间几乎每天工作十几个小时，若用平常人每天工作8小时来计算，他的生命当然已经延长了。生命的长短用时间计算，生命的价值用贡献计算。家长留言： 签名：第三讲 因数和倍数【知识引领】因数和倍数是研究自然数之间关系的学问。裁们在课本中已经学习了2,3,5的倍数的特征，这里再补充几个数的倍数特征: 1、是2和5、4和25、8和125的倍数的特征，分别看这个数的末一位、末两位、末三位是否是2和5、4和25、8和125的倍数。2、是9的倍数的特征：这个数各位上的数字的和是9的倍数。3、是11的倍数的特征：这个数的奇位上的数字的和与偶位上的数字的和的差是11的倍数。4、是7,11,13的倍数的特征:如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差(大数减小数)是7或11或13的倍数，那么这个数就是7或11或13的倍数。【面对问题】例题1 有两堆糖果，第一堆有423块，第二堆有344块，哪一堆平均分给9个小朋友而无剩余？思路点拨：本题实际就是要判断432和344是否是9的倍数，而423各位上数字的和是4 +2 +3 =9，是9的倍数，344各位上数字的和是3 +4+4=11，不是9的倍数。所以，第一堆可以平分给9个小朋友而无剩余，第二堆平分给9个小朋友还剩余2块。星星细语：应熟练掌握是9的倍数的特征，并能综合运用。尝试解答：判断45 728是否4的倍数?例题2 有一些四位数，它们的百位数字都是3，十位数字都是6，并且它们既是2的倍数，也是3的倍数。甲是这样的四位数中最大的，乙则是最小的。问：甲、乙两数各是多少？思路点拨：根据我们学到的判断方法，我们知道：一个数若是2的倍数，则它的末位必为偶数；而它若是3的倍数，说明它的各个数位上的数字之和是3的倍数。而它们的百位数字是3，十位数字是6，这就等价于这些四位数的千位和个位的数字之和为3的倍数。首先，我们假设这样的四位数为a36b，因为甲是这中间最大的，那么它的千位数字也就应当最大的，我们不妨从a=9试起。此时，要满足甲是3的倍数，于是就有9加b必须是3的倍数，即b必须是3的倍数。而要满足甲是2的倍数，就必须满足b是个偶数。结合这两种情况得出b=6,.或b=0，因为甲是最大的，所以甲为9366。因为乙是最小的，那么它的千位教字也就必须最小，我们可以从a=1这种情况试起，这个时候，要满足乙是3的倍数，必须有1加 b是3的倍数，又根据b为偶数和乙最小这两个条件，得出b=2，所以乙为1362。星星细语：先满足3的倍数的条件求出数字和的可能值，再根据2的倍数特征判断个位数字。尝试解答：一个五位数是3口65它既是3的倍数，又是25的倍数。求满足这种条件的最大的五位数。例4 判断18 109是不是7或11或13的倍数?思路点拨：根据是7，11，13倍数的数的特征，用末三位109减去末三位前面所组成的数，求出差，看这个差是不是7，11，13的倍数。就可以判断出18109是不是7或11或13的倍数。109-18=9191是7的倍数，18 109也是7的倍数。91不是11的倍数，18 109也不是11的倍数。91是13的倍数，18 109也是13的倍数。星星细语：熟记一些常用数的倍数特征，对加快解题速度很有帮助。尝试解答：判断25 102是不是7或11或13的倍数?例题3 一名采购员买了72只同样的水桶，洗衣服时不慎将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只水桶，共口67.9口元（内的数字洗烂了），请你帮他算一算，每只水桶多少钱?思路点拨：将口67. 9口元看做口679分，这是72只水桶的总价钱，因为单价72=口679口，所以679是72的倍数，而72=89，所以口679同时是8和9的倍数。因为口679口是8的倍数，所以它的末三位数一定是8的倍数，容易算出口内应是2，即个位数字是2。又因为6792是9的倍数，所以它的各个数位上的数字之和是9的倍数。6+7+9+2=24，即24+口的和应是9的倍数，所以口应该是3。72只水同的总价是367.92元，每只水桶的价钱是367.9272=5.11(元)。星星细语：本题运用了“一个数能被两个数的积整除，那么这个数就同时能被这两个数整除”这一整除性质。尝试解答：五年级有72名学生，课问加餐共交口52.7口元，每人交了多少元?例5 在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它是3, 4,5的倍数，且使这个数值尽可能地大。思路点拨：首先，要使六位数尽可能大，百位数字应该埴9。其次，要求是5的倍数，个位数字可以填0或5，但是若填5，末两位数字就不是4的倍数。所以个位只能填0。这样就剩十位数字要确定，根据是3的倍数的数特征，各位数字之和为8+6+5+9+口+0=28+口，十位数字可以填2, 5, 8；但是还要是4的倍数，十位数字只能为2或8，要使六位数最大，十位应填8。所以这个六位数为865980。星星细语：要求能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被每个数整除的特征，但考虑时应注意顺序：一般是，首先考虑被2或5整除，因为只需考虑个位数字，其次，考虑被4或25整除，因为此时只看末两位数字；再其次，考虑被8或125整除，因为此时只要看末三位数字，最后考虑被3或9整除，因为被3或9整除时要考虑各位数字之和，考虑的范围最广。尝试解答：若五位数32A5B同时是2, 3, 5的倍数，试求满足条件的所有这样的五位数。【课内练习】1、判断2 684 962是不是7或11或13的倍数?2、在内填上合适的数，使五位数736既是5的倍数，也是9的倍数。3、若五位数32A5B同时是2, 3, 5的倍数，试求满足条件的所有这样的五位数。4、将自然数1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数是3的倍数吗?5、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口.2口元。已知口处数字相同，请问每支钢笔多少元?6、四位数6A2B能被2,3,5整除，这样的四位数有多少个?【课外练习】1、既是2的倍数，又是3的倍数，还有因数5的最小两位数是多少? 最大的两位数是多少?2、自然数ll00内共有多少个数不是3或11的倍数?3、书法兴趣小组的72名同学每人都买了一本相同的字帖，共计A85.B元。你能算出每本字帖多少钱吗?4、根据是11的倍数的数的特征，判断下列数中哪几个数是11的倍数？3434 3443 52019 688685、从1, 2, 3, 5, 6这五个数字中选出三个能组成多少个是9的倍数的三位数?6、在37的后面补上两个数字组成一个四位数，使它同时是3、5、7的倍数。求这个四位数。数海拾趣： 我的密码以下是刘老师自己设计的生日密码，请同学位运用所学知识，破译密码。AB表示年份的后两位，CD表示出生日数， EF表示出生日期，如果是单日或单月出生的，C或E可填0。刘老师的生日是这样设置的：A是最小的合数，B是10以内最大的偶数， C既不是素数，也不是合数， D表示什么也没有， E是最大两位数与100以内最大素数的差， F有因数3，又是6的倍数。同学们，刘老师的生日密码是( )。请你在下面也为自己设计生日密码，好吗?家长留言： 签名：第四讲 奇数和偶数【知识引领】整数可以分成奇数和偶数两大类，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。偶数通常可以用2N(N为整数)表示，奇数则可以用2N+1I（N为整数)表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。奇数与偶数的有下面运算性质：性质1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质2：偶数奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。【面对问题】例题1 1+2+3+1993的和是奇数?还是偶数?思路点拨：此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶教。但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性。此题可以有两种解法。解法1：1+2+3+1993=奇数奇数=奇数，所以和是奇数。解法2: 19932-9961,11993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。996个偶数之和一定是偶数，997个奇数之和是奇数，偶数十奇数=奇数，所以和是奇数。星星细语：解法2通过奇数与偶数的运算性质来解决问题是非常巧妙的方法尝试解答：5 +6 +7 +999 +1000的和是奇数还是偶数，为什么?例题2 有一列数:2,3,5,8, 13,21, 从第3个数开始，每个数都是前两个数的和。问在前1000个数中，有几个是偶数？思路点拨：很显然，把这1000个数都写出来是很麻烦的，也没有这个必要。我们可以先写出这个数列的前十几个数，分析它们的奇偶性，看是否能从中发现规律。2 3 5 8 13 21 34 55 89偶 奇 奇 偶 奇 奇 偶 奇 奇从上面的分析可以看出这个数列中是一个偶数后跟着两个奇数。依次重复的。因此每3个数中就有1个数是偶数，而10003 = 333(组) 1，每一组的第一个数又是偶数，因而偶数一共有3331 +1 =334 （个）。星星细语：分析它们的奇偶性，看是否能从中发现规律，在计算。尝试解答：数列1,3,4,1,11,18, 是这样构成的，从第三个数开始，每一个:数都是前两个数的和。问在前500个数中有几个是偶数？例题3 小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张纸的正反两面编号(即由第1页一直编到第192页)，小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。试问：小丽所加得的和数能不能为1994?思路点拨：因为每张纸正反两面页数的和是奇数，25也是奇数，奇数个奇数相加的和不可能是1994(偶数)。星星细语：“相邻两个自然数的和一定是奇数”运用这条这条性质很显然可以得到结果，但在解题过程中能有意识地运用它却不容易做到，还要靠同学们多思考、多练习、多总结，尝试解答：在一次宴会上，客人们相互握手，若每位客人的握手是奇数的，那么客人的总人数是奇数还是偶数?例4 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中的6只同时“翻转”。 问:最后能使全部杯子都杯口朝下吗？思路点拨：要使1只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”。要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”，即“翻转”的总次数为奇数。但规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数，因此无论经过多少次翻转，都不能使9只杯子全部口朝下。星星细语：如果杯子的数最是奇数个，而且每次翻转偶数个杯子，那么无论经过多少次翻转都不能使杯子全部口朝下。尝试解答：5只杯子全部杯口朝下，每次翻动其中的4只杯子，能否用这种方法将5只杯子翻过来，使得杯口全部朝上?例5 14名选手参加数学竞赛，一共有20道题。评分方法是答对一道给5分，不答给1分，答错倒扣1分。求这14名选手得分的总和是奇数还是偶数?思路点拨：我们可以用假设法来分析这道题。假如一名选手做对所有的题目，就能够得到205=100（分），100是个偶数。如果有一道不答，就少了5-1 =4(分)，4是偶数，不管有几题不答，减少的分数都是偶数，偶数减偶数，结果还是偶；如果有一道答错，就少了5 +1 =6 (分)，6也是偶数，因此不管答错几题，每次减少的分数都是一个偶数，偶数减偶数还是偶数。从上面的分析可以看出，无论这名选手答题情况如何，他的得分始终都是偶数。因而14名选手得分的总和还是偶数。星星细语：运用奇数、偶数的性质进行分析、推理，称为奇偶分析。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特点，问题便迎刃而解。尝试解答：21名选手参加智力竞赛，共有50道题。评分方法是答对一道给7分，不答给3分，答错倒扣1分。求这21名选手得分的总和是偶数还是奇数?【课内练习】1、1000个连续自然数的积是奇数还是偶数?为什么?2、15名同学参加数学竞赛，共有20道题。评分方法是：每人都有25分的基础分，在此基础上每答对一题给5分，不答给1分，答错倒扣1分。求这15名同学的总分是偶数还是奇数?3、右图是一张靶纸，靶纸上的1,3,5,7,9表示射中该靶区的分数。甲说:“我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分。”乙说:“我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分。”已知甲、乙二人中有一人说的是真话，那么说假话的是谁?4、一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是1前两个数的和，如下所示： 1, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 试问：这串数的前100个数(包括第100个数)中，有多少个偶数?5、有5张扑克牌，画面向上。，小明每次翻转其中的4张、那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗?6、五个连续奇数的和是85，其巾最大的数是，最小的l【课外练习】1、下面算式的和是奇数还是偶数?1+2+3+4+1997+19982、某人将纸球放进两种盒子里，每个大盒子装12个球，每个小盒子装5个球，恰好装完。如果有99个球，盒子数大于10，那么大盒、小盒各多少个？3、两个相邻的奇数的和乘以它们的差得184，这两个奇数各是多少？4、数列1,2,5,13,34,89, 的排列规律是这样的，从第二个数开始，每个数的3倍都正好是它前边一个数与后边一个数的和。问这个数列的第100个数是奇数还是偶数?5、25个连续偶数的和是2000，其中最大的偶数是多少6、16位同学参加数学竞赛，一共有20道题。评分方法是答对一道题给5分，不答给1分，答错倒扣1分。这6位同学得分的总和是奇数还是偶数?数海拾趣： 奇数和偶数活动课上，黑熊老师笑着对大家说:“我们来做个游戏好不好?“好!”小动物们齐声回答。“请你们每位准备两张小纸条。”黑熊老师清了清嗓子说。小动物们不知道黑熊老师要它们做什么游戏，一个个兴奋得眼晴发亮，很快都把小纸条准备好了。黑熊老师环视一下全班同学，说:“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。不要给我看也不要给你身边的同学看。”小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。“听着”，黑熊老师一字一句清晰地说道:“你们各位都请将右手中的数乘2，左手中的数乘3，再把乘积相加。不要算出声音来。”等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的排成一队;得数是偶数的排成一队。小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下一步要它们做什么。“好了!”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说:“你们左手握的都是奇数。”它又指着另一排小动物说:“你们左手握的都是偶数。”两排小动物们排开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道:“老师，您是怎么知道的? 家长留言： 签名：第五讲 分解质因数【知识引领】把一个合数表示成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，由于这些因数都是质数，所以都叫做这个合数的质因数例如分解质因数的方法在解答有关数学题中有着广泛的应用，这类题目往往比较灵活，且趣味性很强。下面我们通过对例题的分析、推理加以说明。【面对问题】例1 判断103、493两个数是质数还是合数?思路点拨：先找到一个大于103而且最接近103的一个完全平方数， =100, =121,11以内的质数有2、3、5、7。根据能被某些数整除的特征，个位是3，所以不能被2、5整除；1+0+3=4，所以103也不能被3整除；最后再用7去试除。经过逐一判断或试除得知，这4个质数都不能整除103，所以103是质数。因为 =484， =529，529是最接近493并且大于493的平方数，23以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，容易判断493不能被2、3、5整除，用7、11、13、17、19逐一试除，得到49317=29，所以493是合数。星星细语：要判断一个自然数N是质数还是合数，只-要用从小到大的质数去除N就可以了。尝试解答：判断481和257是质数还是合数?例2 把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法?思路点拨：先把18分解质因数：18=233。可以看出：18的因数是1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个因数，所以，一共有4种不同的分法。星星细语：因为每次拿出的个数拿的次数=100，所以每次拿的个数与拿的次数应为100的因数。.- .尝试解答：用120个大小相同的正方形拼成一个长方形，共有多少种不同的拼法?例题3 三个连续自然数的乘积是720，求这三个自然数？思路点拨：可以先把720分解质因数，再把所有质因数重新组合成三个连续自然数的乘积。720 =2222335=8910答：这三个连续自然数是8、9、10。星星细语：如果已知几个数的积，要求这几个数，可以先把原数分解质因数，然后再根据题目的要求，将这些质因数重新组合符合要求的数。尝试解答：三个相邻自然数的乘积是504，求这三个自然数？ 例题4 1234200这个乘积的末尾有多少个连续的0?思路点拨：因为2和5相乘，就会在积的末尾得到一个0，要看这个算式的末尾有多少个连续的0，只要看一下各乘数中含有的质因数2和5分别有多少个。显然2的个数比5多，所以只需考虑5的个数就行了。在1200中，5的倍数共有2005=40(个)。但值得注意的是，25中含有2个5，125中含有3个5，这些都必须加以考虑。而在l200中，25的倍数共有20025 =8(个),125的倍数共有2001251 (个)。(这儿采用去尾法取近似值，想想这是为什么?)因此5的个数共有2005 +20025 +200125 =40 +8 +1=49(个) 所以1234200乘积的末尾有49个连续的0.。星星细语：要求一个连乘算式的积的末尾有几个连续的0，可以分别找出算式各乘数中所含有的质因数2和5各有多少个。取其最少的个数就是乘积末尾0的个数。尝试解答：1234100乘积的末尾有多少个连续的0？例题5 把8,21,25,35,44,65,78,99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。思路点拨：要使这两组的乘积相等，这两组必须含有完全相同的质因数，而且质因数的个数也必须对应相等。因此我们先把这八个数分解质因数：这些因数中，共有6个2、4个3、4个5、2个7、2个11和2个13，因此每一组中应该有3个2、2个3、2个5、1个7、1个11和1个13。在分组中应该注意到，有3个2在同一个数(8)中，因此另一组中就必须是44和78，接下来再考虑其余的质因数，分成如下两组：8,35,65,99和21,25,44,78。星星细语：如果给出几个数，要将它们分成几组，使每组中数的乘积相等，通常要先把这几个数分别分解质因数，然后对所有质因数进行分组，使得每组中各个质因数的个数都对应相等。尝试解答：把40,44,45,63,65,78,99, 105这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。【课内练习】1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，有哪几种分法?2、有三个自然数a、b、c，已知ab=30, bc=35，ac = 42，求abc的积是多少?3、要使75( )18412560的乘积的末尾有7个连续的0，括号里最小应填多少?4、甲数比乙数大7，两个数的乘积是450，求这两个数的和是多少?5、动物园里新来了三位伙伴，它们是熊猫、狮子和老虎。它们年龄的连乘积是84，熊猫的年龄是狮子和老虎年龄的和。试求熊猫的年龄。6、把39 ,45,49,56,60,79,78，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。【自主检测】1、用短除法分解质因数:90 4502、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数的和是多少。3、幼儿园把216个相同的玩具平均分成若干份，分的份数要求在5至20之间，那么有多少种分法？4、公园内有三只小熊猫，恰好一只比一只大1岁，它们的年龄之积是60，问：最小的熊猫几岁?5、如果A+B=14,AB=48，那么A、B分别是多少?6、下计算，判断一下，489253447560的积的末尾共有了几个连续的0？数海拾趣：牧师的诡计一次海上航行，突然遇上了风暴。木船在汹涌的波涛中摇摇欲坠。船上的24名乘客顿时惊慌失措。为了保全性命，乘客们把所有的行李都抛入大海，以减轻船的重量，但是被巨浪击坏，的船舱，仍然载不起那么多的乘客。根据船体情况判断，人员超重太多。这就是说，要么所有的人同归于尽，要么把一部分人抛进大海，这样另一部分人还有得救。商议的结果，大家一致同意第二种意见，即一部分人跳海。可是却又没有人主动跳海。乘客中有15个基督教徒和1个牧师，他们也不愿主动跳海。最后大家公推牧师想办法。那位牧师为难地皱看眉头，两手一摆，说：“生死由命，听耶稣的安排吧!咱们围坐成圆形，依次1,2,3循环报数，凡报“3”的，就应被抛进大海。”众人想，不这么做反正也是死，便都同意了。于是牧师把乘客们安排成圆环坐好，指定一人先报“l，接下去1、2、3,1、2、3一直排下去。就这样，凡报到“3”的都被无情地抛进汹涌海浪之中，上帝的旨意，谁也不能违抗。直到最后只剩下16个人，全部都是基督徒。那些无知的人，以为真是命里注定的。谁也不曾想到这一场性命的赌博，却是牧师用他的数学知识在安排坐次位置上埋下了诡计。你知道吗？家长留言： 签名：第六讲 长方体和正方体的表面积【知识引领】长方体和正方体六个面的总面积，做它们的表面积。长方体的六小面分为上下、左右、前后这样的三组，每组相对面的大小、形状完全相同，所以，长方体的表面积=(长宽十长高十宽高)2。正方体六个面是大小相等的六个正方形，所以，正方体的表面积=棱长棱长6。了解了长方体和正方体表面积的意义和计算方法，在解答题目时还要根据题目的具体情况，有时还要画出示意图，再进行分析。【面对问题】例题1 把两块长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块拼成一个大的长方体，表面积最多减少多少？最少减少多少?思路点拨：把两个相同的长方体拼在一起时，表面积减少的部分为拼接面的两倍，那么要使表面积减少得最多，只要沿着最大的一个面去拼接；而要使表面积减少得最少，就要沿着最小的一个面去拼接。1082=160(平方厘米) 862 =96(平方厘米)所以表面积最多减少160平方厘米，最少减少96平方厘米。星星细语：在解答立体图形的切拼时，要注意增加了哪些面或减少了哪些面，但无论是切开还是对拼，每次都增加或减少2个面。尝试解答：把一块长20厘米、宽15厘米、高12厘米的长方体木块切成两个相同的小长方体。现在这两个小长方体的表面积之和与原来大长方体的表面积相比，最多增加多少?最少增加多少?例题2 一个长40厘米，横截面是正方形的长方体，如果长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。思路点拨：根据题意，画出示意图。长增加5厘米，增加的表面积是指增加部分上下、前后4个面的面积，4个面大小相等，可以求出一个面的面积，用一个面的面积除以增加部分的长5厘米，就得原长方体的宽，也就是高，这样就可以求出原长方体的表面积。8045=4（厘米）(40440 444)2 = 672(平方厘米)答：原长方体的表面积是672平方厘米。星星细语：，在解答时，要弄清题意，有时候还要根据题意，画出示意图，结合示意图进行分析。尝试解答：把3块棱长为2厘米的小正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积比原来3个正方体的表面积总和减少多少?例题3 如图，在一个棱长是5厘米的大正方体上面粘上一个棱长1厘米的小正方体，求整个图形的表面积是多少?思路点拨：下面的大正方体的表面积为556=150(平方厘米)，与下面的大正方体相比，现在整个图形的表面积比原来增加了4个小正方形，即表面积增加了114 =4(平方厘米)，因此现在整个图形的表面积为：556 +114=154(平方厘米)。星星细语：计算表面积，顾名思义要计算物体“暴露”在外面的部分。注意不能多算或遗漏。尝试解答：如图，有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的小孔，求剩下部分的表面积是多少? (单位立：厘米)例4 把一块棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个?思路点拨：如图，每边切成41 =4(个)小正方体，总共切成444=64(个)。(1)三面涂色的小正方体位于原来大正方体的8个顶点处，每个顶点处各有一个，因此三面涂色的小正方体共有8个。(2)两面涂色的小正方体位于原来大正方体的12条棱上，每条棱上各有4-2=2(个)，因此两面涂色的小正方体共有(4-2)12=24(个)。(3)一面涂色的小正方体位于原来大正方体的6个面上，每个面上各有(4-2)(4-2)=4(个)，因此一面涂色的小正方体共有(42)(42)6=24(个)。(4)六个面均不涂色的小正方体位于原来大正方体的内部，因为一共切成了64个小正方体，所以六个面均不涂色的小正方体有6482424=8(个)。星星细语：可以根据顶点、面、棱分类讨论各自涂色小正方