-人教版高二数学椭圆及其标准方程教学案例--虎翠萍.doc

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 高中数学教学案例课 题: 椭圆及其标准方程 设计教师: 虎翠萍 工作单位: 乌市第69中学 联系电话:椭圆及其标准方程教学案例一、 教学内容分析椭圆及其标准方程是普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（人教A版）第二章圆锥曲线第二节第一课时内容，是在学习了曲线和方程之后，对这一知识的应用。椭圆是三种圆锥曲线中重要的一种曲线，教材是以椭圆为例说明求曲线的方程、利用方程讨论曲线几何性质的一般方法，从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了理论基础和基本模式。椭圆的定义和标准方程是椭圆的起始课，这节内容是进一步研究椭圆几何性质的基础，所体现的思想方法也是后继学习的理论依据。二学情分析 本节内容是在选修2-1中，学生已经在必修内容中学习了直线和圆的方程，并且在选修2-1的第二章学习了曲线和方程，我所授课的班级是普通中学的平行班，思维比较活跃但是学习的主动性不足，学生解决问题的能力较弱，另外由上一节的学习学生已初步掌握了求轨迹问题根本方法，但计算能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍。三设计思想新课程数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课以新课程要求为指导，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法，激发学生探究数学知识、应用数学知识的潜能。四教学目标1、知识目标（1）理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。（2）掌握椭圆标准方程的推导及标准方程。（3）通过对椭圆方程的求解熟练求曲线方程的基本方法。2.能力目标通过两种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力3情感目标营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。五教学重点难点重点：掌握椭圆的定义及其标准方程的形式特点难点：椭圆标准方程的推导与化简。六教学过程设计（一）动手尝试，引入新课 请一位学生上台在图板上演示。取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察动点画出的轨迹 把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察画出的轨迹。通过观察得出第一个是圆，第二个就是椭圆。设计意图：动手实验，亲身体会，体现数学实践在数学学习中的地位和作用，让学生动手尝试是尊重学生的生命活动，激发学习兴趣和求知欲，体会探索的乐趣。通过这个实验能深刻理解椭圆的定义。（二）归纳定义，联系生活请学生就刚才的实验，思考动点和定点的关系，归纳椭圆的定义的讨论。定义：把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。思考：常数时的轨迹椭圆那么 常数=时的轨迹是什么常数时的轨迹是什么设计意图：引导学生透过现象看本质，不断提升学生的分析和归纳能力，准确理解椭圆的定义。联系生活1. 列举生活中见过的类似椭圆的图形2. 观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界所呈现的图形3. 观看天体运行的轨道图片设计意图：体会数学源于现实，数学知识在生活和科技中的广泛应用，激发学生的学习兴趣。（三）深入探索，推导方程学习了椭圆的定义，接下来是求椭圆的方程。师：.求轨迹方程的步骤是什么？生1：（1）建系设动点坐标 （2）写出动点满足的关系式 （3）根据关系式列出方程 （4）化简方程 （5）证明设计意图：熟悉解题步骤，为求椭圆方程做铺垫。师：建立直角坐标系的原则是什么？生2：.建立直角坐标系的原则是：（1）有利于求出题目的结果 （2）尽可能多的使图形中的点或已知点落在坐标轴上 （3）充分利用图形本身的对称性设计意图：引导学生不仅注重知识之间的联系，运用所学的知识解决现有的问题，还要在遇到问题多思考方法，找到方法就能有效解决问题。为求椭圆标准方程建立坐标系埋下伏笔。师：观察椭圆的几何图形，讨论如何建立直角坐标系。（通过观察图形和讨论和刚才复习的建直角坐标系的原则比较容易建立合理的坐标系）生3：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.师：设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=MMF1+MF2=2a因为MF1=MF2=所以得：+=2a对于方程的整理，让学生动手化简。对于两个根式的加减方程化简，学生多数会两边直接平方，但是这样化简会出现两个根式的乘积，需要再平方时加大运算难度，所以教师可先让学生自己尝试化简然后指导学生先将等式左边的一个根式移到右边，然后再平方，整理后再平方化简。整理得：（a2c2）x2+a2y2=a2(a2c2).由椭圆的定义可知：2a2c，即ac，故a2c20.令a2c2=b2，其中b0，代入上式整理得：师：这就是椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是，其中设计意图：通过学生体验，教师点拨，攻破椭圆的标准方程的推导这个难点，学习要知其然还要知其所以然，在推导过程中有数学思考的含量，培养学生战胜困难的意志品质。师：大家试着将刚才的坐标系顺时针旋转再观察，会有什么发现？ 生1：轴和轴对调了。师：是的，你们能推出对调后的椭圆的标准方程吗？生2：将中的x和y对调就可以了，就是师：这就是焦点在y轴的椭圆的标准方程，它的焦点坐标是。椭圆的标准方程有什么特点？生1：等式的右边是1，等式左边是两个分式的和。生2：方程是关于x和y的二元二次方程，中间是“+”号师：很好，大家观察很仔细，怎么通过标准方程判断椭圆的焦点在哪个轴上？生：看和的分母，哪个分母大，焦点就在那个轴上。师：总结的非常好，看到标准方程要观察两个分式的分母，的分母大焦点就在x轴上，的分母大焦点就在y轴上。设计意图：引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力。通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力，同时感受数学的简洁美和对称美。师：结合椭圆的图像同学们能否找出与椭圆的三个基本量a,b,c有关的图形吗？教师可在学生思考讨论后给予一定的启发，学生定能找到以焦点和短轴的端点与坐标原点构成的直角三角形.设计意图：渗透数形结合思想，理解椭圆中三个基本量的关系。（四）运用新知，解决例题 例1.（1）椭圆中 a= ,b= ,c= ,焦点在 轴，焦点坐标是 （2）椭圆的焦距为4，则m的值为 设计意图：课本中没有这个例题，设置这个例题的目的是想加深学生对椭圆的焦点坐标和标准方程的理解，巩固椭圆中a,b,c关系量的求法。例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0），并且经过点，求它的标准方程。 让学生分析解答，学生会用定义或者待定系数法解答，尽可能让学生动手解答。设计意图：此题是教材中的例题，意在让学生运用椭圆的定义，或者运用待定系数法求椭圆的标准方程。让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。（五）巩固练习，检验成果1.如果椭圆上的点P到焦点的距离等于6，那么P到另一个焦点的距离是 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1，焦点在x轴上。（2）a=4,c=,焦点在y轴上。（3）a+b=10，c=2设计意图：分梯度设计题目，给学生提供一种合适水平的挑战与支持，从而使学生能巩固及自觉运用所学知识。（六）小结概括，深化认识组织学生共同反思本节课的教学内容，同学之间互相补充完成课堂小结，实现对椭圆的定义和两个标准方程的理解 设计意图：自我总结本节课的主要内容，不仅是对知识的反思和整理过程，而且能提高语言表达能力（七）布置作业，课后自查 教材P49中第1,2.题。七、教学反思本课的教学具有承上启下的作用，在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在椭圆定义的理解、标准方程的推导、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了椭圆的定义，标准方程的结构才能更好地应用求解问题。本课之前学生已学习曲线和方程，与本课推导标准方程紧密联系，使这节课有了较好的处理工具，因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，本课运用联系的观点，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。本节课教学设计比较好的地方是：首先未采用多媒体演示椭圆的形成过程而是采用让学生亲自动手尝试，这样学生的学习兴趣和思维调动起来了，这位本节课的内容开了个好头，学生在今后想起椭圆的定义的时候会有更深刻生动的印象；其次例1的设置对于我所带的班级很有必要，学生在本节课真正掌握了椭圆的三个基本量的关系和椭圆两个标准方程的形式特点，领悟到对于椭