Y2502答卷.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： Y2502 所属学校（请填写完整的全名）： 延安职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 屈亚鹏 2. 包 雷 3. 蒋 凤 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 高治源 日期： 2009 年 9 月 14 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 卫星、飞船全程测控摘 要为了全程跟踪测控卫星或飞船，我们需要在地球上合理地布局测控站点，我们通过分析面面关系和线面关系，通过解三角形的方法获得建立的测控站点的个数与卫星距离的高度的一个函数表达式，可以计算椭圆形和圆形两种轨道的测控站点的个数。我们特别关注了第2问题中经度的差异使飞船的运行区域呈现的各种情况,主要有线性区域，带形区域,全球面,以及不规则区域等,我们通过几何图形的巧妙合成研究了各种区域的圆形覆盖问题,进而来探索对应地球上应有多少个测控站，其中我们也作了许多转化，如球面覆盖转化为正多面体覆盖，球冠转化为小圆等，使得复杂的覆盖问题得以简单明了。我们将神舟七号的相关资料进行了相关计算，发现神舟七号的测控站并不能对其全程跟踪测控，覆盖范围较小。这也证明我们提出的数学模型对以后合理建设测控站点具有理论指导作用。关键词：运行轨道 测控站点 球面覆盖 线性区域 带形区域 全球面 一、 问题的重述卫星或飞船的发射成功，无论在航天、经济、政治、还是外交领域中，对于中国都具有里程碑的重大意义，其整个发射运行过程却是一个复杂体，每一个过程都很重要，它的运行轨道中无论是太空垃圾还是流星雨都将成为决定它是否成功的关键，只有尽可能大的测控到整个运行轨道，才能确保其安全、可靠的发射、运行，航天系统对其发射和运行过程进行测控是的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船进行全程跟踪测控。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。（1）首先考虑一个较简单的问题,在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？（2）其次, 测控站与运行轨道不共面的情况,即如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，这个差异会使飞船的运行区域呈现各种情况,问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？（3）收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，比如神州7号的例子,分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。二、模型的假设假设地球半径为其平均半径6371公里假设每个测控站均正常工作假设每个测控站所测控的范围相同假设地球的自转对经度差异影响不大三、符号说明 表示为圆轨道时，卫星运行轨道距离地面的高度 表示为椭圆轨道时，卫星运行轨道近地点距离地面的高度 表示为椭圆轨道时，卫星运行轨道远地点距离地面的高度 表示地球的半径 表示测控站的个数 表示测控范围所对应的圆心角 表示圆的周长 表示球冠的半径 表示比值常数 表示神舟七号的轨道离地球表面的高度 表示球面的半径 四、问题的分析我们首先考虑一个较简单的问题，在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？这个问题我们可以通过解三角形的方法计算圆心角与卫星高度的一个关系式,从而得到测控站点个数。不过我们知道当卫星发射时，运行轨道可以作匀速圆周运动, 也可以绕地球作椭圆轨道运动。我们可以分两种情况进行计算。在问题2中, 测控站与运行轨道不共面的情况，即如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，这个差异会使飞船的运行区域呈现各种情况，有带形区域，球面，不规则区域等,我们通过研究各种区域的圆形覆盖问题，来探索有多少个测控站，使得卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的。要对运行轨道进行全程测控，全球覆盖是行不通的，只能使覆盖率尽可能的高，可以将其理想化，用正多面体覆盖球体，使模型简单化，运算简单化；用正多面体覆盖球体，我们讨论了四种覆盖方法，正六面、线形分布、XCV曲面分布、带形分布，将其进行了分类讨论，最终求得至少需要的测控站的个数。我们可以通过查资料，获得如神舟七号载人飞船的一部分数据，将其分析求解，可得到测控站点的个数，用其除以全程监控所需要的测控站点的个数，就可以得到这些测控站点对其球体的覆盖率，数据越大，则表明其覆盖率越高，测控就更全面;反之，越低，测控面越少。五、模型的建立5.1共面线性轨道测控站点个数计算模型E FP PPP H SV B由于运行轨道可以作匀速圆周运动, 也可以绕地球作椭圆轨道运动。我们首先研究椭圆轨道运动.如下图在椭圆形运行轨道中离地面有一个近地点E和一个远地点F，分别以近地点距离公里和远地点距离公里为高度形成卫星的圆形运行轨道，计算出需要的测控站数量。然后再以卫星的近圆轨迹计算所需的测控站数量，其离地高度为公里。假设至少建立个测控站，每一个测控站的测控范围与运行轨道有一段相交弧,而弧则有对应的圆心角.用周角除以圆心角,就得到测控点的个数,这个数不一定是整数,所以取整加一,即: Q abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb c MPA A B O (1) 当近地点距离=200公里高度形成卫星的圆形运行轨道,如图 图（一）圆心角为,卫星的运行轨道半径 ，为地球半径。点为测控点，是过测控点做的切平线，和PQ与切平线夹角，因为其在3度的范围内测控不好，所以测控范围是与切平线夹角3度以上的空域。OP垂直于切平线。设PO边为a，PQ边为c，OQ边为b，设为,r=OP，由余弦定理得: , 可求出c边，用正弦定理:， 得POQ, 由反正弦得,则: .得: (2) 当远地点距离公里高度形成卫星的圆形运行轨道，如图 Q abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb c MPA A B O 圆心角为，卫星的运行轨道半径 ，r为地球半径。P点为测控点，AB是过测控点P做的切平线，MP和PQ与切平线夹角，因为其在3度的范围内测控不好，所以测控范围是与切平线夹角3度以上的空域。OP垂直于切平线。设PO边为a，PQ边为c，OQ边为b，设为,， r=OP,由余弦定理得: , 可求出c边,用正弦定理:, 得POQ, 由反正弦得, Q abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb c MPA A B O则: .得: (3) 当圆形轨道距地面距离公里高度形成卫星的圆形运行轨迹,如图 圆心角为,卫星的运行轨道半径R=MO=OQ， MO=OQ=r+,r为地球半径。P点为测控点，AB是过测控点P做的切平线，MP和PQ与切平线夹角，因为其在3度的范围内测控不好，所以测控范围是与切平线夹角3度以上的空域。OP垂直于切平线。设PO边为a，PQ边为c，OQ边为b，设为，PO=r，由余弦定理得： 可求出c边，用正弦定理:, 得POQ, 由反正弦得,则: .得: 对于模型二我们通过建立球面法想化测控站，来达到行区域全部覆盖最终达到全程测控的目的.5.2 覆盖球面各种区域的模型:图1球冠为了研究测控站与运行轨道不共面的情况,即如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，这个差异会使飞船的运行区域呈现各种情况,有带形区域,球面,不规则区域等,我们要研究多少个测控站,可先研究各种区域的圆形覆盖问题.我们把研究球面覆盖的问题，转化成圆面覆盖的问题，我们可用球冠的圆底面代替球冠. 设球面半径为，设球面上有一个小区域，在球面小区域上截取球冠，球冠高为，半径为，我们考虑如何用一些相同半径为的球冠正好覆盖球面，但是这是无法完成的，是有空隙的.为此,对于一个球面来说，我们用正多边形来代替球冠来研究覆盖问题，进而，球面覆盖转化为正多面体覆盖问题，例如正四、六、八、十二、二十面体的图形如下:正四面体 正六面体正八面体正十二面体 正二十面体例如正六面体，每个面是正方形的覆盖来进行研究，用相同的圆覆盖三种几何图形，要比较正三角形、正四边形、正五边形中心到顶点的距离，我们称为正多边形半径与圆形的半径的关系，如果，用一个圆覆盖一个正多边形，其中与，则用多个圆覆盖，如图 图2 正六面体外接球,然后通过研究用正多边形和圆的半径关系为m倍来划分正多边形，来进行覆盖。设球面，用正边形代替，用单位圆来覆盖，其中正多边形的半径为，设则球面可用N个小圆近似覆盖，即N=个小圆。5.2.1.如图BAOxy 图3 曲面图分布曲线法，求出最远距离，即直径为、,设为圆的直径画圆，如图； 图4 等份图我们将这个圆的外接正方形，可以用四个圆覆盖，用前面1的理论得，由于，将正方形各边等分, 得到个小正方形，然后，可将这个区域分为个小圆覆盖。5.2.2如图示 图5 网络图周长为，要在周围上分布若干个相互相切的小圆，小圆直径,设为大圆周长上内接正多边的弦长，则通过计算：,因此能够共线并相互相切圆，5.2.3带形区域的覆盖将环绕带可近视看成是一个长方形，则它的覆盖有两种情况，设他的长为,宽为,即为环形带的周长，为环形带的宽度，用半径为的单位圆进行覆盖，如图2.6；当时，长方形可用个小圆近似覆盖， 图6 链式图1如图 当时，图7 链式图2 5.3 卫星测控点建立的模型搜到有关神舟七号载人飞船的资料如下:神舟七号载人飞船将运行在高度约343公里的近圆轨道，总共飞行了76圈，轨道倾角42.379度的椭圆轨道上，共有十六个测控站。设飞船的运行轨道区域是一个带形，且运行轨道接近正弦曲线，但正弦曲线可以围成一个圆带，如图 飞船运行的近圆轨道的周长,飞船在太空的运行圈数比较少,并且由人们控制在同一个轨道上,可近似看作为一个线形轨道运行,则测控站对它的测控也是测控范围相切,如下图测控站范围的半径，直径为，把它的轨道拆开就是一条直线，所以测控站的个数N=+1。在中,由正弦定理得:六、模型的求解6.1 共面线性轨道测控站点个数计算模型求解由MP和PQ与切平线夹角为3度,得. 垂直于切平线, ,=.r=6371公里. 边， (1) 当距离地面高度=200公里高度时,由余弦定理 得： =(取正)由正弦定理 得: 解得： 所以=16(取整加一)(2) 当距离地面的高度为，由余弦定理 得： =(取正)由正弦定理 得: ，设共需个测控点(取整加一)(3) 当距离地面高度为，由余弦定理 得: =(取正)所以：由正弦定理 设共需个测控站： (取整加一)总上可得：当在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立16个测控站才能对其进行全程跟踪测控。6.2覆盖球面各种区域的模型求解本题是卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，我们考查到下面的几种情况：1、赤道与卫星轨道的夹角； 2、当赤道与卫星轨道的夹角；3、当赤道与卫星轨道的夹角，有两种情况（1）当；。则绕赤道旋转且在离地面高度为H的球面S上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？当时，线性轨道利用模型三求解，这里km，如图得，, 在ADC中利用正弦定理得： 球冠图2 （1）即；+1，选神舟七号飞船飞的近地点+1=7个2.当赤道与卫星运行轨道由于卫星与赤道差异的原因，卫星将形成一个完整球面区域，如图用正六面体覆盖计算的边长为 ，这个面得对角线为，即；选取神七的高度来进行研究，即m=1.9391 个 正六面体外接球23.1当赤道与卫星运行轨道利用模型2.4计算，如果时，如图2.4链式2 纬线图我们分割成不同的纬图，通过比较图2.4链式2计算过程比较复杂，所以简略，2.4链式1中，当飞船是较窄的带形区域，利用模型2.4及2.4链式1图的飞行的圈数较少，可以近视的看进行计算 例如;神舟七号飞船半径为,，由飞船的飞行数据；=76圈，查资料知飞船五圈后又飞回到原来位置，即 个ADO1CB 环带图6.3卫星测控点建立的模型的求解代入数值得5.3中r=180