高考数学一轮复习 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 文 新人教A版.ppt

第三章三角函数 解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 角的有关概念 正角 负角 零角 象限角 k 360 k 2 2 弧度的概念 1弧度的角 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 角 的弧度数公式 角度与弧度的换算 360 rad 1 rad 1rad 57 18 半径长 2 3 任意角的三角函数 定义 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p x y 则sin cos tan y x 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在x轴上 余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是 1 0 如图中有向线段mp om at分别叫做角 的 和 正弦线 余弦线 正切线 4 终边相同的角的三角函数 sin k 2 cos k 2 tan k 2 其中k z 即终边相同的角的同一三角函数的值相等 5 扇形的弧长与面积公式 扇形的弧长l 扇形的面积s sin cos tan r 2 必备结论教材提炼记一记 1 象限角与轴线角 象限角 轴线角 2 任意角三角函数的定义 设p x y 是角 终边上异于顶点的任一点 其到原点o的距离为r 则sin cos tan 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 数形结合法 2 数学思想 分类讨论 数形结合 3 记忆口诀 各象限角三角函数值符号的记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 顺时针旋转得到的角是正角 2 钝角是第二象限的角 3 若两个角的终边相同 则这两个角相等 4 1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角 5 终边在y轴上的角的正切值不存在 解析 1 错误 顺时针旋转得到的角是负角 2 正确 钝角的范围是 显然是第二象限的角 3 错误 角180 的终边与角 180 的终边相同 显然它们不相同 4 错误 1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角 5 正确 终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为 0 1 0 1 由三角函数的定义知 角的正切值不存在 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4p10t10改编 单位圆中 200 的圆心角所对的弧长为 a 10 b 9 c d 解析 选d 单位圆的半径r 1 200 的弧度数是200 由弧度数的定义得 所以l 2 必修4p15t6改编 若角 满足tan 0 sin 0知 是一 三象限角 由sin 0知 是三 四象限角 故 是第三象限角 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 兰州模拟 下列各角与终边相同的角是 解析 选d 与终边相同的角可以写成 k 2 k z 当k 1时 为 2 2015 石家庄模拟 已知角 的终边在直线y x上 且cos 0 则tan 解析 选d 如图 由题意知 角 的终边在第二象限 在其上任取一点p x y 则y x 由三角函数的定义得tan 1 3 2014 新课标全国卷 若tan 0 则 a sin 0b cos 0c sin2 0d cos2 0 解析 选c 由tan 0可得 k 0 考点1象限角及终边相同的角 典例1 1 终边在直线y x上 且在 2 2 内的角 的集合为 2 如果 是第三象限的角 试确定 2 的终边所在位置 解题提示 1 数形结合 先写出 0 2 内的角 再写出 2 0 内的角 最后写出集合 2 由 的范围写出 与2 的范围 再由终边相同角的关系判断 规范解答 1 如图 在坐标系中画出直线y x 可以发现它与x轴的夹角是 在 0 2 内 终边在直线y x上的角有两个 在 2 0 内满足条件的角有两个 故满足条件的角 构成的集合为答案 2 由 是第三象限的角得所以即所以角 的终边在第二象限 由 2k 2k k z 得2 4k 2 3 4k k z 所以角2 的终边在第一 二象限及y轴的非负半轴 易错警示 解答本例题 2 有两点容易出错 1 由 的象限表达式得到 的不等式时 不能正确地运用不等式的性质化为终边相同的角的形式 导致判断出错 2 由 的象限表达式得到2 的表达式后 容易漏掉y轴的非负半轴这一情况 导致不全而判断失误 互动探究 在本例题 2 的条件下 判断的终边所在的位置 解析 因为 2k 2k k z 所以当k 3n n z 时 当k 3n 1 n z 时 当k 3n 2 n z 时 所以的终边在第一 三 四象限 规律方法 1 终边在某直线上角的求法步骤 1 数形结合 在平面直角坐标系中画出该直线 2 按逆时针方向写出 0 2 内的角 3 再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合 4 求并集化简集合 2 确定k k n 的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角 的范围 再写出k 或的范围 然后根据k的可能取值讨论确定k 或的终边所在位置 变式训练 设角 是第二象限的角 且则角属于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选c 因为 是第二象限角 所以90 k 360 180 k 360 k z 45 k 180 90 k 180 k z 当k是偶数时 是第一象限角 当k是奇数时 是第三象限角 又由 cos cos得是第三象限角 加固训练 1 2015 济南模拟 若 k 360 m 360 k m z 则角 与 的终边的位置关系是 a 重合b 关于原点对称c 关于x轴对称d 关于y轴对称 解析 选c 显然角 与角 的终边相同 角 与角 的终边相同 而 与 的终边关于x轴对称 故选c 2 如图所示 则终边在图中所示直线上的角的集合为 解析 由题干图易知 在0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 即135 和315 因此 终边在直线y x上的角的集合为s 135 k 360 k z 315 k 360 k z 135 n 180 n z 答案 135 n 180 n z 考点2弧度制及扇形面积公式的应用 典例2 1 时间经过8小时 钟表中时针转过的角的弧度数为 2 已知扇形的圆心角是 半径是r 弧长为l 若 100 r 2 求扇形的面积 若扇形的周长为20 求扇形面积的最大值 并求此时扇形圆心角的弧度数 解题提示 1 明确时针旋转的方向是解题的关键 2 先把角度数化成弧度数 再利用扇形的面积公式求解 利用扇形的面积公式建立函数关系 利用函数的最值求解 规范解答 1 时针是顺时针方向旋转的 所以经过8小时 时针转过的角度数为 360 240 其弧度数为答案 2 100 100 所以l 2 故s扇 lr 由题意 得l 2r 20 l 20 2r 所以s扇 lr 20 2r r r2 10r r 5 2 25 所以 当r 5时 s扇最大 25 此时扇形圆心角的弧度数为 规律方法 弧度制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略 1 明确弧度制下弧长公式l r 扇形的面积公式是s lr 其中l是扇形的弧长 是扇形的圆心角 2 求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角 半径 弧长三个量中的任意两个量 变式训练 2015 太原模拟 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2 那么这个圆心角所对的弧长是 a 2b sin2c d 2sin1 解析 选c 如图 aob 2弧度 过o点作oc ab于c 并延长oc交弧ab于d 则 aod bod 1弧度 且ac ab 1 在rt aoc中 ao 即从而弧ab的长为l r 加固训练 1 已知扇形的周长是6 面积是2 则扇形的圆心角的弧度数是 a 1b 4c 1或4d 2或4 解析 选c 设此扇形的半径为r 弧长为l 则解得或从而或 2 已知半径为10的圆o中 弦ab的长为10 1 求弦ab所对的圆心角 的大小 2 求 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积s 解析 1 在 aob中 ab oa ob 10 所以 aob为等边三角形 因此弦ab所对的圆心角 2 由扇形的弧长与扇形面积公式 得l r 10 s扇形 r l 又s aob oa ob sin 所以弓形的面积s s扇形 s aob 考点3三角函数的定义及其应用知 考情任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义属于理解内容 在高考中以选择题 填空题的形式出现 考查利用定义求三角函数值或已知角求点的坐标等问题 明 角度命题角度1 利用三角函数的定义求三角函数值 典例3 2015 广州模拟 若角 的终边经过点p m m 0 且sin 则cos 的值为 解题提示 由三角函数的定义及sin 列方程求m 再求cos 规范解答 由题意得 r 所以因为m 0 所以当m 时 点p的坐标为 所以当m 时 点p的坐标为 所以答案 命题角度2 利用三角函数的定义求点的坐标 典例4 2015 临沂模拟 顶点在原点 始边在x轴的正半轴上的角 的终边与圆心在原点的单位圆交于a b两点 若 30 60 则弦ab的长为 解题提示 根据三角函数的定义求a b两点的坐标 由两点间的距离公式求解 规范解答 由三角函数的定义得a cos30 sin30 b cos60 sin60 即所以 ab 答案 悟 技法三角函数定义的应用方法 1 已知角 终边上一点p的坐标 可求角 的三角函数值 先求p到原点的距离 再用三角函数的定义求解 2 已知角 的某三角函数值 可求角 终边上一点p的坐标中的参数值 可根据定义中的两个量列方程求参数值 3 已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小 根据三角函数的定义可求角 终边上某特定点的坐标 通 一类1 2015 青岛模拟 已知角 的终边与单位圆的交点p y 则sin tan 解析 选c 由 op 2 得当y 时 sin tan 此时 sin tan 当y 时 sin tan 此时 sin tan 2 2015 铜川模拟 已知角 的始边与x轴的正半轴重合 顶点在坐标原点 角 终边上的一点p到原点的距离为 若 则点p的坐标为 a 1 b 1 c d 1 1 解析 选d 设点p的坐标为 x y 则由三角函数的定义得即故点p的坐标为 1 1 3 2015 合肥模拟 已知角 的顶点与原点重合 始边与x轴的正半轴重合 终边在直线y 2x上 则cos2 解析 选b 由题意知 tan 2 即sin 2cos 将其代入sin2 cos2 1中可得cos2 故cos2 2cos2 1 自我纠错7利用定义求三角函数值 典例 2015 杭州模拟 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 则5sin 5cos 4tan 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 解题过程错在求r时开方没加绝对值 误以为t 0而导致漏解 规避策略 1 准确利用三角函数的定义利用定义来求任意角的三角函数 关键是求出角的终边上点p的横 纵坐标及点p到原点的距离 再利用定义求解 2 区