高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第八章 第三节 圆的方程课件 文.ppt

第三节圆的方程 1 圆的定义 方程 定点 定长 a b d2 e2 4f 0 2 点与圆的位置关系 1 确定方法 比较 与 的距离与半径的大小关系 2 三种关系 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 点在圆上 点在圆外 点在圆内 点 圆心 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 方程 x a 2 y b 2 t2 t r 表示圆心为 a b 半径为t的一个圆 3 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆心为半径为的圆 4 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 5 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则x02 y02 dx0 ey0 f 0 解析 1 正确 圆由其圆心和半径两个要素就确定了 2 错误 当t 0时 方程表示圆心为 a b 半径为 t 的圆 3 错误 当a2 2a 2 4 2a2 a 1 0即 2 a 时才表示圆 4 正确 因为a c 0 b 0 d2 e2 4af 0得方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆 反之也成立 5 正确 因为点m x0 y0 在圆外 所以即x02 y02 dx0 ey0 f 0 答案 1 2 3 4 5 1 圆心为点 0 1 半径为2的圆的标准方程为 a x 1 2 y2 4 b x2 y 1 2 2 c x2 y 1 2 4 d x 1 2 y2 2 解析 选c 由已知得圆的标准方程为 x 0 2 y 1 2 22 即x2 y 1 2 4 2 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标和半径分别是 a 2 3 13 b 2 3 13 c 2 3 d 2 3 解析 选d 由x2 y2 4x 6y 0得 x 2 2 y 3 2 13 故圆心坐标为 2 3 半径为 3 若点 2 3 在圆c x 1 2 y 2 2 r2外 则 解析 选d 由已知得即且r 0 4 方程x2 y2 4mx 2y 5m 0表示圆的充要条件是 解析 选d 由已知得充要条件为 4m 2 2 2 4 5m 0 即4m2 5m 1 0 解得 5 已知点a 1 2 在圆 x2 y2 ax 2y b 0上 且点a关于直线x y 0的对称点b也在圆上 则a b 解析 方法一 点a 1 2 关于直线x y 0的对称点为b 2 1 又因为a b两点都在圆上 方法二 易知圆心在y x上 即a 2 又 点a 1 2 在圆x2 y2 2x 2y b 0上 12 22 2 1 2 2 b 0 b 1 答案 21 考向1确定圆的方程 典例1 1 2013 南昌模拟 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 a x 2 2 y 2 2 1 b x 2 2 y 2 2 1 c x 2 2 y 2 2 1 d x 2 2 y 2 2 1 2 2013 巢湖模拟 过点a 6 0 b 1 5 且圆心c在直线l 2x 7y 8 0上的圆的方程为 3 已知a 0 1 b 2 1 c 3 4 d 1 2 问这四点能否在同一个圆上 为什么 思路点拨 1 先求出圆c1圆心 1 1 关于直线x y 1 0的对称点圆c2的圆心的坐标 半径不变 即可求出圆的方程 2 可根据圆的圆心在弦ab的垂直平分线上 先由直线l的方程与弦ab的垂直平分线的方程求其圆心c的坐标 再求圆的半径r ac 从而求得圆的方程 也可用待定系数法 设出圆的标准方程或一般方程 依据已知条件构建关于a b r或d e f的方程组求解 3 先求过a b c三点的圆的方程 再验证点d与圆的位置关系即可 规范解答 1 选b 设圆c1圆心 1 1 关于直线x y 1 0的对称点为c2 x1 y1 又由对称性知圆c2的半径与圆c1的半径相等 所以r2 1 故圆c2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 2 方法一 a 6 0 b 1 5 线段ab的中点坐标为 ab垂直平分线方程为即x y 1 0 由方程组得圆心c的坐标为 3 2 又半径r ac 所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 13 方法二 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由已知 得 所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 13 方法三 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 解得 d 6 e 4 f 0 所求圆的方程为x2 y2 6x 4y 0 即 x 3 2 y 2 2 13 答案 x 3 2 y 2 2 13 3 设经过a b c三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 故经过a b c三点的圆的方程为x2 y2 2x 6y 5 0 即 x 1 2 y 3 2 5 把点d的坐标 1 2 代入上面方程的左边 得 1 1 2 2 3 2 5 所以点d在经过a b c三点的圆上 故a b c d四点在同一个圆上 互动探究 本例题 2 中条件变为 经过点a 6 0 且与直线l 2x 3y 13 0相切于点b 1 5 的圆 结果如何 解析 依题设可知 圆心在过切点b 1 5 且与l垂直的直线上 其斜率为所以方程为即3x 2y 13 0 又圆心在ab的垂直平分线x y 1 0上 半径因此所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 13 拓展提升 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 变式备选 求圆心在直线y 4x上 并且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 的圆的方程 解析 方法一 设圆心c a 4a 由题意得 即a2 2a 1 0 解得a 1 圆心c 1 4 r pc 圆的标准方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二 过切点p且与l垂直的直线是y 2 x 3 即x y 5 0 于是 圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 考向2与圆有关的最值问题 典例2 1 2013 宝鸡模拟 在圆x2 y2 2x 6y 0内 过点e 0 1 的最长弦和最短弦分别为ac和bd 则四边形abcd的面积为 2 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求的最大值和最小值 求y x的最大值和最小值 求x2 y2的最大值和最小值 思路点拨 1 由图形的几何性质判断并求得最长弦ac和最短弦bd是关键 2 充分利用所求代数式的几何意义 运用几何法求解 为点 x y 与原点连线的斜率 y x表示动直线y x b在y轴上的截距 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 也可以消去一个元 转化为在函数定义域内求最值 规范解答 1 选b 由题意可知 圆的圆心坐标是 1 3 半径是且点e 0 1 位于该圆内 由图形的几何性质得 过点e 0 1 的最短弦是以该点为中点的弦 最短弦长而过e 0 1 的最长弦长等于该圆的直径 即且ac bd 2 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心为半径的圆的几何意义为点 x y 与原点连线的斜率 所以设即y kx 当直线与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时解得所以的最大值为最小值为 y x可看作直线y x b在y轴上的截距 当直线与圆相切时 直线y x b在y轴上的截距取最大值或最小值 此时解得所以y x的最大值为最小值为 方法一 x2 y2表示点 x y 与原点的距离的平方 由平面几何知识可知 原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值 又圆心到原点的距离为2 故 x2 y2 max x2 y2 min 方法二 由x2 y2 4x 1 0得 y2 x2 4x 1 且 x2 4x 1 0 即 x2 y2 x2 x2 4x 1 4x 1 x2 y2 max x2 y2 min 拓展提升 1 与圆有关的长度或距离最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点有关代数式的最值问题的常见类型及解法 1 形如型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 2 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点的距离平方的最值问题 变式训练 在 oab中 已知o 0 0 a 8 0 b 0 6 oab的内切圆的方程为 x 2 2 y 2 2 4 p是圆上一点 1 求点p到直线l 4x 3y 11 0的距离的最大值和最小值 2 若s po 2 pa 2 pb 2 求s的最大值和最小值 解析 1 由方程 x 2 2 y 2 2 4得该圆圆心坐标为 2 2 半径为2 故圆心 2 2 到直线l的距离为由图形的几何性质得 点p到直线l的最大值为5 2 7 最小值为5 2 3 2 设p x y 则 y 2 2 4 x 2 2 x2 4x且 x2 4x 0 即0 x 4 s po 2 pa 2 pb 2 x2 y2 x 8 2 y2 x2 y 6 2 3x2 16x 88 3 y 2 2 3x2 16x 88 3 x2 4x 4x 88 又x 0 4 smax 4 0 88 88 smin 4 4 88 72 考向3与圆有关的轨迹问题 典例3 2013 安庆模拟 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 1 求ab中点r的轨迹 2 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 思路点拨 1 寻找到点r满足的等量关系 利用直接法求出r的轨迹方程 再根据方程判定其轨迹 2 利用点q与r的关系 结合相关点法 代入法 求其轨迹方程 规范解答 1 如图所示 在rt abp中 apb 90 r是弦ab的中点 ar pr 设r x y 有 整理得x2 y2 4x 10 0 即 x 2 2 y2 14 所以轨迹为以 2 0 为圆心为半径的圆 2 设q x y r x1 y1 四边形apbq为矩形 r是pq的中点 又点r x1 y1 在圆x2 y2 4x 10 0上 有整理得x2 y2 56 即矩形apbq的顶点q的轨迹方程为x2 y2 56 拓展提升 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 提醒 注意轨迹与轨迹方程的区别 变式训练 已知圆c x 1 2 y 1 2 9 过点a 2 3 作圆c的任意弦 求这些弦的中点p的轨迹方程 解析 方法一 直接法设p x y 由题意知圆心c p点是过点a的弦的中点 又 2 x 3 y 1 x 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 0 p点的轨迹方程为 方法二 定义法由已知得 pa pc 由圆的性质知点p在以ac为直径的圆上 又圆心c 1 1 而ac中点为所以半径为所求动点p的轨迹方程为 满分指导 解答与圆的方程有关的综合题 典例 12分 2013 萍乡模拟 已知以点c t r t 0 为圆心的圆与x轴交于点o a 与y轴交于点o b 其中o为原点 1 求证 oab的面积为定值 2 设直线y 2x 4与圆c交于点m n 若 om on 求圆c的方程 思路点拨 规范解答 1 圆c过原点o 设圆c的方程是 2分令x 0 得y1 0 3分令y 0 得x1 0 x2 2t oa 2t 4分 s oab 即 oab的面积为定值 6分 2 om on cm cn oc垂直平分线段mn 8分 kmn 2 直线oc的方程是解得t 2或t 2 9分当t 2时 圆心c的坐标为 2 1 此时c到直线y 2x 4的距离圆c与直线y 2x 4相交于两点 10分 当t 2时 圆心c的坐标为 2 1 此时c到直线y 2x 4的距离圆c与直线y 2x 4不相交 t 2不符合题意 舍去 11分 圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 5 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 宜春模拟 已知圆的方程为x2 y2 2x 6y 8 0 那么下列直线中经过圆心的直线方程为 a 2x y 1 0 b 2x y 1 0 c 2x y 1 0 d 2x y 1 0 解析 选b 圆的方程x2 y2 2x 6y 8 0可化为 x 1 2 y 3 2 2 得其圆心为 1 3 经检验知 b符合要求 2 2013 合肥模拟 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程为 a x2 y 2 2 1 b x2 y 2 2 1 c x 1 2 y 3 2 1 d x2 y 3 2 1 解析 选a 设圆心坐标为 0 b 则由题意知解得b 2 故圆的方程为x2 y 2 2 1 3 2013 铜川模拟 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积等于 a b 4 c 8 d 9 解析 选b