高考数学一轮复习专题10.7椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系练习（含解析）.docx

第七讲 椭圆双曲线抛物线与直线的位置关系【套路秘籍】-千里之行始于足下判断直线与圆锥曲线的位置方法1.方法一：代数法（常用）代数法求位置关系的基本思路联立直线方程与圆锥曲线方程，消y（或消x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元方程ax2bxc0（或ay2byc0）当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的根的判别式为，则当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数3.方法三：数形结合运用（小题）（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 直线与椭圆的位置关系【例1】已知直线，椭圆C：试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不重合的公共点；（2）有且只有一个公共点；（3）没有公共点【答案】见解析【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组得 ，判别式（1）当，即时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点（2）当，即时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点（3）当，即或时，方程没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点【举一反三】1已知直线l过点(0,-1)，椭圆C：x225+y236=1，则直线l与椭圆C的交点个数为 。【答案】2【解析】点0,-1在椭圆C：x225+y236=1的内部，而直线l过点0,-1，直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C2设直线l：y2x2，若l与椭圆x2+y24=1 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为2-1 的点P的个数为 。【答案】3【解析】由直线l的方程与椭圆x2+y24=1的方程组成方程组y=2x+2x2+y24=1，解得x=0y=2或x=-1y=0，则A（0，2），B（1，0），AB=(0+1)2+(2-0)2=5，PAB的面积为21，AB边上的高为h=2-1125=2(2-1)5设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+b24=1，P到直线y=2x+2的距离d=|2a-b+2|5=2(2-1)5，即2ab=224或2ab=22；联立得：2a-b=22-4a2+b24=1或2a-b=-22a2+b24=1，中的b消去得：2a22（22）a+542=0，=4（22）242（542）0，a有两个不相等的根，满足题意的P的坐标有2个；由消去b得：2a2+22a+1=0，=（22）2421=0，a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个综上，使PAB面积为21的点P的个数为33 直线yxm与椭圆x24+y2=1有两个不同的交点，则m的范围是 。【答案】5m5【解析】由y=x+mx24+y2=1，得5x2+8mx+4m24=0，结合题意=64m220（4m24）0，解得：5m5，考向二 直线与双曲线的位置关系【例2】已知直线与双曲线当k为何值时，直线与双曲线：（1） 有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点【答案】见解析【解析】由当4-k2=0,，方程无解当当当当综合上述：当-2k05k2-10,-1k0，即k1时，l与C相交，(3)当1时，l与C相离若k0，直线l方程为y1，显然与抛物线C交于.综上所述，当k1时，l与C相切；当k1时，l与C相离【举一反三】1已知直线y(a1)x1与曲线y2ax只有一个公共点，求实数a的值【答案】a0或a1或a45【解析】由题意可得方程组y=a+1x-1y2=ax，（1）当a0时，方程组化为y=x-1y2=0，解得x=1y=0，所以直线与曲线只有一个交点(1,0)（2）当a0时，消去x并整理得(a1)y2aya0.(*)当a10，即a1时，方程化为y10，方程组的解为x=-1y=-1，方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个交点当a10，即a1时，在方程(*)中，由(a)24a(a1)0，得a=-45，此时方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，且为切点综上所述，当a0或a1或a=-45时，直线与曲线y2ax只有一个公共点2已知抛物线C:y2=x，直线l:x=my+1，则“m0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得y2-my-1=0,所以=m2+40，所以mR,因为“m0”是“mR”的充分非必要条件，所以“m0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1直线x-2y-3=0与椭圆x2+2y2=3的公共点个数是 。【答案】1【解析】由题得y=12x-32，代入椭圆方程得x2-2x+1=0,=22-4=0，所以直线和椭圆的交点的个数为1。2若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆x29y241的公共点个数为 .【答案】2【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22，所以a2+b24，所以点P（a，b）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点椭圆的长半轴 3，短半轴为 2圆x2+y2=4内切于椭圆点P是椭圆内的点过点P（a，b）的一条直线与椭圆的公共点数为23已知椭圆C：x24+y23=1 ，直线l：x+my-m=0（mR），l与C的公共点个数为 .【答案】2【解析】因为直线：x+my-m=0恒过（0,1），而将（0,1）代入椭圆方程得：1334；当直线l斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k0方程有两个不相等的实数根，即P点有两个；ii) 当-y2-3y+632+42=y24+1即9y2-12y+44=0时，0）与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2FM=MN，则k等于_【答案】3【解析】如图所示，k0，设直线l的倾斜角为，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离MQ=MF，故sin(2-)=MQMN=MFMN=12，cos=12，则=3，则k=tan3=311已知抛物线C：y2=4x，过焦点F作倾斜角为60的直线交抛物线C于A，B两点，且AFBF，则AFBF=_.【答案】3【解析】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（p2，0），直线l倾斜角为60，直线l的方程为：y0=3（x-p2）设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），|AF|x1+p2，|BF|x2+p2，联立方程组，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得x1=3p2，x2=p6，|AF|x1+p2=2p，|BF|x2+p2=2p3，|AF|：|BF|3：1，|AF|BF|的值为3故答案为：312已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；【答案】（1）x23-y2=1；（2）33k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得：(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当kb0)的左焦点，离心率为22，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为2(1)求该椭圆方程；(2)设直线l同时与椭圆和抛物线y2=4x各恰有一个公共交点，求直线l的方程【答案】（1）x22+y2=1；（2）y=22x+2或y=-22x-2或y=1【解析】(1)由e=ca=22，得a2=2b2，方程椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中，令x=c，可得y=b2a即2b2a=2，得a=2，b=1，得椭圆方程x22+y2=1；(2)显然直线l存在斜率，设其方程为y=kx+m，x2+2y2=2y=kx+m，整理得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，由=0，化简得：m2-2k2-1=0，y=kx+m代入抛物线C2：y2=4x，得到k4y2-y+m=0，k=0时，y=mk0时=0，化简得：km-1=0，当km=1m2=2k2+1k=22m=2，k=-22m=-2当k=0时，m=1直线的方程为y=22x+2或y=-22x-2或y=115在直角坐标系中椭圆C：y2a2+x2b2=1ab0 经过A（3，0），B（0，2）两点（1）求椭圆C的方程（2）过原点O的直线与线段AB交于点D，与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值【答案】（1）x24+y23=1；（2）26【解析】（1）由题可知a=2,b=3，所以椭圆方程是y24+x23=1 .（2）因为直线EF过原点，所以E，F关于原点对称，S四边形AEBF=SAOF+SBOF+SBOE+SAOE=2SAOE+2SBOE=2SAOB+SABEAB直线方程x3+y2=1 与AB平行的直线l得方程x3+y2=m，m0 ，即2x+3y-23m=0由2x+3y-23m=0x24+y23=1 联立得y2-2my+2m2-2=0由=4m2-42m2-2=0 可得m=2所以AB到直线l的距离d=232-17所以SABE的最大值是127232-17=32-1=6-3而SAOB=1232=3S四边形AEBF的最大值是26-3+3=26 .16已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点（1，32），且焦距为23（1）求椭圆C方程；（2）椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F2AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程【答案】（1）x24+y2=1；（2）x+2y-3=0，x-2y-3=0【解析】（1）由已知可得1a2+34b2=1a2-b2=3，解得a2=4，b2=1，椭圆C方程为x24+y2=1，（2）由题中左、右焦点易知F1（-3，0），F2（-3，0），若直线l的倾斜角为0，显然F，A，B三点不构成三角形，故直线l的倾斜角不为0，可设直线l的方程为x=my+3，由x=my+3x24+y2=1，消x可得（m2+4）y2+23my-1=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2= -23mm2+4，y1y2= -1m2+4|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y212m2(m2+4)+4m2+4=4m2+1m2+4F2AB的面积S=12|F1F2|y1-y2|=43m2+1m2+4=43m2+1m2+1+3=431m2+1+3m2+14312m2+13m2+1=2当且仅当m2+1=3，即m=2时，等号成立，S取得最大值2，此时直线l的方程为x+2y-3=0，或x-2y-3=017已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，且经过点M(3,12)（）求椭圆C的方程；（）与x轴不垂直的直线l经过N(0,2)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围【答案】（）x24+y2=1（）(-,-62)(62,+)【解析】（）由题意可得3a2+14b2=1a2=b2+c2ca=32，解得a=2，b=1，椭圆C的方程为x24+y2=1（）设直线l的方程为y=kx+2，代入