高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.4 函数的应用（Ⅱ）学习导航学案 新人教B版必修1.doc

3.4 函数的应用()自主整理1.指数函数型增长的函数模型指数函数y=ax(a1)经复合可得到的指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型.指数型增长随底数不同而不同.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.2.对数函数型增长的函数模型对数函数y=logax(a1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢.如经济学家马尔萨斯提出的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年增长率.到了很多年以后，人口增长的就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幂函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了.3.幂函数型增长的函数模型幂函数y=xn(n0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快.例如球的体积v随半径r的增大而变化的关系就是幂函数的关系，体积是半径的函数v=r3.随着x的增大，若y=xn(n0)比起y=ax(a1)增长速度来，是后者增长得快.高手笔记1.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果基础量为a，平均增长率为r，则对于时间x的总量ya（1r）x，解决平均增长率的问题，可用此公式建立函数式.2.在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.3.由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一.4.数据拟合模型是指根据试题所给出的一组相关数据，根据数据所呈现的特点选择比较适当的函数来近似地模拟所给数据之间的对应关系，这种模拟是粗略的,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给的数据描出其在坐标系中的散点图，从图象上观察并选择适当的函数，最后还需要检验.名师解惑1.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？剖析：一般地,对于指数函数 y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现，在区间（0,）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0,当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，在区间（0,）上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时,就会有logax1)、y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn5，因此该模型不符合要求.对于模型y=1.002x，利用计算器可知，1.0028065.005，由于y=1.002x是增函数，故当x(806,1 000时，y5，因此，也不符合题意.对于模型y=log7x+1，它在区间10,1 000上单调递增，且当x=1 000时，y=log71 000+14.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x10,1 000时，利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象，由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)f(10)-0.316 70，即log7x+10.25x.所以当x10,1 000时，y0.25x.这说明，按模型y=log7x+1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求.绿色通道从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数幂爆炸等不同函数类型增大的含义.变式训练4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表：x051015202530y151305051 1302 0053 1304 505y2594.4781 785.233 7336.371051.21072.28108y35305580105130155y452.310 71.429 51.140 71.046 11.015 11.005关于x呈指数型函数变化的变量是_.解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格可以看出，四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1,y2,y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案：y25.李先生打算将1万元存入银行,现银行提供两种计息方式:一是单利,即只有本金生息,利息不再产生利息,年利率为4%;二是复利,即头年所生的利息第二年也开始计息,年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分),问小李应选用哪种计息方式?(可以利用计算器)分析:列表格表示分别按复利和单利存款不同年数的本息，观察表格即可.解：按单利计息,则第n年的本息为10 000(1+n0.80.04)=10 000(1+0.032n);按复利计息,则第n年的本息为10 000(1+3.6%0.8)n,利用计算器列表，如下表所示：年数1234567891011单利10320106401096011280116001