小学数学竞赛名师指导(下册).doc

小学数学竞赛名师指导（下册）二十九 观察与猜想在很久很久以前，交通不便，信息闭塞，人们所能观察到的范围比较小，就以为地球是平的后来，进一步观察到了一些自然现象，比如太阳每天早上从东边升起，晚上又从西边落下等，人们不再认为地球是平的，猜想地球是圆形的，科学的发展证明了这个猜想是正确的细心地观察、大胆地猜想、严格地求证，是人类认识自然、发展科学的重要手段问题291观察下面的几个算式，你发现了什么规律？ 1214，123219，123432116，12345432125利用上面的规律，你能不能迅速计算出：1239910099321？分析粗略地看，上述每个等式左边各数的排列都是关于中间一个数对称的，中间这个数处在特殊的位置再看看等式右边，发现等式左边中间的数与右边的数关系为：第一行左边中间的数是2，224；第二行左边中间的数是3，339；第三行左边中间的数是4，4416；第四行左边中间的数是5，5525这说明，每个等式右边的数恰为等式左边中间项的数字的平方由于12991009921的中间数字为100，所以它的值等于10010010000本书已介绍过高斯的故事，用高斯求和的方法可以证明等式12991009921100100的正确性问题292 下面一列数是按一定的规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，（1）第12个数是（）；（2）912是第（）个数分析我们来观察一下，看前面几个数有什么共同点3313（301），12343（311），21373（321），303103（331），393133（341），这些依次排列的数的构成是很有规律的，归纳一下就有下面的结论：第几个数33（这个数1）1有了这个结论再来回答所提出的问题就不难了（1）第12个数33（121）1102；（2）设912是第x个数，依题意列方程33（x1）1912，解方程得x102所以，912是第102个数上面两例的解答告诉我们：（1）观察要按一定的顺序有条理地进行；（2）观察的目的就是要找出一组物体的组成规律或差异问题293观察分析下面这串分数的变化规律：（2）第400个分数是几分之几？问题294 一张圆形大饼在它的外面切了10刀，得一个十边形（图291），问这个十边形的内角和为多少？分析（1）为了知道十边形的内角和是多少，我们先来看看一些简单的多边形的内角和是多少：图29-1三角形的内角和是180（图292（a）；四边形内角和是两个三角形的内角和的总和，等于360（图292（b）；五边形内角和是三个三角形的内角和的总和，等于540（图 292（C）（2）猜想：十边形的内角和是8个三角形内角和的总和，等于18081440（3）验证：如图293，我们把十边形的一个顶点A与不和这个顶点相邻的每个顶点连起来，就得到8个拼在一起的三角形，这八个三角形的内角和加在一起就是十边形的内角和还有另一种方法可以达到验证的目的，如图294，在十边形内任取一点P，将P点与十边形的每个顶点相连得到10个三角形，这10个三角形的内角和的总和减去一个周角就是十边形的内角和在这里，我们用三角形的内角和解决了计算十边形内角和的问题，可见简单的东西多么重要问题295今天是小泉的生日，张老师买来一个大蛋糕，对全班56个同学说：“我们来庆祝小泉的生日，每人吃一块蛋糕现在要将蛋糕分成56块，你们说至少要切几刀？”分析（1）我们先来观察一下切最初几刀的情形由于要求切的刀数最少，所以每一刀所切出的块数要最多如图295：切1刀，最多切成2块；切2刀，最多切成4块；切3刀，最多切成7块；切4刀，最多切成11块（2）列表如下：（3）寻找规律：112，224，437，7411 这似乎告诉我们，切第几刀得到的块数等于切这刀前已切出的块数加上这一刀的刀数果真是这样吗？（4）猜想：这个猜想和歌德巴赫猜想一样，是需要证明的，但我们还做不到现仅验证切5刀时猜想成立由图296可以看出，切5刀可切出16块后，剩下的铁丝是原来的几分之几？练习291观察图297的图形变化规律，在右边再补上二幅，使它们成为一个完整的系列图29-72图298是一串完整的珠子，珠子有白有黑，是按照一定的规律穿成的现在有部分珠子被压在盒子里，请你先找找珠子的排列规律，然后回答下面的三个问题：图29-8（1）盒内有几颗珠子？（2）这串珠子一共有多少颗？（3）黑珠子有多少颗？3把一张等腰直角三角形的纸片沿底边上的高对折，然后再将所得到的新的等腰直角三角形沿底边上的高对折，这样折10次最多能折出多少个大小相等的等腰直角三角形？4从1到1001的所有自然数按下表格式排列，用1个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1） 1986；（2）2529；（3）1989问能否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数5如图 299：方纸内画一个圆，可以把纸面分成内外两个区域图（1）；画两个圆，最多可以把纸面分成4个区域图（2）；画三个圆，最多可以把纸画分成8个区域图（3）如果画20个圆，最多可把纸面分成多少个区域？三十 简单推理智慧老人在城外碰到了两个小男孩，便想考一考他们老人对两个孩子说：“我这里有两顶白帽子，一顶红帽子你们先将眼睛闭上，我给你们各戴一顶帽子，你们再睁开眼睛告诉我，你们各自头上戴的帽子是什么颜色”一切停当那个看得出来是一个锦衣玉食、神采飞扬的官家子弟盯着对方的头上一下傻了眼，口中不住念道“两顶白帽子，一顶红帽子两顶”而那个面目清秀、腼腆朴实的孩子看了一眼对方的神态便脱口而出：“我戴的是白帽子！”智慧老人赞许地对这个孩子点了点头你们说为什么？那个说对了帽子的孩子是这样考虑的：官家子弟看见我头上的帽子后拿不定主意，他一定以为除了我头上的帽子外，他的头上戴的帽子是红是白都有可能，而智慧老人的帽子是二白一红，那么我头上戴的帽子就一定是白的了这个孩子根据已知的判断（条件），经过简单分析便得出了新的（正确的）判断这个过程就是推理官家子弟只看了已知的事实，想不到正确的结论，就是因为他不会推理这一讲我们来讨论一些简单的推理问题问题301 有三个相同规格的零件，其中一个次品重量较轻在一把普通秤上称两次，规定每次同时称两个零件，问能剔出次品零件吗？分析我们把三个零件分别记作甲、乙、丙按下面的方式称两次：第一次同时称甲、乙，记下重量；第二次同时称丙、乙，记下重量这里有两种情况：（1）两次称的重量一样，即甲乙丙乙，这时乙是次品零件；（2）两次称的重量不一样，如第一次称的重一些；即甲乙丙乙，这时丙为次品零件；如第二次称的重一些，则甲为次品零件总而言之，按题设要求称两次，可以剔出次品零件在这里我们是从已知条件出发，顺着推出结论来的问题302 有三个相同规格的零件，其中一个是次品，重量较轻，在没有砝码的天平上称一次，问能将那个次品零件剔出来吗？问题303小明在邮局寄了三种信：平信邮资每封8分，航空信邮资每封1角，挂号信邮资每封2角，他共用去一元二角二分问：小明寄的三种信的总和最少是几封？分析小明共用了1元2角2分寄平信、航空信和挂号信，可知他寄平信用了8432（分）或8972（分）由于三种信的总和要最少，所以平信封数应尽可能少，从而知小明只寄了4封平信剩下的是1223290（分）航空信和挂号信的封数要少的话，就要航空信的封数尽可能少航空信至少1封用了10分那么寄挂号信用了901080（分），寄了80204（封）所以，平信、航空信和挂号信总和至少为：4149（封）问题304小华在一个文具店里买了5支铅笔，4块橡皮，8个练习本，付给售货员2元钱，售货员叔叔找给他5角5分小华看了看铅笔的价格是每支8分，就说：“叔叔，您把帐算错啦！”请问：小华怎么知道这笔帐算错了？有时在已知条件下可能的情况比较多，这时就要假设其中某个正确，根据条件往下推，如果出现矛盾便否定这个假设，再从假设的反面继续往下推，直到推出正确的结论问题305E先生在外地经商，他的四位邻居A、B、C、D对他的收入进行猜测A说：“E赚了500万元”B说：“E至少赚了1000万元”C说：“E赚的不到2000万元”D说：“E最少赚了1万元”这四个猜测中只有一个猜测是对的问E先生究竟赚了多少？解如果A的猜测正确，则C和D的猜测也正确，这与“只有一个猜测是对的”矛盾，所以A的猜测不对如果B的猜测正确，则D的猜测也正确，同样与题设矛盾，所以B的猜测不对由于B和C两个猜测中至少有一个是正确的，按题设只有一个正确，而已证明B的猜测不对，所以C的猜测是对的再由题设“只有一个猜测是对的”推知D的猜测不对在推理过程中，如果将已知条件或推理过程中的每个结果用一张表反映出来，则能帮我们理清推理的思路，以便较快地获得正确的结果问题306 A、B、C、D、E五位同学参加小学数学奥林匹克竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位老师对竞赛名次进行猜测，预测情况如下：甲：B第3名，C第5名；乙：E第4名，D第5名；丙：A第1名，E第4名；丁：C第1名，B第2名；戊：A第3名，D第4名结果表明，每个名次都有人猜中问：A、B、C、D、E五位同学的名次各为多少？分析为清楚起见，把题目条件列成下表因为每个名次都有人猜中，而第2名只有B被猜到，所以第2名必定是B我们用“”表示“推出”的意思由右表易知：B是第2名B不是第3名A是第3名A不是第1名C是第1名C不是第5名D是第5名D不是第4名E是第4名所以，A、B、C、D、E五位同学的名次依次为3、2、1、5、4问题307 甲、乙、丙三位老师对一次数学奥林匹克竞赛的名次进行预测他们的预测如下：甲：学生A得第一名，学生B得第三名；乙：学生C得第一名，学生D得第四名；丙：学生D得第一名，学生B得第三名竞赛结果表明，他们都说对了一半，说错了一半问A、B、C三位学生的名次各是多少？练习301有三个盒子，一个装着两个红球，一个装着两个白球，还有一个装着一红一白两个球三个盒子都盖着盖子，盖子上贴着说明盒内装的是什么颜色的球的标签，但全贴错了你能不能只从一个盒子里摸出一个球，就准确地判断出三个盒子里各装的是什么球？2有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子里，并且（1）红箱盖上写着：“苹果在这个箱子里”（2）黄箱盖上写着：“苹果不在这箱子里”（3）蓝箱盖上写着：“苹果不在红箱子里”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪个箱子里？3甲说：“乙说谎”乙说：“丙说谎”丙说：“甲、乙两人都说谎”问到底谁说谎？4蜘蛛有8条腿，蜻蜒有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀现有这三种小虫18只，共有118条腿和20对翅膀问每种小虫各有几只？5已知A、B、C三人中有两种人，一种人只说真话，一种人句句撒谎一次晚会上，A说：“B、C都是撒谎者”B坚决否认C说：“B确实撒谎”问A、B、C各是哪种人？三十一 速算与巧算在四则运算中，有时应用运算定律和性质，或利用某些公式和其它方法可以使计算迅速简便许多利用运算定律、性质进行简便运算的方法，同学们在前面已经学习过，在这里我们再来学习一些特殊的巧算方法问题311已知A987654321123456789，B987654322123456788试比较A、B两数的大小分析我们知道两个数的和一定时，如果这两个数差越小，那么它们的积就越大即如果abcd，ab，cd，且abcd时，则有abcd利用这一结论可以很顺利地解决问题311解因为987654321123456789987654322123456788，且987654321123456789987654322123456788，所以987654321123456789987654322123456788即 AB问题312 把1、2、3、4、5、6填入下面的方框内，使两个三位数的积最大，应当怎样填？分析要使积最大，首先应当把较大的数填到高位上去这样就有下面几种可能情况：642531，632541，641532，631542等在这些积中，两个三位数的和都是相同的，因此只要比较它们的差，不难发现631542所得的差最小，所以631542的积最大问题313比较下面三个分数的大小：麻烦，我们可以先比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数反而小另外，我们还可以验证下列结论是正确的利用上面的结论，可知这三个分数的大小关系是：解略问题314 在等号右边的方框里填写4个分母使等号成立：分析因为等号右边的23可以分解为：815，914，1013，1112所以等号右边的方框内应填120、126、130、132解略问题315 在下列方框内填入两个相邻的整数，使不等式成立 所以，上面两个方框内应分别填2和3即 求A的整数部分是多少？解先估算分母的大小因为也就是A的整数部分是180问题317 计算利用乘法的交换律和结合律，可以使运算大大简化问题318计算分析我们把分母相同的分数作为一组，通过计算可以发现；分母为1的那一组分数的和是1，分母为2的那一组分数的和是2，分母为3的那一组分数的和是3，分母为1993的那一组分数的和是1993这样一来，就可用等差数列的求和公式来计算了解原式1231993（11993）199321987021练习313在下面方框里填入1、2、3、4、5、6、7、8，使两个四位数的积最大4两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？ 81993413586199319939123456789979899 三十二 分数运算中的技巧在做分数的计算题时，只要正确利用分数的基本性质和四则运算法则，一般都能得到正确结果但有时按常规方法计算就显得相当麻烦下面我们来学习分数运算中的某些技巧通过这些运算技巧的学习，可以提高同学们的计算速度，从而达到简化计算的目的问题321 计算分析本题按常规方法计算显然相当麻烦，并且不易算出正确结果除了常规方法还有没有较简单的方法呢？下面我们来分析一下：所以解略从问题321的分析和解答过程可以看出，在做分数加法运算时，可以将其中一些分数适当拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，以达到简化运算的目的这种方法叫做拆项法一般地，问题322计算n的值分别取1、4、7、10、13，d取3 问题323计算分析仔细观察每一个分数的特点，分子都是1，而分母分别是两个连续整数的乘积：12，23，34，45，56，67，78，89，910，即原题就是计算：至此，利用问题321的解答所提供的方法是不难得出正确结果的，请同学自己完成问题324计算与上述几个问题类似，不难求出正确结果问题325计算本题怎样计算简便些？请同学们自己完成问题327 计算分析 把带分数化为假分数计算显然是相当麻烦的我们可以把各项的整数部分和小数（分数）部分分别求和，这样可使问题的计算大为简化问题328计算分析 直接计算太麻烦，分析本题的特征，分母的两个因数的各个数位上的数字都是8，而分子的一些项也可凑成8，即178，268，358，448这样可以使计算大大简化问题329 计算分析可先将各循环小数化为分数，然后再进行分数的计算 问题3210在下面的括号内填上适当的自然数，使等号成立： 分析12223，即12的约数有1、2、3、4、6、12六个在（1）中，我们可以任取12的两个约数（可以相同也可以不同），用它们的即括号里应填24同学们还可以发现：当取的两个约数相同时，两个括号里填的数一定相等，并且都是24即括号里应分别填36和18显然括号里的数填法不是唯一的对于（2）和（3）同学们完全可以用类似的方法处理上述方法同学们是不难掌握的练习32计算： 9在下面等式的括号里填上适当的自然数，使等式成立三十三 测量问题如果我们希望换掉一根断裂的电线杆，得制一根等长的电线杆，那么首先必须在不能上到电线杆顶的情况下得到电线杆的高度工人师傅要在河上架一座大桥，解放军叔叔要炸掉河对岸敌人的炮楼，必须在不过河的条件下，得到河的宽度和炮楼的高度在生活、生产、科研乃至战争中，我们经常要设法得到一个事物的高度、长度、宽度等，这类问题归结到数学上统称为测量问题测量问题的研究成果不但在改造现实世界中起非常重要的作用，而且能解释日常生活中许多有趣的现象比如，当你在路灯附近散步的时候，如果你观察一下自己的影子，就会发现影子有时越变越长（图331）在太阳光下也有同样的现象如果搞清楚了影子长与物高（长）之间的关系，那么我们就可以用影子的长度去推算物体的高（长）度了用影子测物高在远古时代就有范例2600多年前，有个埃及国王，他想知道已为自己盖好的金字塔到底有多高但怎么测量呢？在那个时候，这是一个非常困难的问题后来国王四处打听，请了一个名叫法列士的聪明人来设法解决这一难题法列士选了一个风和日丽的日子，在国王、祭司们的参加下，成功地测出了金字塔的高度问题331 图332（1）、（2）分别是金字塔的立体直观图和平面图问法列士当时是怎样测得塔高的？原来，法列士在塔周围走动的时候，观察到自己的影子随着时间的不同而不断地变化于是他想：“当我的影子刚好与我的身高相等时，塔高和塔的影子不也是等长了吗？”于是当法列士确知自己的影子与身高相等时，发出了测塔的命令，于是助手们很快地测出了CD和DB的长度它们合起来（为CB）即为塔的影子长，而此影子长就是塔的高度随着时代的发展和测量工具的不断更新，严格、科学的测量新方法不断涌现时至今天，测量技术已变得十分完善法列士的方法早已过时但是我们不能苛求古人，要看到法列士在人类测量史上揭开了闪光的一页他用到的是欧氏几何中的相似原理（见下文），但他的测塔方法比几何始祖欧几里德创立的几何学还早了许多年必须指出，近代测量学方法虽先进，但它要用到大量的几何知识和三角函数知识这些知识我们还不具备，故本节我们只介绍一些最简单的或粗略的测量知识首先来定性地分析一下影子长与物高的关系问题332我们知道在路灯旁走动或太阳升高时，影子长会不断地变化，问影子长的变化究竟受什么因素的影响？分析影子是光造成的如图333，设S是光源，垂线AB表示人，水平线XX代表地面，从S出发的光线，绝大部分照在地面上，只有ACB内的光线被人体遮住，并在地上留下了影子BCAC是被遮住的第一条光线，称为临界光线临界光线与投射面之间的交角叫投射角人的高AB是不会变化的但是，如图334（1），当人由A1B1处走动到A4B4处时，影子由B1C1不断变长到B4C4；如图334（2），当光源从位置S1移到位置S4时，影子由BC1逐渐变短到BC4这表明：物体移动或光源移动，影子长都会变化通过仔细观察就会发现它们有一个共同点，就是：投射角越大，影子越短而且物高AB与影长BC之间还有确切关系：ABBC（tg）现在我们就可解释法列士的测塔方法了事实上，法列士是在投射角45时测塔的，这时的物高和影长相当于45的直角三角形的两条直角边，故它们相等我们也易知道：太阳升起后，人的影子是在上午、中午，还是在下午最短？在路灯下面，是离路灯近还是远的时候人影较长？但是上面的解释仍然是定性的解释，我们只知道长或短但究竟有多长，还必须要知道上面公式中的三角函数tg的值是多少，但这个知识还得等到中学才能学到下面我们给出解决简单测量问题所用到的两个简单原理，并用它们去解决实际问题我们把形状和大小都相同的两个三角形叫全等三角形；把形状相同、大小不同的两个三角形叫相似三角形，并且把全等或相似的两个三角形中方位相同的两条边叫做对应边全等形原理 两全等三角形的对应边相等相似形原理 两相似三角形的三组对应边所成的比都相等问题333在抗日战争时期，八路军某部急行军北上抗日，中途遇到一条大河阻隔河对面设有敌人的炮楼为了扫清障碍，小兵张嘎所在的小分队奉命拔掉敌炮楼要拔掉它，必须要大致知道河宽但当时又找不到适当的测量工具，怎么办呢？嘎子想了想，终于想出了测河宽的好方法同学们，假如你不看下面的解答，是否也能想出这样的方法？解张嘎当时是这样做的：（1）他先站在河岸边，眼睛沿军帽沿刚好对准炮楼的底部C，若以AB表示身高，那么得到一个直角ABC，如图335（1），角B是直角（2）然后他向左转并保持原来的姿势，使得沿帽沿看到他所站的河岸上的一点D，如图335（2），这样又得到一个直角ABD（3）最后张嘎要分队长从D点走到B点，他数了数，队长共走了96步于是小嘎子通知炮兵，把大炮的射程调整到64米远，就正好摧毁了敌人炮楼原来，小嘎子用到了全等形原理事实上ABC与ABD是全等的；BC与BD是对应边，应相等但小嘎子怎么知道BD就是64米的呢？因为一般大人走三步是两米长（测量中叫“三步两弓”），队长走了96步，故为64米问题334“六一”儿童节到了，小聪的老师带着他们班的小朋友到郊外文明湖畔野炊、郊游大家玩得正快活的时候老师突然问了一个问题：你们能测出湖面的长度AB是多少米吗？其他同学都不作声，只见小聪闭着眼想了一想，说：“老师，我有办法”请问小聪是用的什么办法？解（1）如图336首先小聪在湖岸上选择一个适当的点C；（2）小聪请老师先从A点向C点走直线，数一数AC间老师走了多少步，再继续向前走同样多的步数到E点，放上一块石头；（3）再请老师从B点出发沿BC方向走到D点，并使BCDC，再在D点放上一块石头；（4）最后小聪请老师从D点走到E点，发现刚好走了84步于是他正式宣布湖的长度是56米同学们对小聪采用的方法迷惑不解老师表扬了他是个肯动脑筋的好学生，并告诉大家，小聪用的依然是全等形原理，即ABC与CDE形状相同、大小一样，故是全等三角形，AB与DE就是对应边问题335有一棵大树，不知道它有多高，但知道它的影子有24米长为了测得树的高，在树的旁边立了一根2米长的竹杆，一量竹杆的影子正好3米（如图337）问树高是多少米？解 因为竹杆的影长3米，而杆长只2米这就是说，如果把竹杆的影长分成3等分时，竹杆的长度占2等分同样地，把树的影长分成3等分（每等分2438（米），树高也必占其中的2等分，故树高为2816（米）注意：解本问题时用的是相似形原理如图337中，ABC与ABC形状相同，大小不同，故这两个三角形相似AB与AB，BC与BC分别是两组对应边由相似形原理应有：AB2816（米）以上，我们都是测陆地、看得见的物长能否测地下、水中看不见的物长呢？我们的祖先也早就探讨过这个问题在2000多年前的汉代，就出现了一本很有价值的书叫九章算术书中勾股章第六题译成现代语就是：问题336有一个方池，每边长一丈，池中央长了一枝荷花，花露出水面恰好一尺一阵风把荷花吹倒，花顶正触岸边，且与水面平齐试问水深、荷花长各多少？分析 如图338，若求出了水深h加上1尺就是荷花长了，故关键是求h当风吹倒荷花时，荷花原出水点A与荷花落水点B及荷花根部D构成直角DAB显然BDh1，AB5由勾股定理：h252（h1）2解出h得：h12（尺），即 水深12尺，荷花长13尺同学们，本节就要结束了，但是我们学习测量知识的过程还远未完结比如，待将来我们学了“三角”知识后，还可以不过河准确地测量河对岸的塔高呢！（图339）练习331黑夜里，照明弹在上升的过程中，碉堡的影子是变长还是变短？2黄浦江是上海水上运输的交通要道为了方便两岸的交通，政府决定修建“黄浦”大桥设计大桥之前必须要先知道建桥处的江面宽度如果由你来当设计师，你将怎样得到这个宽度数据？3一天下午，一休陪师傅长明长老散步长老突然提出一个问题来考考一休他说：“不准你垫东西，你能量出我的身高吗？”一休闭上眼想了想，然后跳起来拿了一卷皮尺，把长老扶到墙边，他和长老并排站立，让俩人的影子投射到墙上然后两人同时一步步后退，直到一休头顶的影子刚好落到墙脚时，一休让长老站立不动，然后拿皮尺量了长老留在墙上的影子，长为60厘米于是一休告诉师傅：“您的身高为1.75米”长老满意地点了点头同学们，你知道一休测出长老身高的秘密吗？4为了做一架上到屋顶的梯子，先得测屋的高度爸爸把这一任务交给方兴去完成方兴手握一根直尺伸直手臂，眼望尺顶和房顶得到图3310试根据图中的数据计算屋的高度FG三十四 奇妙的圆如果留心我们周围的世界，就会发现许多物体都呈圆形，小到球糖、玻璃弹子、钟面、生日蛋糕，大到游泳圈、车轮子等等，连我们赖以生存的地球、太阳乃至宇宙中的绝大多数星体都呈圆状这里面有天工所赐，也有人工造成关于圆，它有许多奇妙的性质，我们不可能在这里作完全的讨论下面仅就圆的基本性质和问题作些讨论问题341如图341，A是圆上的一个定点，（1）若一个人由A点出发，沿圆周行走，最后回到A点问有几种走法？（2）若B是圆周上任意一点，那么沿圆周从A到B只有一条最短路线这种说法对吗？图34-1分析（1）如果我们不动脑筋思考就会得到“只有一种走法”的错误结论事实上，这一结论是没有考虑行走方向的结果也就是说我们可以沿顺时针方图34-2向行走，也可以沿逆时针方向行走，共有两种走法，如图342所示（2）答案是“不一定”因为B点虽在圆周上，但它有任意性过A点作圆的一条直径，若B点正好在直径的另一端，则按顺、逆时针方向绕圆行走的路线一样长，即最短路线有两条，如图343（1），因此也有两种走法当B点不在直径的另一端时，从A到B的最短路线只有一条，如图343（2）所示注意：解问题341的关键是考虑行走的方向性问题342“上帝”要求阿凡提分别给地球和篮球的腰上打一道箍，使这两个箍正好紧紧套住这两个“球”（图344）但阿凡提不小心把两个箍都打长了1米（即把两个圆的周长都增加了1米）试问：当把这两道打长了的箍再套到这两个球上去的时候，它们和“球”的间隙哪一个大？即：是地球上的间隙大，还是篮球上的间隙大？分析1篮球上的间隙大，这是显而易见的因为地球那么大，赤道的周长那么长，增加1米相对于这个长度来说像没有增加一样，对于半径来说几乎没有影响可是一个小小的篮球，周长还不到1米，再加1米做成箍，肯定要比篮球的“腰围”大得多，篮球在里面肯定是晃晃荡荡的同学们：你认为上面的分析对吗？下面我们给出一个使你大吃一惊的答案分析2 两球的间隙一样大事实上，我们可以通过计算来精确地解决这个问题：假定地球和篮球上的“腰周长”分别是L和l，那么它们的直径就分别箍的直径和“球”的直径之差就是所谓的间隙我们算算看：你看，这不是完全一样吗？同学们：此题给了你什么启示？自然界有许多真理都被假象掩盖着，使我们人类经常地受骗、上当比如本问题“分析1”就是凭感觉、凭印象定性地作结论，结果就受了骗“分析2”则运用了计算的科学方法，这样得到的结论才万无一失这再一次告诉我们，我们看问题切勿看表象，在没有弄清问题的实质之前切勿轻易地作结论，否则就会掉进“陷阱”之中问题343一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图345）这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切l图34-5已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和分析按照常规思路（即易想到的思路）我们会这样想：既然要求三个小圆的周长之和，只要求出每个小圆的周长即可要求每个小圆的周长，必先求出每个小圆的直径要求直径，必在题目的条件中去找但是题目只说“大小不等的三个小圆”，它们究竟有多大是无法知道的因此，照这样想下去什么结果也得不到，只会徒劳但是否本问题无解呢？千万别灰心，让我们另起一个思路来分析一下：题目要求的是三个小圆的周长之和，并不是求各个小圆的周长，这一点值得注意说不定它就是解决本问题的突破口再看看已知条件，立即就会发现：虽然三个小圆的直径不得而知，但是它们的和作为一个整体正好等于大圆的直径通过这样一分析，我们不但找到了条件与结论的联系，而且自然地产生了解题思路从整体考虑设三个小圆和大圆的直径分别是a、b、c、d，又已知条件隐含着abcd，d10故三个小圆的周长之和为：abc（abc）d10即三个小圆的周长之和就等于大圆的周长其实，我们还可思考一下，本题的结论是否还可以扩展？通过考察不难发现：小圆的个数“三”这一条件并不重要关键的条件是：小圆的直径之和等于大圆的直径到此不难猜想到：无论有多少个小圆，也无论它们怎么排列，只要这些小圆的直径之和等于大圆的直径，就必然有小圆的周长之和等于大圆的周长问题344 （1）若在问题343中小圆的个数不是三个，而是n个图346（1），其它条件不变，那么这些小圆的周长之和是多少？（2）若小圆的个数是无穷多个呢？图346（2）图34-6解 （1）设小圆的直径分别为d1，d2，dn则有：d1d2dnd，故小圆的周长之和为：d1d2dn（d1d2dn）d10（2）这是英国著名的科学家牛顿出的一道题，我们现在所学的知识还不能解决它因为我们还不会求无穷多个数（小圆直径）的和请同学们先记住它等到你们将来长大了，学了足够的知识再去解决它但是你们能猜出本题的答案吗？问题345在图347中左右两个正方形一样大小，且图347（2）中四个小圆一样大试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大？图34-7解法1 设小圆半径为r，则大圆的半径为2r大圆的面积为（2r）2=4r2，而4个小圆的面积之和为4r2，故大圆的面积等于四个小圆的面积之和解法2 因为图（2）中两个圆一排，所以图（1）中圆的半径是图（2）中圆的2倍，因此大圆的面积是小圆的4倍（为什么？）但大圆的个数恰问题346如果把图34-7（2）中的4个圆拿出来，再把每排放n个圆，并放n排，问这n2个圆的面积之和与图（1）中大圆面积的关系如何？问题347如图34-8所示，两个大小相等的正方形内分别紧挨着排放9个等圆和16个等圆试比较两个正方形内空隙的大小图34-8分析按常规思路，要分别直接求出正方形（1）和正方形（2）中空隙的面积，再比较大小但是这样做不仅麻烦而且根本就不可能，因为那些空隙呈我们根本就不会求这两种形状图形的面积我们换一个方向来思考这个问题：由于空隙面积难以直接求得，可转过去求圆的面积之和因为两正方形是一样大小，它们的面积也是一定的，若求出了圆的面积之和，用正方形的面积减去圆的面积之和就得到空隙的面积了解由问题346的结论知道，把正方形内挨紧排放n2个等圆时，它们的面积之和与其内放一个大圆的面积S相等本题图（1），（2）正是n=3和n=4的特例，故它们的面积和也都是S，从而它们的空隙面积也相等注意：解决本问题的思想比较特殊我们不是去求所需比较的图形的面积，而是去求与它们互相补充的那一部分的面积应用这一思想方法的条件是正方形面积是一个定值问题348 在一个边长为10厘米的正方形中，最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆？在讲下一个问题之前，请同学们先作一个实验用几根等长的绳索把两端连接起来，放到方格网纸片上去作成圆、长方形、正方形和任意一个闭曲线的形状，如图34-9，然后再用数小方格的方法去分别大致地计算一下它们的面积，看哪个大通过计算我们就会发现下述结论：结论1在平面封闭图形中，周长为一定值时，圆的面积最大图34-9结论2在平面封闭图形中，面积为一定值时，圆的周长最小显然有了结论1成立必然有结论2成立但上面结论1是由实验观察得出的，还必须进行严格的科学证明，这个工作要等到同学们上了中学后才能完成现在请大家记住这两个结论，并学会应用它们解题问题349图34-10是一幅军事地图ABCD是一个正方形，A丙C为一段圆弧线现有一支部队要从司令部A出发到达前沿阵地C执行作战任务图中有四条路线，如果由你当司令员，你会指挥部队走哪一条道路？图34-10分析显然路线A甲C与AJC是等长的对于路线A乙C，我们无法知道每一小线段的长度，因此全长也难以知道，但是只要我们有整体观念事情就好办了事实上，路线A乙C中每一条水平线段的长虽不知道，但总长与AD相等；同理竖直线段的总长与DC相等，故上述三条路线的长都一样现在问题转向把路线A丙C的长与前三条相比线路A丙C是一段圆弧，假如它是一个整圆就好分析了这一假设使我们获得了启示：能否把这段圆弧扩展成整个圆呢？如图34-11先把正方形ABCD以AB为轴作一个对称图，再把整个图沿CC为轴作一个对称图，即得到一个整圆图34-11显然由折线组成的闭曲线与大正方形DEFG的周长完全相同只要能证明圆的周长小于正方形DEFG的周长，就证明了线路A丙C比A丁C短事实上它们都是原来周长的1/4为了证明正方形DEFG的周长大于圆的周长，设想我们先作一个与圆面积相等的正方形MNOP，则正方形DEFG的面积大于正方形MNOP的面积，故正方形DEFG的周长必大于正方形MNOP的周长但又由于正方形MNOP的面积与圆的面积相等，由结论2知正方形MNOP的周长又大于圆的周长，则正方形DEFG的周长就更大于圆的周长，于是问题得证关于圆还有许多奇妙的特性，比如：圆关于它的任意一条直径是对称的，这一性质就特别有用但是，由于篇幅所限我们就不能在这里介绍了最后值得一提的是圆周率（它是圆的周长与直径之比，是一个常数，也就是说无论大圆或小圆这一比值都是一样的），这个值究竟是多大呢？为了求它，古往今来不知有多少数学家绞尽脑汁，但唯有我国数学家对它的贡献最大魏晋时，我国数学家刘徽就用割圆术求得了=3.1416最辉煌的成就，要数南北朝时的科学家祖冲之，他精确地推算出值在3.1415926和3.1415927之间，这一成果比法国的奥托和荷兰的安托尼兹早了1000多年，这真是祖国的光荣！现在人们已经知道是一个无限小数练习341有两个圆C1、C2，它们的直径分别为1米和3753米现在分别把两直径都加长4米，问：（1）哪一个圆的周长增加的多些？（2）哪一个圆的面积增加的多些？2有一个圆的直径是10米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆我们不知道这10个圆的直径分别是多少，你能求出它们的周长之和吗？3用怎样的最短线可以把一个正三角形分成等面积的两个部分？4把一个生日蛋糕切n刀（不许折叠），最多可以切多少块？5（1）在平面上画两两相交的三个圆，把平面分成了8块区域试将1、2、3、4、5、6、7分别填入圆中的7块区域，使得每个圆内所填的数字之和相等图34-12（2）平面上放20个呼啦圈，它们最多可以把平面分成多少部分？6古代几何学家梁拉多达维奇采用下面的方法，仅用圆规和直尺就巧妙地化圆为长方形如图34-13，他先作一个直圆柱，它的底半径等于圆的半径，高等于圆半径的一半再把它沿AB剪开展在平面上，即得一与圆面积相等的长方形同学们你能用圆规和直尺作出与圆等面积的正方形吗？图34-13三十五 图形的对称性冬天，漫天飞舞的雪花给大地披上了银装；在春暖花开的时节，那一对对粉蝶翩翩起舞于花丛之中这情、这景是多么优美，惹人喜爱，令人陶醉！如果我们仔细地看一看就会发现：呈六角形的雪花和蝴蝶双翅上的花纹都是对称的（图35-1）在自然界里到处可以看到对称的图形，比如：人体的外形呈左右对称；各种花卉以及许多动植物图见图35-2在自然界展示的琳琅满目的对称图案中，既有“上帝”赐予的，也有人类的功劳在征服自然、改造自然的过程中，经过长期的社会实践，人们逐渐认识到对称的物体美观大方、受力均匀、平衡稳定，并且建造起来也方便于是便设计、制造了大量的对称物体：小到日用器皿、工艺美术品；大到古老和近代大型建筑；乃至于现代高科技产品；无一不是上述基本思路的产物比如在我们伟大的首都北京，天安门城楼庄严浩然地矗立于天安门广场，它采用的就是对称图形（图35-3）关于对称，以上我们作了那么多议论，但是什么是对称？它有什么特性？要回答这些问题并不那么简单，还必须深入地研究一番才行所谓对称，顾名思义就是两个物体或图形的位置是相对且相称的数学中对称的概念，不但赋予了准确的涵义，而且比生活直觉中理解的对称概念要广泛得多对称的种类较多，本节仅谈几种最常见的对称及其简单应用1轴对称：当平面上两个图形当中有一条直线l，在l一边的图形绕l旋转180后，能与另一个图形完全重合，那么就称这两个图形关于l是对称的，l叫对称轴例如图35-4中，ABC与ABC关于直线DE是对称的，虚线左边的半盆花与右边的半盆花也是对称的2中心对称：设平面上两个图形当中有一个定点O，当其中一个图形在平面上绕O点旋转180后能完全与另一图形重合，那么这两个图形就称为关于O对称的，点O叫对称中心如图35-5中，四边形ABCO与四边形ABCO关于O是对称的；风扇的两片叶子关于轴心也是对称的对称还可以向空间推广：3镜面对称：若两个立体的东西或图形之间有一个平面，当此平面一侧的物体连同此平面在空间转180后与另一个物体完全重合，那么这两个物体被称作关于平面是对称的，叫对称平面由于照镜子是一个非常典型的面对称的例子（镜子就是对称平面），故面对称通常也叫镜面对称，见图35-6镜面对称和轴对称是有联系的照镜子时，如果我们只取人体的侧面，那么镜面就可以用一条直线来表示，人和镜中的像便成了轴对称图形了可见轴对称是镜面对称的特例，故人们有时把轴对称也叫镜面对称问题351（1）两个全等的图形是否一定是对称图形？（2）判断图35-7中哪几个图形是对称图形解（1）两个全等的图形不一定是对称图形要判断两图形是不是对称的，到目前为止唯一的办法是依据定义，看两图形的位置，在绕轴或中心旋转180后是否完全重合（2）图35-7中只有图（2）、（3）是对称图形问题352在图35-8中，（1）哪些图形是对称的， 哪些不是？（2）如果是对称图形，它属于哪一类对称？（3）请指出对称图形的轴（或中心），并说说有多少根轴（或多少个中心）？解 （1）图35-8中全是对称图形（2）图中所有的图形全是轴对称图形，且图（2）、（3）、（4）、（5）、（6）还是中心对称图形（3）所有图的对称轴如图虚线所示图（1）仅1条对称轴；图（3）、（5）有2条对称轴；图（6）有4条对称轴（对角线也是）；图（4）有6条对称轴；图（2）中任一条直径都是它的对称轴，因而有无穷多条对称轴对于上述的中心对称图形，图中O即为其中心中心总是唯一的问题353平行四边形是否为轴对称图形？是否为中心对称图形？问题354图35-9是某宫殿的照片问它是否为对称图形？若是，请指出它属哪一类？解若把它看成平面图形则它是轴对称的，若把它看成立体图则它是镜面对称的上面我们对对称作了较多的议论我