高中数学 5.1绝对值不等式配套课件 北师大版选修4.ppt

第一节绝对值不等式 三年16考高考指数 1 理解绝对值的几何意义 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 a b a b a b r a b a c c b a b c r 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 1 利用不等式的性质考查函数的单调性 比较实数的大小 求函数的最值是考查的重点 2 利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式或证明不等式是考查的重点也是难点 3 常以填空题或解答题的形式出现 属中低档题 1 绝对值不等式 1 定理 对任意实数a和b 有 a b 2 几个结论 对任意实数a b c有 a b a b a b c a b a b a c c b a b c 即时应用 1 思考 a b 与 a b a b 与 a b a b 之间有什么关系 提示 a b a b a b a b a b 2 已知 a b 则m n之间的关系是 解析 a b a b a b m 1 n 即m n 答案 m n 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x r x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 即时应用 1 思考 不等式 x c x b a的几何意义是什么 提示 不等式 x c x b a的几何意义是 数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围 2 2x 1 3的解集是 解析 即不等式 2x 1 3的解集是 x 1 x 2 答案 x 1 x 2 绝对值不等式的解法 方法点睛 1 解绝对值不等式的基本方法有 1 利用绝对值的定义 通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 2 当不等式两端均为正时 可通过两边平方的方法 转化为解不含绝对值符号的普通不等式 3 利用绝对值的几何意义 数形结合求解 2 几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式 组 根据式子的特点可用下列公式进行转化 1 f x a a 0 f x a或f x a 2 f x a a 0 a f x a 3 f x g x f x g x 或f x g x 4 f x g x g x f x g x 5 f x g x f x 2 g x 2 例1 1 不等式 2x 1 1的解集为 2 不等式 x2 9 x 3的解集为 3 2011 江西高考 对于x r 不等式 x 10 x 2 8的解集为 解题指南 1 转化为不含绝对值的不等式 2 利用绝对值的定义或 f x a a 0 a f x a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解 3 不等式的左边含有两个绝对值符号 可以采用 零点分段法 规范解答 1 由 2x 1 1得 1 2x 1 1 解得0 x 1 原不等式的解集为 x 0 x 1 2 方法一 原不等式或不等式组或3 x 4 不等式组 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法二 原不等式等价于 原不等式的解集是 x 2 x 4或x 3 方法三 设y1 x2 9 y2 x 3 x 3 由 x2 9 x 3 解得x1 4 x2 3 x3 2 在同一坐标系下作出y1 y2的图像 从图中可看出使y1 y2的x的取值范围是x 3或2 x 4 原不等式的解集为 x x 3或2 x 4 3 当x 10时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即 12 8 不符合要求 当 10 x 2时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即2x 0 解得0 x 2 当x 2时 原不等式变为 x 10 x 2 8 即12 8 恒成立 x 2 综上所述 原不等式的解集为 x x 0 答案 1 x 0 x 1 2 x x 3或2 x 4 3 x x 0 互动探究 若将本例 3 中 x 10 x 2 8 改为 x 10 x 2 20 则不等式的解集为 解析 当x 10时 原不等式变为 x 10 2 x 20 即 2x 8 20 即x 14 故 14 x 10 当 10 x 2时 原不等式变为x 10 2 x 20 即12 20 恒成立 当x 2时 原不等式变为x 10 x 2 20 即2x 8 20 即x 6 2 x 6 综上所述 原不等式的解集为 x 14 x 6 答案 x 14 x 6 反思 感悟 用 零点分段法 解 x a x b c或 x a x b c型不等式的一般步骤为 1 令每个含绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 2 将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间 3 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式 解这些不等式 求出解集 4 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 变式备选 1 不等式1 x 2 3的解集为 2 不等式 x 3 2x 1 1的解集为 3 2011 江苏高考改编 不等式x 2x 1 3的解集为 解析 1 方法一 原不等式等价于不等式组解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集为 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可转化为 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 1 x 1或3 x 5 原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 2 当x2 x 2 综上可知 原不等式的解集为 x x2 3 原不等式可化为解得所以原不等式的解集是答案 1 x 1 x 1或3 x 5 含绝对值不等式的恒成立问题 方法点睛 对于恒成立不等式求参数范围问题 常见类型及其解法如下 1 分离参数法运用 f x af x max a f x af x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法不少含参不等式恒成立问题 若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时 若能数形结合 揭示问题所蕴含的几何背景 发挥形象思维与抽象思维各自的优势 可直观解决问题 例2 1 若不等式 x 1 x 3 a的解集为r 则a的取值范围为 2 2011 陕西高考 若不等式 x 1 x 2 a对任意x r恒成立 则a的取值范围是 解题指南 1 求出 x 1 x 3 的取值范围 只要a小于 x 1 x 3 的最小值即可 2 求出 x 1 x 2 的取值范围 只要a不大于 x 1 x 2 的最小值即可 规范解答 1 方法一 因为 x 1 x 3 表示数轴上的点p x 与两定点a 1 b 3 距离的差 即 x 1 x 3 pa pb 由绝对值的几何意义知 pa pb 的最大值为 ab 4 最小值为 ab 4 即 4 x 1 x 3 4 不等式 x 1 x 3 a的解集为r a的取值范围为a 4 方法二 由 x 1 x 3 x 1 x 3 4 x 3 x 1 x 3 x 1 4 可得 4 x 1 x 3 4 不等式 x 1 x 3 a的解集为r a的取值范围为a 4 2 当x 1时 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 当 12时 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 3 综上可得 x 1 x 2 3 所以只要a 3 即实数a的取值范围是 3 答案 1 4 2 3 互动探究 若本例 1 中不等式有解 则a的取值范围是 若不等式的解集为 则a的取值范围是 解析 由本例 1 的解析过程可知 4 x 1 x 3 4 故若不等式 x 1 x 3 a有解 只要a比 x 1 x 3 的最大值小即可 即aa的解集为 只要a不小于 x 1 x 3 的最大值即可 即a 4 答案 a 4a 4 反思 感悟 对于含参数不等式的存在性问题 只要求存在满足条件的x即可 不等式的解集为r是指不等式恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面 如f x m的解集是 则f x m恒成立 也是不等式恒成立问题 要注意区别 变式备选 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 则实数a的值为 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 则实数m的取值范围为 解析 1 由f x 3得 x a 3 解得a 3 x a 3 又已知不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 所以解得a 2 2 方法一 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 于是所以当x 3时 g x 5 当 3 x 2时 g x 5 当x 2时 g x 5 综上可得 g