高考数学一轮复习 3.1 数列的概念课件 文 新人教A版.ppt

3 1数列的概念 一 数列的概念 数列是按一定的次序排列的一列数 在函数意义下 数列是定义域为正整数集n 或它的有限子集 的函数f n 当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值f 1 f 2 f 3 f n 通常用an来代替f n 其图像是一群孤立的点 二 数列的通项公式 一个数列的第n项an与n之间的关系 如果可以用一个公式an f n 来表示 那么我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 且不是每个数列都有通项公式 三 数列的分类 1 按数列项数是有限还是无限分为 有穷数列 无穷数列 2 按数列项与项之间的大小关系分为 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 3 按任何一项的绝对值是否都大于某一正数分为 有界数列和无界数列 四 数列的通项an与前n项和sn之间的关系 在数列 an 中 sn a1 a2 a3 an an 由数列的前n项和sn求通项an时 要分n 1和n 2两种情况分别进行计算 然后验证这两种情形是否可用统一的式子表示 若不能 就采用类似分段函数的形式表示 五 数列的性质 1 数列的单调性 在数列 an 中 如果对于任意的n n 都有an 1 an成立 那么我们就说数列 an 为递增数列 如果对于任意的n n 都有an 1 an成立 那么我们就说数列 an 为递减数列 2 数列的周期性 在数列 an 中 若存在正整数k 对n n 都有an k an 则数列 an 是周期数列 且周期为k 六 sn的最值 1 若已知sn 则可依据函数最值的求法计算 其中n n 2 若已知an 则sn取最值时n n n 的值可由或来确定 c an d an 1 数列1 0 1 0 1 0 奇数项为1 偶数项为0 的一个通项公式an为 a an 2n 1 b an 解析 0 1 1 1 数列可写成 的形式 由于各项中都存在不变量 故只需研究数列 即研究数列1 1 1 1 即可 故an 1 n 1 答案 c 2 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15 b 16 c 49 d 64 解析 a8 s8 s7 64 49 15 答案 a 3 在数列 an 中 an 1 n n 且a7 则a5等于 a b c 1 d 1 解析 由an 1 n n 得an 又a7 所以a6 a5 1 答案 c 题型1归纳数列的通项公式 例1 1 数列3 7 13 21 31 的一个通项公式是 a an 4n 1 b an n3 n2 n 2 c an n2 n 1 d an n2 n 1 2 若数列的前四项为2 0 2 0 则这个数列的通项公式不可能是 a an 1 1 n 1 b an 1 cosn c an 2sin2 d an 1 1 n 3 数列 有序实数对 a b 可以是 a 21 5 b 16 1 c d 分析 找出数列的通项公式 应注意观察数列中an和n的联系与变化情况 应特别注意 自然数列 正奇数列 正偶数列 1 n和相关数列 等差 等比数列 以及由它们组成的数列 从中找出规律性 并分别写出通项公式 在选择题中 可以用特例法或排除法得到结果 解析 1 用排除法 取n 1 2 3 4 5验算 2 当n 1时 d中a1 0不符合题意 3 由数列中的项可观察规律 5 3 10 8 17 a b a b 24 2 故得a b 答案 1 d 2 d 3 d 点评 1 联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法 2 求数列的通项公式 应运用观察 分析 归纳 验证的方法 易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确 以及观察 分析 归纳 验证这四个环节做得不够多 应注意对每一数列认真找出规律并验证 变式训练1 1 设数列 2 则4是这个数列的 a 第9项 b 第10项 c 第11项 d 第12项 2 设s n 则 a s n 共有n项 当n 2时 s 2 b s n 共有n 1项 当n 2时 s 2 c s n 共有n2 n项 当n 2时 s 2 d s n 共有n2 n 1项 当n 2时 s 2 3 数列 的一个通项公式是 解析 1 由条件可知an 4 2 数列s n 的项数为n2 n 1 当n 2时 n2 4 故选d 3 数列的奇数项为负数 偶数项为正数 所以借助 1 n来确定符号 易看出各项分母分别为21 22 23 24 25 且每一项的分子比分母少1 所以这个数列的通项公式为 an 1 n 答案 1 c 2 d 3 an 1 n 题型2数列的周期性 例2 1 已知数列 an 中 a1 an 1 n 2 则a2014等于 a b c d 2 已知数列2013 2014 1 2013 2014 1 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项的和 则前2014项的和s2014的值为 分析 1 由已知可知a2 a3 a4 a5 所以数列是周期数列 周期为3 2 由题意可知an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加即可得到an 2 an 1 an 3 an 从而联想到函数的周期性可以得到an 6 an 从而确定出数列 an 的周期性 解析 1 由递推公式得a2 a3 a4 a5 所以数列是周期数列 周期为3 于是a2014 a671 3 1 a1 2 由题意可知an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加即可得到an 2 an 1 an 3 an 可得到an 6 an 即是以6为周期的数列 且a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 又 2014 335 6 4 a1 a2 a3 a2014 a1 a2 a3 a4 2013 2014 1 2013 2015 即s2014 2015 答案 1 c 2 2015 点评 观察是数学研究中最基本的方法 而 周期现象 又是数学规律中一个十分重要的规律 数列的周期性与函数的周期性类似 可以借鉴 解题中要总结规律 当遇到递推公式同时所求的项较大时 往往就是数列的周期性变化规律 同学们要认真分辨 变式训练2 1 设函数f x 定义如下表 数列 xn 满足x0 5 且对任意n n均有xn 1 f xn 则x2014的值为 a 1 b 2 c 4 d 5 2 在数列 an 中 a1 7 a2 24 对所有的正整数n都有an 1 an an 2 则a2014为 a 7 b 24 c 17 d 7 解析 1 x1 f 5 2 x2 f x1 f 2 1 x3 f x2 f 1 4 x4 f x3 f 4 5 所以x0 x4 可知是以4为周期的数列 所以x2014 x2 1 2 an 1 an an 2 an 2 an 1 an 又a1 7 a2 24 a3 17 a4 7 a5 24 a6 17 a7 7 a8 24 an 是以6为周期的数列 a2014 a335 6 4 a4 7 答案 1 a 2 d 题型3数列的增减性与最值 例3已知数列 an 的通项an n n 试问数列 an 是否存在最大项 如果存在 求出这个最大项 如果不存在 请说明理由 分析 判断数列是否有最值 可借鉴函数最值问题的解法 先考察数列的增减性 解析 an 1 an 当n0 此时an 1 an 即a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 当n 8时 an 1 an 0 即a9 a8 当n 8时 an 1 an 0 此时an 1 an 即a9 a10 a11 综上所述 数列 an 存在最大项 且这个最大项为第8项和第9项 即a8 a9 点评 数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容 有关数列的最大项 最小项 有界性等问题 都可以借助于数列的单调性来研究 必须牢固掌握作差法 作商法及应用函数的单调性法 变式训练3 1 已知an n n 则数列 an 的最大项是 a 第12项 b 第13项 c 第12项或第13项 d 不存在 2 在等差数列 an 中 1 若它的前n项和sn有最大值 则下列各数中是sn的最小的正数是 a s17 b s18 c s19 d s20 解析 1 由已知得 an 由不等式的知识即可知n 12或13时an最大 2 等差数列 an 的前n项和sn有最大值 a1 0且d 0 由0 a11 a10 即a11 a10 0 s20 10 a1 a20 0 又由题意知当n 10时 sn取得最大值 n 11时 sn递减 故s19是最小的正数 答案 1 c 2 c 题型4利用an与sn的关系解题 例4已知数列 an 的前n项和sn 2n2 2n 数列 bn 的前n项和tn 2 bn 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设cn bn 证明 当且仅当n 3时 cn 1 cn 分析 由an 可求出an和bn 这是数列中求通项的常用方法之一 在求出an和bn后 进而得到cn 接下来用作差法与作商法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于a1 s1 4 当n 2时 an sn sn 1 2n2 2n 2 n 1 2 2 n 1 4n an 4n n n 又当n 2时 bn tn tn 1 2 bn 2 bn 1 bn 1 bn 2bn bn 1 又b1 1 数列 bn 是等比数列 其首项为1 公比为 bn n 1 n n 2 由 1 知c1 b1 16 由 1得 1 即n 3 又n 3时0恒成立 因此 当且当仅n 3时 cn 1 cn 时的an 千万要注意到不可忽视当n 1时 a1 s1 从而进一步求得n n 时的an 务必验证两种情形是否可用统一的式子表示 若不能 就采用类似分段函数的形式表示 点评 已知一个数列的前n项和sn 相当于间接给出了n 2 变式训练4设数列 an 满足a1 4a2 42a3 4n 1an n n 求数列 an 的通项 解析 a1 4a2 42a3 4n 1an a1 4a2 42a3 4n 2an 1 n 2 4n 1an n 2 an n 2 验证n 1时也满足上式 an n n 1 注意归纳总结通项 分类讨论思想等数学思想的运用 2 数列的前n项和sn与an的关系是近几年来命题的重点与热点 对an 的考查 不仅要能够灵活地运用它来分析 解决问题 更重要的是掌握公式推导的思想方法 并能够把这一思想类比迁移到其他问题 达到举一反三的效果 例已知数列 an 的前n项和sn n2 1 求数列的通项公式 错解 因为an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 所以数列的通项公式为an 2n 1 剖析 本题忽视了an sn sn 1成立的条件为n 2 求出通项后 还要检验a1是否满足 若满足 合并 若不满足 则分段表示 正解 当n 1时 a1 s1 0 当n 2时 an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 代入检验发现a1不满足通项 所以an 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2 an 1 则a2等于 a 4 b 2 c 1 d 2 解析 a1 s1 a1 2 a1 1 得a1 2 又 a1 a2 2 a2 1 解得a2 4 答案 a 2 基础再现 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 则此数列中的项是负数项的项数是 a 0 b 2 c 1 d 4 解析 由an n2 5n 4 0 解得1 n 4 又n n 所以n可取2 3 答案 b 3 视角拓展 数列 an 中 a1 1 对所有n 2 n n 都有a1 a2 a3 an n2 则a3 a5等于 a b c d 解析 a1 a2 a3 an n2 a3 a5 a3 a5 答案 c 4 视角拓展 一给定函数y f x 的图像在下列图中 并且对任意a1 0 1 由关系式an 1 f an 得到的数列 an 满足an 1 an n n 则该函数的图像可能是 解析 由已知条件可知 f an an 由函数知识可知 函数值大于自变量的值 从图像上看可知图像要在y x之上 答案 a 5 高度提升 在数列 an 中 已知a1 2 an an 1 1 n n 设sn为数列 an 的前n项和 则s2013 2s2012 s2011的值为 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 a1 2 an an 1 1 n n n为奇数时 an 2 n为偶数时 an 1 s2013 2s2012 s2011 s2013 s2012 s2012 s2011 a2013 a2012 2 1 3 答案 c 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 6 基础再现 数列 an 的通项公式an 令前n项和sn a1 a2 an且sn 9 则n 解析 an sn 1 1 9 解得n 99 答案 99 7 视角拓展 由1 3 5 2n 1 构成数列 an 数列 bn 满足b1 2 当n 2时 bn 则b5 解析 根据题意 得b2 a2 3 b3 a3 5 b4 a5 9 b5 a9 17 答案 17 8 高度提升 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 2 an 1 1 n n n 则s100 解析 当n是奇数时 an 2 an 0 故奇数项都相等 当n是偶数时 an 2 an 2 故偶数项成等差数列 则s100 a1 a3 a99 a2 a4 a100 50 2 50 50 49 2600 答案 2600 9 能力综合 设函数f x 数列 an 满足an f n n n 且数列 an 是递增数列 则实数a的取值范围是 解析 由递增数列及分段函数单调性可知 必须满足以下的条件 3 a 0 a 1 3 a 7 3 a8 6 解得2 a 3 答案 2 3 10 视角拓展 已知数列 an 的通项公式为an n n 2 问 1 80 90是不是该数列的项 如果是 是第几项 2 从第几项开始