第27章 圆的复习与小结

第27章 圆的知识点一、与圆有关的概念弦:连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径弧: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB” 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧与优弧: 小于半圆的弧叫做劣弧（如图中的AC）大于半圆的弧叫做优弧. 用三个字母表示,如图中的ACB)判断下列说法的正误：1、弦是直径；半圆是弧; 过圆心的线段是直径；2、过圆心的直线是直径；半圆是最长的弧；直径是最长的弦；3、等弧就是拉直以后长度相等的弧 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：（1）两弧的长度相等，（2）两弧的度数相等。注意: 1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧一、垂径定理 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.若 CD是直径 AM=BM, AC=BC, AD=BD. CDAB重视：模型“垂径定理直角三角形”2、垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 由 CD是直径 AM=BM 可推得CDAB, AC=BCAD=BD. 垂径定理及其推论 （1）直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 (4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?例：O的半径为10cm，弦ABCD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_ . 二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角,圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.圆心角、弧、弦、弦心距的关系 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.如由条件: AB=AB可推出AOB=AOBAB=AB OD=OD综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:即 ABC = AOC.三、圆周角定理及推论定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半. .推论：直径所对的圆周角是 90的圆周角所对的弦是 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等.1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60， ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（ ）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定 图1 图23、 如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于 ( )；A150 B130 C120 D604、在ABC中，A70，若O为ABC的外心，BOC= ；若O为ABC的内心，BOC= 5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_ cm；6、如图1,已知O，AB为直径，ABCD，垂足为E，由图你还能知 道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ； 图1 图27、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；四、点和圆的位置关系（1）Opr 点p在o内（2）Op=r 点p在o上（3）Opr 点p在o外不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 想一想：一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个做一做 ：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 练习：1、O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（ ）A点A在O内部 B点A在O上 C点A在O外部 D点A不在O上2、M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_cm.3、圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是（ ）A、1234 B、1324 C、4231 D、42134、有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值范围是.五.直线与圆的位置关系1、直线和圆相交 d r;2、直线和圆相切 d r3、直线和圆相离 d r切线的判定定理： 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图 OA是O的半径, 且CDOA, CD是O的切线.切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.CD切O于, OA是O的半径 CDOA切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。经过切点、垂直于切线、经过圆心。做一做：1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_；3、下列四个命题中正确的是（ ）与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线A. B. C. D.图2 四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_六.圆与圆的位置关系交点个数 名称 d , R , r 的关系0 外离 d R + r1 外切 d = R + r2 相交 R-r d R+ r1 内切 d = R - r0 内含 d R - r同心圆是内含的特殊情况切线长定理及其推论: 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.PA,PB切O于A,B PA=PB 1=2直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积. 随堂练习1、如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是圆周角是2：已知ABC三点在圆O上，连接A