【导与练】高考数学大二轮 专题限时训练 第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题 文.doc

第3讲用空间向量的方法解立体几何问题【选题明细表】知识点、方法题号空间向量及其运算2、3利用空间向量解决平行、垂直1、5、8利用向量求空间角2、4、7利用空间向量求距离6综合应用9、10一、选择题1.已知a=(2,4,-5),b=(3,x,y),若ab,则x+y等于(d)(a)-9(b)-92(c)-3(d)-32解析:由ab,得32=x4=y-5,解得x=6,y=-152,故x+y=6-152=-32.故选d.2.已知向量a=(1,-2,3),b=(-2,22,-6),|c|=23,若(a+b)c=6,则a与c的夹角为(c)(a)30(b)60(c)120(d)150解析:由已知得a+b=(-1,2,-3)=-a,所以(a+b)c=-ac=6,则ac=-6,而|a|=12+(-2)2+32=23,所以cos=ac|a|c|=-12,所以=120.故选c.3.已知平面内的三个点a(2,0,0)、b(0,2,0)、c(0,0,2),则平面的一个法向量是(a)(a)(1,1,1) (b)(-1,1,1)(c)(-1,-1,1)(d)(1,1,-1)解析:ab=(-2,2,0),bc=(0,-2,2),设n=(x,y,z)为平面的一个法向量,则nab=0,nbc=0-2x+2y=0,-2y+2z=0,取x=1,则y=1,z=1.n=(1,1,1).故选a.4.正方体abcda1b1c1d1中,e是棱bb1中点,g是dd1中点,f是bc上一点且fb=14bc,则gb与ef所成的角为(d)(a)30(b)120(c)60(d)90解析:设正方体棱长为1,以d为原点,直线da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有g(0,0,12),b(1,1,0),e(1,1,12),f(34,1,0),gb=(1,1,-12),ef=(-14,0,-12),gbef=1(-14)+10+(-12)(-12)=0,则gbef.故gb与ef所成角为90.故选d.5.已知ab=(1,5,-2),bc=(3,1,z),若abbc,bp=(x-1,y,-3),且bp平面abc,则实数x,y,z分别为(b)(a)337,-157,4(b)407,-157,4(c)407,-2,4(d)4,407,-15解析:由于abbc,所以abbc=0,即13+51-2z=0,z=4.bc=(3,1,4),又bp平面abc,所以bpab,bpbc,即有bpab=0,bpbc=0,所以(x-1)1+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0.解得x=407,y=-157,故选b.6.在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中,m为ab的中点,则点c到平面a1md的距离为(a) (a)63a(b)66a(c)22a(d)12a解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则a1(a,0,0),d(0,0,a),m(a,a2,a),c(0,a,a),所以a1m=(0,a2,a),a1d=(-a,0,a),dc=(0,a,0).设平面a1md的法向量为n=(x,y,z),则由na1m=0,na1d=0,得a2y+az=0,-ax+az=0,即y+2z=0,x=z,令x=1,则y=-2,z=1,所以n=(1,-2,1)为平面a1md的一个法向量.所以点c到平面a1md的距离等于|dcn|n|=|10+(-2)a+10|12+(-2)2+12=2a6=63a.故选a.二、填空题7.在长方体abcda1b1c1d1中,ab=3,bc=2,aa1=1,则异面直线ba1与cb1所成角的余弦值为.解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则各点的坐标分别为a(2,0,0),b(2,3,0),c(0,3,0),a1(2,0,1),b1(2,3,1),则ba1=(0,-3,1),cb1=(2,0,1),cos=1105=210,即得异面直线ba1与cb1所成角的余弦值为210.答案:2108.如图所示,在正方体abcda1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=2a3,则mn与平面bb1c1c的位置关系是.解析:如图所示,分别以c1b1、c1d1,c1c所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.a1m=an=23a,m(a,23a,a3),n（23a,23a,a）,mn=（-a3,0,23a）.又c1(0,0,0),d1(0,a,0),c1d1=(0,a,0),mnc1d1=0,mnc1d1.c1d1是平面bb1c1c的法向量,且mn平面bb1c1c,mn平面bb1c1c.答案:平行三、解答题9.(2012年高考新课标全国卷)如图,直三棱柱abca1b1c1中,ac=bc=12aa1,d是棱aa1的中点,dc1bd.(1)证明:dc1bc;(2)求二面角a1bdc1的大小.(1)证明:不妨设ac=bc=12aa1=1.又d为aa1中点,a1d=ad=1,dc1=2,bc1=5,bd2=3=ad2+ab2,ab2=2=ac2+bc2,acb=90,即bcac,又bccc1,bc平面acc1a1,又dc1平面acc1a1,dc1bc.(2)解:由(1)知ca、cb、cc1两两垂直.分别以ca、cb、cc1为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则b(0,1,0),d(1,0,1),a1(1,0,2),c1(0,0,2),bd=(1,-1,1),bc1=(0,-1,2),设平面bdc1的一个法向量n=(x,y,z).则bdn=0,bc1n=0,即x-y+z=0,-y+2z=0.令z=1,则y=2,x=1,即n=(1,2,1).可取平面a1bd的一个法向量m=(1,1,0),cos=mn|m|n|=362=32,又二面角a1bdc1为锐二面角,该二面角的大小为6.10. 在四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pa=ad=4,ab=2.以ac的中点o为球心、ac为直径的球面交pd于点m,交pc于点n.(1)求证:平面abm平面pcd;(2)求直线cd与平面acm所成的角的大小;(3)求点n到平面acm的距离.(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系,则a(0,0,0),p(0,0,4),b(2,0,0),c(2,4,0),d(0,4,0),m(0,2,2),ab=(2,0,0),am=(0,2,2),设平面abm的法向量n1=(x1,y1,z1),n1ab=0,n1am=0.2x1=0,2y1+2z1=0,可取n1=(0,1,-1).pd=(0,4,-4),cd=(-2,0,0),设平面pcd的法向量n2=(x2,y2,z2),n2pd=0,n2cd=0.4y2-4z2=0,-2x2=0,可取n2=(0,1,1).n1n2=1-1=0,n1n2.平面abm平面pcd.解:(2)由(1)得ac=(2,4,0),am=(0,2,2),cd=(-2,0,0),设平面acm的一个法向量n=(x,y,z),由nac,nam,可得2x+4y=0,2y+2z=0,令z=1,则n=(2,-1,1).设所求角为,则sin =|cdn|cd|n|=63,所求角的大小为arc