线性代数居余马第2章 矩阵.ppt

第2章矩阵 2 1高斯消元法 求解n个未知元m个方程的线性方程组 m n 一般用代入消元法或加减消元法 化为容易求解的同解方程组 消去x2 得 x3 2 例1用加减消元法解三元一次方程组 x1 2x2 5x3 2 2x1 3x2 4x3 11 4x1 7x2 17x3 7 解 2 4 消去x1 得 7x2 14x3 7 x2 3x3 1 将x3 2代入 得x2 5 将它们代入 得x1 2 所以原方程组的解为x1 2 x2 5 x3 2 阶梯形 方程组 与原方程组是同解方程组 x1 2x2 5x3 2 7x2 14x3 7 x3 2 方程组的系数排成的数表 定义 数域F中的m n个数aij i 1 m j 1 n 排成m行n列的数表 称为数域F上的一个m n矩阵 简记为 aij m n 其中aij叫做矩阵第i行 第j列的元素 aij都是零的矩阵称为零矩阵 记作0 当m n时 称为方阵 或n阶矩阵 a11 a22 ann叫做方阵的主对角元 n个未知元m个方程的线性方程组 A b A称为方程组的系数矩阵 A b 称为增广矩阵 例2求解线性方程组 c 第 行乘常数c k第 行乘k加到第 行 第 行与第 行对换 对增广矩阵 A b 作 A b 1 3 2 代入 可解出全部解 x1 1 k1 7k2x2 k1x3 2 4k2x4 1 3k2x5 k2 k1 k2为任意常数 行简化阶梯形矩阵 对应的同解方程组 3个方程 5个未知数 任取x2 k1 x5 k2 x x1 x2 x3 x4 x5 T 1 k1 7k2 k1 2 4k2 1 3k2 k2 T 当方程组中常数项b1 b2 bm 0时 称为齐次线性方程组 否则叫做非齐次线性方程组 k1 7k2 k1 4k2 3k2 k2 k1 k2为任意常数 把例2的右边改为零得到的齐次线性方程组的行简化阶梯形矩阵和同解方程组为 x x1 x2 x3 x4 x5 T 其中 k1 k2为任意常数 和 其全部解为 方程组的解也可以写成向量形式 称为解向量 组无解 称为不相容方程组 有解的方程组称为相容方程组 x1 x2 x3 1 x1 2x2 5x3 2 2x1 3x2 4x3 5 例3判断下列线性方程组是否有解 解 1 1 2 1 最后一行表示的方程是0 x1 0 x2 0 x3 2 显然无解 故原方程 高斯消元法在消元过程中 会揭示出多余方程和矛盾方程 一般线性方程组的增广矩阵经消元变换可化为行简化阶梯形矩阵 为便于讨论 不妨设化为如下的形式 其中cii 1 i 1 r 在有解的情况下 1 当r n时 有唯一解 x1 d1 x2 d2 xn dn 2 当r n时 有无穷多个解 方程组 有解的充要条件是dr 1 0 xr 2 xn取作自由未知量 xr 所对应的方程组即可求得全部解x x1 x2 xn 齐次线性方程组总是有解的 r n时 只有零解 即x1 xn 0 当r n时 有无穷多解 求解的方法同上 行简化阶梯形矩阵中每行第一个非零元cii i 1 r 所在列对应的未知量x1 x2 xr为基本未知量 其余的xr 1 令xr 1 k1 xr 2 k2 xn kn r为任意常数 代入 式 线性方程组的解的基本问题是 有解的条件 对于齐次方程组则是有非零解的条件 以及解的结构 如果齐次线性方程组中m n 即方程个数小于未知量个数 则必有无穷多个非零解 解的表达式不是唯一的 但无穷多个解的集合是相同 用不同的消元步骤将增广矩阵化为阶梯形矩阵时 其形式不是唯一的 但行简化阶梯形矩阵非零行的行数是唯一的 若方程组有解 解中任意常数的个数是相同的 这些结论要用到矩阵的秩和向量组的线性相关性的理论 2 2矩阵的加法数量乘法乘法 2 设 F 与A的数量乘积为 A aij m n B bij m n A B A B 2 2 1矩阵的加法与数量乘法的定义 定义 1 设A aij m n B bij m n 则A与B之和为A B aij bij m n A B必须同型 都是m行 n列 加法满足 A B B A 交换律 A B C A B C 结合律 A 0 A 0为零矩阵 A A 0 数乘满足 1A A A A A A A A B A B 为数 2 2 2矩阵的加法与数乘满足的运算规则 定义设A aij p m B bij m n 乘积AB C cij 是一个p n矩阵 它的第i行 第j列元素为 当且仅当A的列数等于B的行数时 乘积AB才有意义 否则A不能左乘B 例1 2 2 3矩阵的乘法 这是A的第i行和B的第j列中对应的m个元素的乘积之和 例3 例2 A 0 B 0 AB 0 AB BA 注意 矩阵的乘法不满足交换律 一般AB BA 乘法满足以下运算律 1 AB A B A B 是数量 3 A B C AB AC 左分配律 4 B C P BP CP 右分配律 2 AB C A BC 结合律 5 若A B均为n阶方阵 则 AB A B 证明见后面的定理2 1 由AB 0 不能推出A 0或B 0 由AB AC和A 0 不能推出B C 乘法不满足消去律 因为AB AC AB AC 0 分配律 A B C 0 由此 不能由A 0 推出 B C 0 即B C 证明 2 AB C A BC 设A aij m n B bij n p C cij p r 则 AB C与A BC 都是m r矩阵 所以 AB C A BC 交换和号顺序 只需证明 i 1 m j 1 r 有 n阶单位阵I 或E 数量阵 I 是数量 n阶单位阵I及数量矩阵 I与任意n阶矩阵A相乘可交换 即 E A A E A 1 diag a1 a2 an 2 diag b1 b2 bn 1 2 2 1 diag a1b1 a2b2 anbn 常见的特殊矩阵 方阵 对角阵 diag a1 a2 an 两个对角阵 1 2乘积仍为对角阵 即 上 下 三角矩阵A B 的定义 在主对角线之下 上 的所有元素都是零 即当i j时 aij 0 i j时 aij 0 的矩阵 称为上 下 三角矩阵 简记为 例4两个上 下 三角阵A与B的乘积AB仍是上 下 三角阵 且其主对角元 AB ii aiibii C AB cij n n C为上三角阵 0 aiibii aiibii 线性方程组 用矩阵等式表示为 其第i个方程 线性方程组可以 Ax b 定理2 1设A aij n n B bij n n都是n阶矩阵 则 AB A B A B 证 a11 a12 a1n j 1 2 n 照此 将A的各行都化为0 例5 解 由于 AT A 得 A 2 A AT AAT A 中 a4的系数 主对角元 符号为 所以 取 例6 其中Aij是 A 中aij的代数余子式 证明 A 0时 A A n 1 证 设AA C cij 其中 A A AA A n 由 A 0 得 A A n 1 方阵的幂和方阵的多项式 Ak AA A k个 p A amAm am 1Am 1 a1A a0E称为矩阵A的多项式 其中 ak R 实数集 k 0 1 2 m A0 E 当k m n为正整数时AkAm Ak m Ak m Akm 若p x 是x的m次多项式 p x amxm am 1xm 1 a1x a0 R时 有二项式定理 当A B为同阶方阵时 若AB BA 则 若AB BA 则 AB k AkBk 若AB BA 则 AB k AkBk 若f x g x 都是多项式 则 f A g A g A f A 为组合数 A B 2 A B A B A2 AB BA B2 A B A B A2 AB BA B2 A2 2AB B2 A2 B2 但其逆不真 但也有可能 AB k AkBk 定义2 11把矩阵A aij m n的行列依次互换得到n m矩阵 称为A的转置矩阵 记作AT aTji n m 其中aTji aij i 1 2 m j 1 2 n 即 2 矩阵的转置运算满足以下运算律 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 kA T kAT k是数量 4 AB T BTAT 5 AT A A1A2 An T AnT A2TA1T 2 3矩阵的转置 证明 4 AB T BTAT j 1 s i 1 m 设A aij m n AT aTji n m B bij n s BT bTji s n 则 AB T与BTAT都是s m矩阵 且 故 AB T BTAT A为对称矩阵的充要条件是AT A 定义2 12设A aij n n 如果 i j 1 n aji aij 则A称为反对称矩阵 aji aij 则A称为对称矩阵 n阶反对称矩阵A的主对角元都为零 因为由aii aii即得aii 0 i 1 2 n A为反对称矩阵的充要条件是AT A 必须注意 两个对称矩阵A和B的乘积不一定是对称矩阵 因为 AB T BTAT BA而BA不一定等于AB 例1设A是m n矩阵 则ATA和AAT都是对称矩阵 因为ATA是n阶矩阵 且 ATA T AT AT T ATA 同理AAT是m阶对称矩阵 例2设A B分别是n阶对称和反对称矩阵 则AB BA是反对称矩阵 因为 AB BA T BTAT ATBT B A A B AB BA 定义2 13设A为n阶方阵 若存在n阶方阵B使得BA AB I 则称矩阵A是可逆的 称B为A的逆矩阵 记作B A 1 或B是可逆的且A B 1 如单位矩阵I是可逆的 且I 1 I 因为I I I 2 4可逆矩阵 定理2 2若A是可逆矩阵 则A的逆矩阵是唯一的 证 即BA AB CA AC I 则 B BI B AC 设B C都是A的逆矩阵 BA C IC C 定义2 14设A aij n n Aij是detA中aij的代数余子式 称cofA Aij n n为A的代数余子式矩阵 其转置矩阵 A cofA T A 称为A的伴随矩阵 即 AA A A A I 注意 充分性 用构造性证法 若 A 0 由 定理2 3矩阵A可逆的充要条件是 A 0 证必要性 若A可逆 则存在B使得AB I 于是 AB A B I 1 故 A 0 AA A A A I 所以 推论1 设A B都是n阶矩阵 且AB I 则BA I 即 A B都可逆 并互为逆矩阵 证 由AB I 得 AB A B I 1 即A B都可逆 AB I A 1 AB A A 1IA I 即BA I 故 A 0 B 0 上 下 三角阵可逆的充要条件是主对角元全部不为零 推论2 得 注意 A B都可逆 而A B不一定可逆 即使A B可逆 也有 A B 1 A 1 B 1 例1 是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 解 A11 3 A12 4 A13 5 A21 3 A22 0 A23 1 A31 1 A32 4 A33 3 A 4 0 A可逆 非奇异 B ad bc 当ad bc 0时 B可逆 其逆矩阵为 C 0 故C不可逆 可逆矩阵的运算性质 A B为n阶可逆矩阵 数k 0 A A n 1 A 1 1 A kA 1 k 1A 1 AB 1 B 1A 1 AT 1 A 1 T A 1 A 1 A1A2 Ak 1 Ak 1A2 1 A1 1 Ak 1 A 1 k A k A1 A2 Ak均可逆 证 kA k 1A 1 kk 1 AA 1 1I I AB B 1A 1 A BB 1 A 1 AIA 1 AA 1 I 因为 AA A I A A A n A A n 1 由AA 1 I 得 AA 1 T A 1 TAT I AT 1 A 1 T 由AA 1 I 得 A A 1 1 A 0 A 1 A 1 证 由B A I B2 A I 2 A2 2A I及B2 B A I得A2 2A I A IA2 3A A A 3I 2I 即A 3I A 2 I据定理2 3推论 A可逆 且A 1 3I A 2 例3 设方阵B为幂等矩阵 即B2 B A I B 证明A是可逆阵 且A 1 3I A 2 例4 主对角元都是非零数的对角阵是可逆的 且 注意 证设AT A 则 A 1 T 同理可证明反对称阵的情况 因为AT A 所以 A AT A 例5设A为n阶可逆对称 反对称 矩阵 R 0 则 A 1也是对称 反对称 的 AT 1 A 1 A T 1 即 A 1也是对称矩阵 注意 若A是n阶反对称矩阵 n为奇数 则A不可逆 1 n A A 当n为奇数时 有 A 0 A不可逆 证要证A可逆 即证 A 0 当A AT时 由ATA A A A I 知 例6已知A为非零n阶实矩阵 当A AT时 证明 A为可逆矩阵 A 0 ATA 0 例7 若A B C D均为n阶矩阵 且ABCD I n阶单位阵 以下哪个成立 解 ABCD I 根据矩阵乘法满足结合律和定理2 3的推论 由于 A BCD I BCD A I A 成立 AB CD I CD AB I CDAB I F 成立 4 I A 1 4 diag 2 1 2 1 例8 已知A diag 1 2 1 且A BA 2BA 8I 求B 解先化简 由A BA 2BA 8I 得 A 2I BA 8I B 8 A 2I 1A 1 8 A A 2I 1 8 AA 2A 1 8 2I 2A 1 A 2 4diag 2 1 1 2 1 所以 B diag 2 4 2 BCDA I B CABD I C BACD I D CBAD I E BCAD I F CDAB I 例9设A可逆 且A B A 1 B 证明B可逆 当 时 求B 解由A B A 1 B A 1 IB得 A I B A 1 因为 A I B A 1 0 所以 B 0 B可逆 B A I 1A 1 A A I 1 A I A 1 例9 2 A 1 A 1 A 1 1 已知 n阶矩阵A B均可逆 证明 1 AB B A 2 A 1 A 1 3 AT A T 证由 当成公式 1 AB AB AB 1 B B 1 A A 1 A A 1 1 3 AT AT AT 1 A A 1 T A B B 1A 1 A 1A A A 1 T A 1 B A A T 倍乘行 列 变换 以非零常数c乘矩阵的某一行 列 2 倍加行 列 变换 将矩阵的某一行 列 乘以非零常数k加到另一行 列 3 对换行 列 变换 将矩阵的某两行 列 位置对换 统称为矩阵的初等变换 3 初等对换矩阵Eij 将单位矩阵的第i j行 或列 对换 将单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵 三类初等矩阵为 1 初等倍乘矩阵Ei c 将单位矩阵第i行 或列 乘c Ei c diag 1 1 c 1 1 2 初等倍加矩阵Eij k 将单位矩阵第i行乘k加到第j行 或将第j列乘k加i列 2 5矩阵的初等变换和初等矩阵 三种初等矩阵左乘矩阵A是对A作相应的初等行变换 三种初等矩阵右乘矩阵B是对B作相应的初等列变换 例1 Ei 1 c Ei 1 c Eij 1 k Eij k Eij 1 Eij 初等矩阵都是可逆矩阵 且逆矩阵都是同类初等矩阵 因为对初等矩阵再做一次同类型的初等变换都可化为单位矩阵 Ei 1 c Ei c E Eij k Eij k E EijEij E 例2设4阶初等矩阵P1 E13 P2 E14 c P3 E2 k 求P1P2P3和 P1P2P3 1 解P1PP3 E13E14 c E2 k E14 c E2 k 是E2 k 的第1行乘c加到第4行 P1P2P3 1 P3 1P2 1P1 1 E2 k 1 E14 c E13 P2P3 E14 c E2 k P1P2P3 E13P2P3 是P2P3的第1行与第3行对换 所以 E14 c E13是E13的第1行乘 c加到第4行 例3将三对角矩阵 分解成为主对角元为1的下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积 即A LU 称为矩阵的LU分解 解利用倍加初等变换把A变为上三角矩阵 其中 定理2 4可逆矩阵可以经过若干次初等变换化为单位矩阵 证明由上例可知利用初等变换可以把A化为上三角矩阵 当A可逆时 继续做初等变换 可以把A化为单位矩阵I 即Ps P2P1A I 由Ps P2P1A I得 A 1 Ps P2P1 Ps P2P1I 和 初等阵的逆矩阵仍然是初等阵 结论 1 可逆矩阵可以表示为若干初等矩阵的乘积 2 对A做若干初等变换 将A化为单位矩阵I时 同样的这些初等变换将单位矩阵I化为A 1 也可用初等列变换求A的逆矩阵 用初等行变换求A的逆矩阵 例4用初等行变换求矩阵A的逆矩阵 解 解因为BX 2X BX 2IX AT 即 B 2I X AT 例1一个5阶矩阵可用纵横垂直的两条线将其分成4块 构成一个分块矩阵 即 其中 E3为3阶单位矩阵 0为2 3零矩阵 一般地 对于m n矩阵A 如果在行的方向分成s块 在列的方向分成t块 就得到A的一个s t分块矩阵 记作A Akl s t 其中Akl k 1 s l 1 t 称为A的子块 将A aij m n按行分块或按列分块为 2 6分块矩阵 对角块矩阵 又称准对角矩阵 其中Aii i 1 2 m 是ri阶方阵 Aij 0 i j 下面讨论分块矩阵的运算 分块矩阵的加法设分块矩阵A Akl s t 分块矩阵的数量乘法设分块矩阵A Akl s t 是一个数 则 A Akl s t 如果A与B的对应子块Akl和Bkl Bkl s t 都是同型矩阵 则A B Akl Bkl s t 3 分块矩阵的乘法 设A aij m n B bij n p 如果把A B分别分块为r s和s t分块矩阵 且A的列的分块法与B的行的分块法相同 则 其中Ckl Ak1B1l Ak2B2l AksBsl k 1 2 r l 1 t 例对例1所给的矩阵A 用分块乘法求A2 解 计算 代入得A2 例2设A是m n矩阵 B是n s矩阵 将B按列分块为1 s分块矩阵 将A视为1 1分块矩阵 则 例3若n阶矩阵C和D分块成同型对角块矩阵 即C diag C1 C2 Cs D diag D1 D2 Ds 其中Ci和Di是同阶方阵 i 1 2 s 则CD diag C1D1 C2D2 CsDs 例4证明 n阶可逆上三角矩阵A的逆矩阵也是上三角矩阵 证对n作数学归纳法 n 1时 a 1 1 a 结论成立 假设命题对n 1阶可逆的上三角矩阵成立 对n阶矩阵A 设B为A的逆矩阵 并把A B分块为同样的2 2分块矩阵 即 AB A B1 B2 Bs AB1 AB2 ABs 其中A1是n 1阶可逆的上三角矩阵 B1是n 1阶矩阵 由A1 0得 A1 10 0 由A1B1 In 1 得B1 A1 1 A 1 B是上三角矩阵 根据归纳假设 B1是上三角矩阵 所以 所以 分块矩阵A Akl s t的转置AT为t s分块矩阵 记AT Blk