四年级数学思维训练--数列求和问题.doc

让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education 四年级数学思维训练 数列求和问题德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。下面介绍有关等差数列的概念。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。例如：（1）5，6，7，8，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）4，12，20，28，804；（4）1，4，8，16，256。其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项首项）公差1，末项=首项公差（项数1）。【典型例题】例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请说明公差，若不是，则说明理由。（1）6， 10， 14， 18， 22，98；（2）1， 2， 1， 2， 3， 4，5，6；（3）1， 2， 4， 8， 16，32， 64；（4）9， 8， 7， 6， 5， 4， 3，2；（5）3， 3， 3， 3， 3， 3， 3；例2、求1231999练习：（1）123767778 （2）135959799例3、求11121331练习：261014202206210例4、求371199练习：（1）4710292295298 （2）81522293671。例5、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。练习：求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。例6、计算（1）20003695154 （2）（2469698100）（135959799）（3）199119981985198211852练习：（1）4000123767778 （2）560557554551500497（3）2041981921862418126例7、某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，, 第十五名并列15人,问得奖的一共有多少人?练习:小明计算从1开始的若干个连续自然数的和,结果由于粗心把1当10来计算,得错误结果恰好是100,他算的是那些自然数的和?例8、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？练习：用相同的立方体摆成如图的形式，如果共摆成10层，那么最下面一层有多少个立方体？例9、 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？巩固练习1.计算下列各题：（1）246200； （2）17192139；（3）58111450； （4）3101724101。2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？参考答案1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。2.1127。 提示：项数=（93-5）4+1=23。3.2565。 提示：末项=13+5（