薄板分析的一种离散条法.pdf

第 卷第 期 年 月 固体力 学学报 迟丽华 8天津大学计算 中心 天津 99 9 摘要建立薄板分 析的一种离散条法 该方法通过引入满足边界条件的正交形函数 将目 前用于梁 杆等一维结构系统的离散元法扩展应用于薄板的力学分析 关键词薄板 力学分析 离散 条法 引言 目前用 于结构分析的离散化方法 主要有 有限单元 法 有限条法和离散元法红 一 有限 元法和有限条法是我们所熟知的 3 离散元法是将由梁杆 构成的结构 系统划分为 有限个无质 刚性单元 假定结构的变形应变能全 部集中于单元连结点处 3 本文引伸离散元法的基 本概 念 将连续板离散为由弹性结线连接的 孔 个刚性板条 各板条的变形应变能全部集 中于弹性 结线上 建立了薄板分析的离散条方法 3 离散化模型 对 图 所示矩形板 沿 二 方向用 虚线将其划分为 儿 个板条 各板条宽度为 条弹性结线8实线 连接的 一2个 刚性板 条 3 弹性结线轴向弯曲刚度和扭转刚度分别为 力巧矛 82一 了 二 矛 82 8 3 以囚目 仁工王 七土生进马 阵一一 一 一 图 离散模型 卜舟里扛 车一 侧六 图 离散方 向变形 图 下 2 司 临 3 口伪 长长 七 从 一 沿离散方向弹性结线的转 角刚度和扭转刚度根据变形 能等效原则 确定 分别为 一 一 收到第 矛 8 8 3 图 所示 为离散板模型沿离散方 向的变形 图 第自板条的转角可表示为 1 二 卜 8 一 8 4 8 2 一 写 成矩阵形式 口 一 第 条弹性结线的转角变形 可表示为 甲 一 9 一队一 一 8 一 一 十 切 2 4 8 一2 写成矩 阵形 式 树 刃 第 条弹性结线绕离散方向的扭转变形可表 为 8 8 一 甲朽 一 万丁一万了 俐 一一 石了 一 一二兀 夕 夕 气 叭一 劝 3 呱 一 十 女 8 儿 一 写成矩 阵形式 甲 一 仁 叫等 8 第 条弹性结线的挠度 切 是 的函数 可设为以下级数形 式 切8 一 艺 二 介8 8 式中 8妇为满足 边 界条件的第 个形函数 本文以梁 自由振动 的各 阶振型函数作为形函 数 3 戈 为相应 于第 条结线 第 个形函数的广义 坐标 3 离散系统的变形能 结线 沿轴 向的弯矩和弯曲应变能分别为 一一几切产8妇一 从称 外 厂 一 要 切 8 乙 8 将式8钓代入上 式 利用形函数 8妇的正交性质 可得 儿 条 结线的 总变形 能 为 一 客 一 合 客 仁 介 8夕 夕 天 万仁 天 止 冬交 8 8 二 乙 之或 8 其中 刃 4 刀 刀 为对角阵 天 3 二 仁 刀二 仁 3 一 4 一 黔 叹 8 一 去际 乙 2 长 6 2 固体力学学 报 年 第 卷 仿照前面方法 可得 材 条结线的总变形 能 为 一 吝 一 合 客 丁 仁 8 万仁 森 音咨丁 8 8 巨 左 其中 天 乙 二下 其中 3 刀 8 8 9 8 8 其中 天 一 了 场 一 4 肠 3 肠 3 基本方程的建立 设作用于第 条结线上 在区间 弘 弘 范围的线分布力为 8夕 8妇产 生的势能为 一 8 条结线上分布力产 生的总势能为 一 一 艺价 一 习 止 8 其 中 向量 妇 中的元素为 一 8 系统的总势能为 必一 二 打 二 根据最小势 能 原理 可建立静力分析基 本方程 弋 宁 8无 其中 0 3 5 8 二 尤 二 仁 兀 二 一 仁 丁 仁 介8 一 仁 丁 走 8 一 丁 8 一 丢 8 第 期长元战等 薄板分析的一种离散条 法 一 天 丁 8 论 8 方程8 有 儿 个未知 量 3 由该方程 可求出 尹 个广义自由度向量 将其代入前面的相 应公式 可求出板的挠度 和 内 力 3 同样 可推导 出用离散条法进行动 力分析 稳定性分析 的基本方程 3 算例 例 3 四边简支矩形板 边 长分别 为 受 均布荷载 作 用 3 表 给出了计算结果 表 均布荷载四边简支矩形板的最大挠度和弯矩8 一9 3 本文解 精 确 解 2 84 万 8刀 盯 8刀 二 84 万 二 8声 万 4 8刀 3 99 3 9 礴 9 3 9 9 3 9 99 3 9 9 3 9 9 3 9 99 3 9 9 3 9 9 3 9 9 3 9 9 3 9 9 3 9 3 99 3 9 3 9 9 3 9 3 99 3 9 9 3 3 99 3 9 3 9 9 3 9 3 99 9 3 注 一礼 丫瓦万丙石 其中 为板的抗挠刚 度 为单位面积质量 为边长 3 表 给出 了 标计算结果 3 表 四边固支正方形板各阶 自振频率参数匆 8 9 3 一一一里止娜鱼 渔上一一一一一一进彭一鱼一竺生一一一一 一2 3 精 确 解 一 一 3 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 3 3 3 3 9 9 3 3 9 3 9 9 3 9 乙 勺 曰 例 3 矩 形板边 长分别为 2 垂 直于 二 一 及 二 一 两 边作用有线分布荷载洲 其中鲡 一 兀 8 丫 8 一尸 2 3 表 给 出 了最小 临 界荷载系数肠 的计算结果 表 矩形板 最小临界荷载系数踢 乙 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 3 9 本文解 精确解 本文解 精确解 3 3 3 3 礴 3 3 3 3 9 3 99 3 9 3 四边简支 3 两边简 支两边固支 3 3 在以上计算中 将板划 分 了 9 个板条 挠度表达 式中的级数取 项 固体力学学报 年 第 卷 结语 文中提出的离散条方法简单易行 通过计算机实现很方便 3 与有限条方法 相比 在划分 相同数目的板条情况下 本文方法比有限条方法的 自由度少一倍 精度并不降低 3 参考文献 4 3 一 6 1 4 3 6 4 5 1 4 6751 76 1 4 1 6 4 4 76 62 2 5 6 71 3 6 67 6 1 8 7 7 4 8 1 2 妙 视 即 54 6 6 56 6 5 6 71 1 5 4 42邓 1 7 24 6 51 1 6 7 胆 65 3 76 6 71 6 621 6 4 6 1 7