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初等数学常用公式一、 乘法公式与二项式定理（1）（2）（3）（4）；（5）二、因式分解（1）（2）；（3）三、分式裂项（1） （2）四、指数运算（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）五、对数运算（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）六、排列组合（1） （约定）（2） （3）（4） （5）第一节 绝对值 比和比例 平均值一条件充分性判断两个命题A B总条件 结论论（1） （2）题干条件解题说明：本大题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论。阅读条件（1）和条件（2）后选择：（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分（B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分（C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分（D） 条件（1）充分，条件（2）也充分（E） 条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分例2、成立 （1） （2）注意：很多同学在解这类题型的时候，习惯于受传统解题思维的影响，往往从题干的结论出发，这样得出来的条件往往是必要条件，而不是充分的，如果刚巧得出来的必要条件就是充要条件的话，那么可能会得出正确答案，如果不是充要条件的话，答案就可能不正确了。二、绝对值1、定义 实数的绝对值记作。2、几何意义 一个实数在数轴上所对应的点，到原点的距离就是这个数的绝对值。 a 0 x 3、性质（1）非负性 （2）等价性 （3）对称性 4、常用的运算法则（1）（2） （3） 当且仅当时，成立，当且仅当时，成立。（4），当且仅当 时，等式成立。（5）5、非负数（1）（2）（3）若有意义，则且非负数有下面两个易见的性质，在解题时常常要用到：（1）有限个非负数之和仍然是非负数；（2）如果有限个非负数之和等于零，则每一个非负数都必须等于零，即若 其中则例1成立 （1） （2）例2已知求的值。例4 实数满足条件则（ ） （A） （B） （C） （D） （E） 解：由已知条件有 即 所以，从而，答案为 C例5 关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） （E）解：，即使时，原不等式仍然无解，故时解集为，答案为B例6 等式成立（1） （2） 解：用 显然条件（1）、（2）单独都不充分，联合起来充分，故选C三、比和比例1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比，把和的比（记为a:b或2、 比的性质：3、 百分比：把比值表示为分母100分数，这个比叫百分比（百分率）比如：1：2=50%4、 比例：两个比相等的式子叫做比例。 记为 a.d为比例外项，c,d为比例内项。若b=c 则有此时b叫做比例中项5、 比例的性质:） （3）（4）（分比定理） （5）6、 正比例和反比例：正比例：如果变量X和Y ，适合下面的关系，Y=KX（K0是比例系数），则X与Y成正比例。反比例：如果变量X和Y，适合下面的关系，Y，是比例系数），则X与Y成反比例。例1：且x+y+z=74 求y的值。例2： 一批产品中，一等品与二等品的比为4：1，又知二等到品与三等品的比为5：3，一等品与二等品为合格品，求这一批产品的合格率。解：一等品：二等品=4:1=20:5 二等品：三等品=5:3 一等品：二等品：三等品=20：5：3 合格率为例3：已知解：设=t x=2t y=3t z=4t 例4：已知y=成正比，与x成反比例，当x=1或x=-2，y的值为15，求当X=2时，Y的值是多少？解： （2）- （1）得： 分数和百分数应用题1、某工程队原计划用6天时间挖水渠800米，结果前两天就完成了计划的40%，按照这个进度施工，则可以提前（ ）天完工。A5 B4 C3 D2 E12、某商品单价上调10%后，再降为原价，则应下降的百分比为（ ）A9% B11% C13% D15% E17%3、某车间生产一批机器，原计划每天生产32台，10天可以完成任务，实际提前2天完成了任务，则平均每天增产了（ ）A20% B25% C30% D35% E40%解：从题中可知，这批机器的总量为320台，实际只用了8天时间，所以每天平均生产了40台，比原计划每天多生产了8台，故增产了即25%，答案为B四、平均值1算术平均值：2.几何平均值：简单性质：如果N个数据彼此都相等 则可以证明：以上各式中为例1、某笔厂生产三种不同规格的圆珠笔一批，其中有6000支单价为3元，3000支单价为5元，1000支单价为10元，求这批圆笔平均价格。例2、某班同学外语平均成绩为分，男生人数比女生人数多，而女生平均分比男生多，求女生的平均成绩。解：设女生人数为，则男生人数为 女生平均分为,男生平均分为则有： 故女生均分为1.270=84分例3、车间共有40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（ ）人。A16 B18 C20 D24第二节 方程与不等式一、一元一次方程：最简形式 ax=b(a0)形如 ax=b 的方程的求解方法 a0 x=b/a a=0 ，b0时 ,不存在x值使等式成立，原方程无解a=0，且b=0时，即0x=0, 则x为全体实数二、一元二次方程：1、标准形式为：ax2+bx+c=0(a0)2、解法： 因式分解法：把方程化为形如的形式，则解为如：6x2+x-2=0(2x-1)(3x+2)=0x1=1/2 x2=-2/3 配方法： 公式法：将配方后的结果直接用做公式使用。三、一元二次方程的判别式：a2+bx+c=0 (a0) =b2-4ac当0时，有两个不相等的实数根。当=0时，有两个相等实数根。当0时，方程无实根。四、一元二次方程根与系数的关系：设的两根为，则有五、绝对值不等式与一元二次不等式1绝对值不等式(1)不等式的基本性质不等式的基本性质有三条： (2)解|x|a类型的不等式以和和为例，由绝对值的定义，结合数轴，不等式 表示数轴上的点到原点的距离小于2的点的集合数轴上表示如图： 因此不等式 的解集为 同理，不等式 表示数轴上的点到原点的距离大于2的点的集合数轴上表示如图： 由此可得：；若 则 的解集为R；若 时，则 的解集为 (3)|ax+b|c这两种类型的不等式解法则有： 通过以上变形去掉绝对值符号 2一元二次不等式(1)一元二次不等式的定义含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是： ，或（a0）(2)二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系判别式0=00）x|xx2x|xR,且x实数集R（a0）二次项系数是负数（即a0）的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集 重要题型分析题型一 一元二次方程和韦达定理 韦达定理的常见变形例1、设方程 则在下列方程中，根是原方程的各根的立方的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） （E）以上结论均不正确解：设原方程的两根为，新方程的两根为，则于是从而知所对应的方程为，所以本题答案为（C）例2、一元二次方程的两个根之差为4（1） (2) 题型二 一元二次方程根的判定一般情况，对于方程（1）方程有两个正根 （2）方程有两个负根（3）一正一负根，特别正根绝对值比负根绝对值大时，负根绝对值比正根绝对值大时，（4）方程的根落在某区间，可用图像法直观解题例1、 例2、关于的二次方程的两个根一个比1大，一个根比1小，求的取值范围。例3、要使方程的两根分别满足,实数的取值范围应是（ ）A B CD E例4、当时，方程的根的情况是（ ）A两异号根且负根绝对值大 B无实根 C两负根D两异号根且正根绝对值大 E以上结论均不正确题型三 不等式对任意实数x恒成立问题不等式对任意一切实数x恒成立的充要条件是：或不等式对任意都成立，或 例1. 例2、不等式对一切实数x恒成立，求m的取值范围。解：（1）当时，不等式不满足对一切实数x恒成立，故。（2）当时，有即时，不等式对一切实数x恒成立。题型四 不等式的解法例1. 解下列不等式：（1） （2） 解析：（1）原不等式即 解得： 原不等式的解集是 （2）原不等式可化为 或 解得： 或 原不等式的解集为 反思回顾：（1）题最后是求两个不等式解集的交集，因为原不等式成立的含义是得到的两个不等式都必须成立，而（2）题最后是求并集，是因为得到的两个不等式只要有一个成立即可要注意何时求交集，何时求并集在确定两个解集的公共部分时可以画数轴帮助寻找例2解不等式：（1）（2）（3）解析：（1）令 抛物线开口向上，方程 的两根是 不等式的解集为（2）原不等式化为 ，方程的根是 原不等式的解集为（3） ，方程 有两个相等的实根原不等式解集为 ，