2.1.4.函数的单调性(理).doc

2.4.函数的单调性知识要点梳理1函数单调性的定义：.对于函数的定义域I内某个区间上自变量的任意两个值。若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；若当,则说在这个区间上是减函数.2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2证明函数单调性的一般方法: 定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则在A内为增函数；在A内为减函数3求单调区间的方法：定义法、导数法、图像法4复合函数在公共定义域上的单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.疑难点、易错点剖析1.在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意：一是先求定义域，单调区间是定义域的子集。如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 四要注意函数单调性与奇偶性的逆用。（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）2.确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_(答：）)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数的取值范围是_(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是_(答：且）)；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。如函数的单调递增区间是_(答：（1,2）)。3 一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数直击考点考点一. 函数单调性的证明 例1判断并证明函数的单调性解：在R上是增函数.证明如下：设则 ，,即 （注：关键的判断）在R上是增函数. 锦囊妙计：本题用的是定义法，注意按定义法的步骤进行：取值作差变形定号。考例2.设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。解：（1）依题意，对一切，有，即对一切成立，则，。（2）解法一：(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。解法二：（导数法），在上为增函数。举一反三：讨论函数在(0,+)上的单调性.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,即 在(0,上是减函数.(2)当时，于是0,即1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t, ，要求对称轴，矛盾；当0a1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t,，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.2. 函数在上是增函数，求的取值范围。分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息：对任意的总有；当时，恒成立。解法一：函数在上是增函数，对任意的有，即，得，即， ，要使恒成立，只要；又函数在上是增函数，即，综上的取值范围为。解法二：（用导数求解）令，函数在上是增函数，在上是增函数，且在上恒成立，得考点四. 函数单调性的逆用考例5. 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x0,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1x,又g(x)=3x2+3x4=3(x)2知：g(x)在B上为减函数，g(x)max=g(1)=4.锦囊妙计：在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.举一反三：1.若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为_。解：由得或为奇函数，在上是减函数， 由；由的解集为2.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20.设t=cos,，则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正.当0,即m0m1与m042m4+2,421,即m2时，g(1)=m10m1.m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42.紧扣考纲大演练1(07广州市模拟)下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是（D）A. B C D 2（06北京卷）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（A）(1，+) （B）(-,3) (C)，3) (D)(1,3)解：依题意，有a1且3a0，解得1a3，又当x1时，（3a）x4a35a，当x1时，logax0，所以35a0解得a，所以1a3故选D3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t, ，要求对称轴，矛盾；当0a1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t,，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.二.填空题7.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.解析：令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减.答案：(,18.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x10.又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）9.若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)1.f()f()f(1),f()f()f(1).答案：f()f()f(1)三解答题11（改编题）已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间； 解：(1)由题意，又，所以。(2)当时，它在上单调递增；当时，它在上单调递增。12. (07汕头市模拟) 已知实数a0, 函数f(x)=ax(x2)2 (xR)有极大值8.(1) 求函数f(x)的单调区间, (2) 求实数a的值.17. 解: (1)f(x)=ax34ax24ax f (x) =3ax28ax4a . 令 f (x)=0, 得3ax28ax4a=0, a0, 3x28x4= 0x= 或x=2 a0, 当x(, )或x(2,)时 f (x)0函数f(x)的单调递增区间为(, 和 2,); 当x(, 2), f (x)0 函数f(x)的单调递减区间为, 2.(2) x(, 2),时 f (x)0, x(2,)时 f (x)0f(x)在x=时, 取得最大值. 即a(2)2=8, 解得a= 13.已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f