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3基本不等式3 1基本不等式 学习目标 1 理解基本不等式的内容及证明 2 能应用基本不等式解决比较大小 证明不等式等问题 课堂互动讲练 知能优化训练 3 1基本不等式 课前自主学案 课前自主学案 1 a2 0 2 x 0 3 a b 2 0 a2 b2 2ab 2 成立的前提条件 a 0 b 0 3 等号成立的条件 当且仅当 时等号成立 4 结论 两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 a b 不小于 为什么基本不等式中 a b均为正数 课堂互动讲练 1 利用基本不等式比较大小 常常要注意观察其形式 和与积 同时要注意结合函数的性质 单调性 2 利用基本不等式时 一定要注意条件是否满足a 0 b 0 思路点拨 由已知a b均为正数 且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形 可用基本不等式来解决 名师点评 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件 特殊值法是解决不等式问题的一个有效方法 但要使特殊值具有一般性 利用基本不等式证明不等式时 要充分利用基本不等式及其变形 同时注意利用基本不等式成立的条件 对要证明的不等式作适当变形 变出基本不等式的形式 然后利用基本不等式进行证明 思路点拨 解答本题可先把左边拆开 再重新组合以后连续使用基本不等式证明即可 自我挑战1求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 证明 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 c4 a4 2c2a2 2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 即a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 又a2b2 b2c2 2ab2c b2c2 c2a2 2abc2 c2a2 a2b2 2a2bc 2 a2b2 b2c2 c2a2 2 ab2c abc2 a2bc 即a2b2 b2c2 c2a2 ab2c abc2 a2bc abc a b c a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 abc a b c 含有限制条件的不等式的证明 要将条件和结论结合起来 找出变形思路构造出基本不等式 名师点评 上述证法中 法一是将 1 整体代入 法二是将条件变形代入 巧妙地配凑 然后利用基本不等式进行证明 证法的灵活性关键在于条件的巧用 2 在一个题目
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