【创新课堂】高考数学总复习 专题07 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 .ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 考纲解读 知识汇合 1 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 都垂直 那么就称这条直线和这个平面垂直 其中直线叫做平面的 平面叫做直线的 交点叫做 2 如果一条直线和一个平面内的 都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 任意一条直线 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 3 设l m为直线 为平面 若l m 且l 则 若l 且m 则 4 设l为直线 为平面 若l 且 则 若l 且l 则 5 如果两个相交平面所成的二面角为 则称这两个平面互相垂直 m l m l 直二面角 6 如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面互相垂直 7 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面 8 自平面 外一点p向平面 引垂线 垂足p 叫做点p在平面 内的 一条垂线 垂直于交线 正射线 9 如果一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 那么这条直线叫做这个平面的 直线和平面的交点叫做 10 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的 那么它也和这条斜线垂直 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在 垂直 斜线 斜足 射线垂直 平面内的射线 11 过一点且垂直于一个已知平面的直线条数为 过一点且垂直于一条已知直线的平面个数为 12 从平面外一点向这个平面所引的斜线段中 相等的斜线段其射影长 较长的斜线段其射影 反之亦然 有且只有一条 有且只有一个 相等 较长 考点一直线与直线垂直的判定 例1 如图 cd ea 垂足为a eb 垂足为b 求证 cd ab 证明 cd cd cd 又 ea cd ea cd 同理eb cd ea cd eb cd ea eb e cd 平面eab ab 平面eab ab cd 典例分析 点拨证明空间中两直线互相垂直 通常先观察两直线是否共面 若两直线共面 则一般用平面几何知识即可证出 如勾股定理 等腰三角形的性质等 若两直线异面 则转化为线面垂直进行证明 考点二直线与平面垂直的判定与性质 例2 如图 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc 平面aef 点拨1 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的传递性 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 2 当直线和平面垂直时 该直线垂直于平面内的任一直线 常用来证明线线垂直 考点三平面与平面垂直的判定与性质 例3 如图所示 abc为等边三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 考点四线面角与二面角的求法 例4 如图所示 四棱锥p abcd的底面为直角梯形 ab dc dab 90 pa 底面abcd 且pa ad dc ab 1 m是pb的中点 1 求cd与平面pad所成的角 2 求ac与pb所成角的余弦值 3 求平面amc与平面bmc所成二面角的余弦值 点拨1 求角应注意 一作图 二证明 三求解 2 求二面角 作角是关键的一步 作其平面角的方法主要是利用定义 在棱上任取一点o 分别在两个半平面内作射线oa ob垂直于棱 这样构造的三角形有时不易找到与已知条件的联系 因此要分析图形的结构特点 可在一个半平面内过一个特殊点作与棱垂直的射线 然后再去证明在另一半平面内过棱上垂足的射线与棱垂直 高考体验1 在高考中 垂直关系的考查一般有三种方式 1 考查垂直关系的有关定义 判断及性质 即通过有关命题真假判定直接考查 2 以空间几何体为载体 证明有关线线 线面 面面的垂直关系 3 利用定义结合垂直关系考查线面角 面面角的确定 2 题型一般有两个客观题和一道解答题 难度中等 分值14分左右 1 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 a l与平面 内的两条直线垂直 b l与平面 内无数条直线垂直c l与平面 内的某一条直线垂直d l与平面 内任意一条直线垂直解析 由直线与平面垂直的定义 可知d正确 答案 d2 2011 宣武模拟 已知a b为不同的直线 为不同的平面 a b 则a b a b a b 则 则 a 则a 以上结论正确的是 a b c d 解析 易知 正确 中 可能相交 中 可能有a 答案 a 练习巩固 3 2011 苏北四市联考 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列命题 若m 则m 若m m 则 若 则 若 m n m n 则 其中真命题的序号是 答案 4 设平面 l 直线a 直线b 且a不与l垂直 b不与l垂直 则a与b a 可能垂直 不可能平行b 可能平行 不可能垂直c 可能垂直 也可能平行d 不可能垂直 也不可能平行解析 当a l b l时 a b 假设a b 如图 过a上一点作c l 则c b c 又b a b b l 与已知矛盾 答案 b 5 三棱锥p abc的顶点p在底面的射影为o 若pa pb pc 则点o为 abc的 心 若pa pb pc两两垂直 则o为 abc的 心 解析 当pa pb pc时 oa ob oc o为外心 当pa pb pc两两垂直时 ao bc bo ac co ab o为垂心 答案 外垂 6 如图 已知pa垂直于矩形abcd所在的平面 m n分别是ab pc的中点 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 7 如图 在正三棱锥a bcd中 bac 30 ab a 平行于ad bc的截面efgh分别与ab bd dc ca交于e f g h四点 点a在底面bcd上的射影为点o 1 试判断四边形efgh的形状 并说明判断理由 2 设p点是棱ad上的点 当ap为何值时 平面pbc 平面efgh 请说明理由 8 如图 四面体abcs中 sa sb sc两两垂直 sba 45 sbc 60 m为ab的中点 求 1 bc与平面sab所成的角 2 sc与平面abc所成的角的正切值 9 2011 浙江 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m 则l b 若l l m 则m c 若l m 则l md 若l m 则l m解析 可对选项进行逐个检查 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理 也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查 属中档题 答案 b10 2011 河南模拟 直三棱柱abc a1b1