双曲线 备课资料(一).doc

双曲线 备课资料（一）双曲线是什么？众所周知，它是数学领域里一个完美的对称图形。可是最近又有了新的说法。有人说，双曲线是两只背对着平放的高脚酒杯的形状；双曲线的中间部分像精美的咖啡杯，所以双曲会被有创意的人当作网吧的招牌。有人说，双曲线是乳房的形状，因此它暗示着某些爱情和某些人物。这些爱情，这些人物，就像双曲线本身一样，虽然可以近到极限，却注定不能融合。还有人认为，双曲线其实是手写体的字母“x”，它是众所周知的未知数。所以，它的神秘无与伦比。双曲线到底是什么？唐代诗人李贺在梦天里用“一泓海水杯中泻”描写彗星出现在夜空中的美丽情景。彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出轨道的彗星中，各占40%、11%和49%。如果彗星的轨道是椭圆的，则称为“周期彗星”。如果彗星的轨道是抛物线或是双曲线，则称为“非周期彗星”，它们都是从太阳旁边擦肩而去，一去不复返。几何画板提供了一个十分理想的“做数学”的环境，完全可以利用它来做数学实验。比如下面的实例：画图看看我们可以画一个圆，然后在圆上和圆外各取一点，作其连线的垂直平分线，轨迹跟踪这条直线，再让圆上的点在圆上运动。我们会发现垂直平分线的轨迹的包络线竟是双曲线（图2）；接着，我们可以拖动圆外的点到圆内，则又发现了新内容，其轨迹的包络线又成了椭圆（图3）。在上面的拖动过程中，圆外的点的位置不同，双曲线的形状也不同（点在圆外），椭圆的形状也不同（点在圆内）。进一步，点在圆上和点在圆心各是什么样子呢？通过一个简单的拖动过程，可从一个角度说明椭圆和双曲线是统一的，都是二次曲线，并且还能表示出特例的情况。双曲线无线电导航系统它是根据测出两组电台同时发出的两组不同的无线电讯号所得双曲线交点就是船位的道理，制成的一种无线电导航系统。这种测位方法比较精确、可靠，目前我国在近海、远海航行中都广泛应用了这种设备（见图71）。而在教学过程中具体表现如何呢？众所周知，圆锥曲线的标准方程之形式是如此简洁、优美、匀称，它给人以一种美的享受。就双曲线而言，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设M(x,y)是双曲线上的任意一点，焦距是2c，与F1,F2两点距离之差绝对值等于常数2a，则得其标准方程为 =1 ，在数学过程中 ，可以提出为什么要取“2c”与“2a”，而不取“c”与“a”呢？为什么要引进b呢？为何叫标准方程呢？我们说，数学的发明和创造，除了反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功，不仅有实践标准，逻辑标准，还有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。如上一问题，按定义可得：p=MMF1-MF2=2a得方程 =2a，此可作为双曲线方程。但它不符合简单性原则。故方程可化为(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即=1。我们说，此方程简单多了。但是，双曲线具有对称性，它所表示方程也该有对称性。于是，由于c2-a20，故令c2-a2=b2，即得 =1，此式是如此简洁优美。至此，我们清楚知道，一开始选择“2c”、“2a”正是为了追求简单性，而产生b是人为制造的，但实践证明，b正好是双曲线虚半轴，又具有鲜明几何意义。为何称为标准方程呢？应该说，对于同一个双曲线，建立不同的坐标系就可得到不同方程，其中若不规定一个作为标准的，那人们就没有共同的语言。如此教学，通过深挖教材中数学美之因素，既能阐明问题的本质，又能提高学生的完美能力，增强创造意识。悲伤的双曲线如果我是双曲线，你就是那渐近线如果我是反比例函数，你就是那坐标轴虽然我们有缘，能够