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微分方程与差分方程上机 合肥师范学院 MATLAB的符号运算 符号计算是对未赋值的符号对象 可以是常数 变量 表达式 进行运算和处理 MATLAB具有符号数学工具箱 SymbolicMathToolbox 将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境 符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的 符号表达式的建立 创建符号常量 符号常量是不含变量的符号表达式 用sym命令来创建符号常量 语法 sym 常量 创建符号常量例如 a sym sin 2 a sin 2 创建符号变量和表达式 1 使用sym命令创建符号变量和表达式语法 sym 表达式 创建符号表达式符号变量名 sym 表达式 符号表达式赋给符号变量 2 使用syms命令创建符号变量和符号表达式 syms用于创建多个符号变量语法 syms arg1 arg2 参数 把字符变量定义为符号变量symsarg1arg2 参数 把字符变量定义为符号变量的简洁形式 例 使用syms命令创建符号变量和符号表达式 symsabcx 创建多个符号变量f2 a x 2 b x c 创建符号表达式f2 a x 2 b x csyms a b c x f3 a x 2 b x c 创建符号表达式 符号矩阵 用sym和syms命令也可以创建符号矩阵 例如 A sym a b c d A a b c d symsabcdA ab cd A a b c d 符号表达式的代数运算 符号运算与数值运算的区别主要有以下几点 符号运算不需要进行数值运算 不会出现截断误差 因此符号运算是非常准确的 符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解 符号运算的时间较长 而数值型运算速度快 符号表达式的代数运算 1 符号运算中的运算符 1 基本运算符运算符 分别实现符号矩阵的加 减 乘 左除 右除 求幂运算 运算符 分别实现符号数组的乘 除 求幂 即数组间元素与元素的运算 运算符 分别实现符号矩阵的共轭转置 非共轭转置 2 关系运算符在符号对象的比较中 没有 大于 大于等于 小于 小于等于 的概念 而只有是否 等于 的概念 运算符 分别对运算符两边的符号对象进行 相等 不等 的比较 当为 真 时 比较结果用1表示 当为 假 时 比较结果则用0表示 2 函数运算 1 三角函数和双曲函数三角函数包括sin cos tan 双曲函数包括sinh cosh tanh 三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外 其余的asin acos atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同 2 指数和对数函数指数函数sqrt exp的使用方法与数值计算的完全相同 对数函数在符号计算中只有自然对数log 表示ln 而没有数值计算中的log2和log10 3 复数函数复数的共轭conj 求实部real 求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同 但注意 在符号计算中 MATLAB没有提供求相角的命令 4 矩阵代数命令MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag triu tril inv det rank poly eig expm等 它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样 例 求矩阵的行列式值 非共轭转置和特征值 symsa11a12a21a22A a11a12 a21a22 创建符号矩阵A a11 a12 a21 a22 det A 计算行列式ans a11 a22 a12 a21A 计算非共轭转置ans a11 a21 a12 a22 eig A 计算特征值 例 符号表达式f 2x2 3x 4与g 5x 6的代数运算 f sym 2 x 2 3 x 4 f 2 x 2 3 x 4g sym 5 x 6 g 5 x 6f g 符号表达式相加ans 2 x 2 8 x 10f g 符号表达式相乘ans 2 x 2 3 x 4 5 x 6 1 自由变量的确定原则小写字母i和j不能作为自由变量 符号表达式中如果有多个字符变量 则按照以下顺序选择自由变量 首先选择x作为自由变量 如果没有x 则选择在字母顺序中最接近x的字符变量 如果与x相同距离 则在x后面的优先 大写字母比所有的小写字母都靠后 2 findsym函数如果不确定符号表达式中的自由符号变量 可以用findsym函数来自动确定 语法 findsym f n 确定自由符号变量说明 f可以是符号表达式或符号矩阵 n为按顺序得出符号变量的个数 当n省略时 则不按顺序得出f中所有的符号变量 符号表达式的操作和转换 1 符号表达式中自由变量的确定 2 符号表达式的化简 1 pretty函数将给出排版形式的输出结果 2 collect函数将表达式中相同次幂的项合并 也可以再输入一个参数指定以哪个变量的幂次合并 3 expand函数将表达式展开成多项式形式 4 horner函数将表达式转换为嵌套格式 5 factor函数将表达式转换为嵌套格式 6 simplify函数利用函数规则对表达式进行化简 7 simple函数调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简 并显示化简过程 3 符号表达式的替换 MATLAB中 可以通过符号替换使表达式的形式简化 符号工具箱中提供了两个函数用于表达式的替换 1 subexpr该函数自动将表达式中重复出现的比较长的子表达式或字符串用变量替换 该函数的调用格式为 subexpr s s1 指定用符号变量s1来代替符号表达式s 可以是矩阵 中重复出现的字符串 替换后的结果由ans返回 被替换的字符串由s1返回 Y s1 subexpr X s1 该命令与上面的命令不同之处在于第二个参数为字符串 该命令用来替换表达式中重复出现的字符串 2 subs函数subs可以用指定符号替换表达式中的某一特定符号 subs s subs s new subs s old new 4 求反函数和复合函数 语法 finverse f v 对指定自变量v的函数f v 求反函数compose f g 计算复合函数f g x 5 符号表达式与多项式的转换 构成多项式的符号表达式f x 可以与多项式系数构成的行向量进行相互转换 MATLAB提供了函数sym2poly和poly2sym实现相互转换 例1 将符号表达式2x 3x2 1转换为行向量 f sym 2 x 3 x 2 1 f 2 x 3 x 2 1sym2poly f 转换为按降幂排列的行向量ans 321 例2 将行向量转换为符号表达式 g poly2sym 132 默认x为符号变量的符号表达式g x 2 3 x 2 符号极限 微积分和级数求和 符号极限假定符号表达式的极限存在 SymbolicMathToolbox提供了直接求表达式极限的函数limit 函数limit的基本用法如表所示 符号微分 函数diff是用来求符号表达式的微分 语法 diff f 求f对自由变量的一阶微分diff f t 求f对符号变量t的一阶微分diff f n 求f对自由变量的n阶微分diff f t n 求f对符号变量t的n阶微分 符号积分 积分有定积分和不定积分 运用函数int可以求得符号表达式的积分 语法 int f t 求符号变量t的不定积分int f t a b 求符号变量t的积分int f t m n 求符号变量t的积分说明 t为符号变量 当t省略则为默认自由变量 a和b为数值 a b 为积分区间 m和n为符号对象 m n 为积分区间 与符号微分相比 符号积分复杂得多 因为函数的积分有时可能不存在 即使存在 也可能限于很多条件 MATLAB无法顺利得出 当MATLAB不能找到积分时 它将给出警告提示并返回该函数的原表达式 符号级数 1 symsum函数语法 symsum s x a b 计算表达式s的级数和 说明 x为自变量 x省略则默认为对自由变量求和 s为符号表达式 a b 为参数x的取值范围 2 taylor函数语法 taylor F x n 求泰勒级数展开说明 x为自变量 F为符号表达式 对F进行泰勒级数展开至n项 参数n省略则默认展开前5项 例 求级数1 x x2 xk 的和 symsxk s1 symsum 1 k 2 1 10 计算级数的前10项和s1 1968329 1270080 s2 symsum 1 k 2 1 inf 计算级数和s2 1 6 pi 2 s3 symsum x k k 0 inf 计算对k为自变量的级数和s3 1 x 1 例 求ex的泰勒展开式 symsx s1 taylor exp x 8 展开前8项s1 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 1 120 x 5 1 720 x 6 1 5040 x 7 s2 taylor exp x 默认展开前5项s2 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 1 120 x 5 符号方程的求解 代数方程 语法 solve eq v 求方程关于指定变量的解solve eq1 eq2 v1 v2 求方程组关于指定变量的解说明 eq可以是含等号的符号表达式的方程 也可以是不含等号的符号表达式 但所指的仍是令eq 0的方程 当参数v省略时 默认为方程中的自由变量 其输出结果为结构数组类型 符号常微分方程 语法 dsolve eq con v 求解微分方程dsolve eq1 eq2 con1 con2 v1 v2 求解微分方程组说明 eq 为微分方程 con 是微分初始条件 可省 v 为指定自由变量 省略时则默认为x或t为自由变量 输出结果为结构数组类型 当y是因变量时 微分方程 eq 的表述规定为 y的一阶导数表示为Dyy的n阶导数表示为Dny微分初始条件 con 应写成 y a b Dy c d 的格式 一 利用Matlab求微分方程的解析解 结果 u tg t c 解输入命令 y dsolve D2y 4 Dy 29 y 0 y 0 0 Dy 0 15 x 结果为 y 3e 2xsin 5x 解输入命令 x y z dsolve Dx 2 x 3 y 3 z Dy 4 x 5 y 3 z Dz 4 x 4 y 2 z t x simple x 将x化简y simple y z simple z 结果为 x c1 c2 c3 c2e 3t c3e 3t e2ty c1e 4t c2e 4t c2e 3t c3e 3t c1 c2 c3 e2tz c1e 4t c2e 4t c1 c2 c3 e2t 建立数值解法的一些途径 1 用差商代替导数 若步长h较小 则有 故有公式 此即欧拉法 2 使用数值积分 对方程y f x y 两边由xi到xi 1积分 并利用梯形公式 有 实际应用时 与欧拉公式结合使用 此即改进的欧拉法 故有公式 3 使用泰勒公式 以此方法为基础 有龙格 库塔 RungeKutta 法 线性多步法等方法 4 数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O hk 1 时 k为正整数 h为步长 称它是一个k阶公式 k越大 则数值公式的精度越高 欧拉法是一阶公式 改进的欧拉法是二阶公式 龙格 库塔法有二阶公式和四阶公式 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式 返回 三 可以用Matlab软件求常微分方程的数值解 t x solver f ts x0 options 不同求解器Solver的特点 不同求解器Solver的特点 参数设置 参数设置 参数设置 参数设置 参数设置 参数设置 创建函数function2 保存在function2 m中functionf function2 t x f x 2 在命令窗口中执行 t x ode45 function2 0 1 1 plot t x t x o xlabel timet0 0 tt 1 ylabel xvaluesx 0 1 创建函数function3 保存在function3 m中 functionf function3 t x f x 1 0 1 x 1 x 2 0 01 t x 2 0 02 x 1 x 2 0 04 t 运行命令文件runf3 m t