泛函分析解答(张恭庆)第四章.doc

实变函数与泛函分析第四章习题1-18第四章习题1. 在R1中令r1(x, y) = (x - y)2，r2(x, y) = | x - y |1/2，问r1, r2是否为R1上的距离？解显然r1, r2满足距离空间定义中的非负性和对称性但r1不满足三角不等式：取点x = -1, y= 0, z = 1，则r1(x, z) = 4 2 = r1(x, y) + r1(y, z)，所以r1不是R1上的距离。而x, y, zR1，r2(x, y) = =r2(x, z) + r2(z, y)；所以r2是R1上的距离2. 设(X, r)是距离空间，令r1(x, y) = ，x, yX证明(X, r1)也是距离空间证明显然r1满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明r1满足三角不等式即可实际上x, y, zX，3. 设(X, r)是距离空间，证明| r(x, z) - r(y, z) | r(x, y)，x, y, zX；| r(x, y) - r(z, w) | r(x, z) + r(y, w)，x, y, z, wX证明x, y, z, wX，由三角不等式有- r(x, y) r(x, z) - r(y, z) r(x, y)，故第一个不等式成立由第一个不等式可直接推出第二个不等式：| r(x, y) - r(z, w) | | r(x, y) - r(y, z) | + | r(y, z) - r(z, w) | r(x, z) + r(y, w)4. 用Cauchy不等式证明(| z1 | + | z1 | + . + | zn | )2 n(| z1 |2 + | z1 |2 + . + | zn |2 )证明在P159中的Cauchy不等式中令ai = | zi |，bi = 1，i = 1, 2, ., n即可5. 用图形表示Ca, b上的S(x0, 1)注我不明白此题意义，建议不做6. 设(X, d)是距离空间，A X，int(A)表示A的全体内点所组成的集合证明int(A)是开集证明若A = ，则int(A) = ，结论显然成立若A ，则x A，$r 0使得S(x, r) A对y S(x, r)，令s = r - d(x, y)，则s 0，并且S(y, s) S(x, r) A；所以y int(A)故S(x, r) int(A)，从而int(A)是开集7. 设(X, d)是距离空间，A X，A 证明：A是开集当且仅当A是开球的并证明若A是开球的并，由于开球是开集，所以A是开集若A是开集，xA，存在r(x) 0，使得S(x, r(x) A显然A = xA S(x, r(x)8. 举例说明对于一般的距离空间X，并不是总有，xX，r 0例设X = a, b，定义d : X X R为d(a, a) = d(b, b) = 0，d(a, b) = 1则(X, d)是距离空间当r = 1时，不论x为a还是b，总有9. 设(X, d)是距离空间，证明：，证明由于，故由于和都是闭集，所以也是闭集，所以另一方面，由，得，所以；这样就证明了第一个等式由得，所以。10. 证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并证明由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可设(X, d)是距离空间，A X，A是闭集若A = 则结论显然成立，下面设A nN+，定义An = xA S(x, 1/n)，则An是开集，且A An因此An An若x A，则由于A是闭集，$NN+，使得S(x, 1/N) A = ；即x AN，所以xn An这样就证明了A = n An因此距离空间中的闭集必为可列个开集的交11. 设(X, d)是距离空间，是基本列，且有收敛子列证明证明，由于是基本列，存在自然数，当时由于子列，存在自然数，当时，且当时，因，故，从而12. 设在非空集合X上定义了两种距离和，且存在正数和，使得对任意的x, y X总有a d1(x, y) d(x, y) b d1(x, y)证明：在距离空间(X, d)和(X, d1)中，基本列与收敛点列是共同的并举出这种空间的例子证明设 xn 是(X, d)中的基本列，则对e 0，$NN+，当m, n N时d(xm, xn) ae此时有d1(xm, xn) d(xm, xn)/a 0，$ y1, y2A，使得d(x1, y1) - e f(x1)，d(x2, y2) - e f(x2)由于d(x1, y1) - e f(x1) d(x1, y2)，d(x2, y2) - e f(x2) d(x2, y1)，我们有f(x1) - f(x2) d(x1, y2) - ( d(x2, y2) - e ) | d(x1, y2) - d(x2, y2) | + e d(x1, x2) + e，f(x2) - f(x1) 0令则g是(X, d)上的连续函数，且g(F1) = 0，g(F2) = 1令G1 = g-1(-, 1/2)，G2 = g-1(1/2, +)，则容易看出它们就是满足条件的开集23. 举例说明全有界集不一定是列紧的例最为熟悉的例子是考虑R1中的开区间I = (0, 1)；作为R1的子空间，显然它是全有界的距离空间，但不是列紧的距离空间24. 证明距离空间(X, d)中紧集的闭子集也是紧集证明设E为(X, d)中紧集，F是(X, d)中闭集，F E设A = Aa | aL 是F的一个开覆盖，则B = AX F是E的一个开覆盖由E紧，B有有限子覆盖C，则可得到F的有限覆盖CX F，实际上它也是A的一个有限子覆盖所以F是紧集25. 证明：距离空间(X, d)中列紧集F的闭包是紧集证明由F列紧，知自列紧，因此是紧集26. 设(X, d)为紧距离空间， Fn 是闭集列，F1 F2 . Fn .，并且Fn 证明：n Fn 这个结论在一般的距离空间是否成立？证明若n Fn = ，则 Fnc 是的一个开覆盖，它存在有限的子覆盖由于F1c F2c . Fnc .，故存在自然数使得FN c = X，此即FN = 这与题目假设相矛盾在一般的距离空间显然没有这样的结论例如，在R1上考虑闭集列 Fn ，其中Fn = n, +)27. 设(X, d)为距离空间，F是X中的紧集，f : F R1连续证明f一致连续证明若不然，存在，及中的序列，使得，但由于是中的紧集，故也是自列紧集；存在自然数列的一个子列使得，皆收敛于中点设，由，知，但，此为不可能28. 设，求证方程，有连续解解因时方程是平凡的，不妨设，记，满足考虑映射，注意到 ，所以为压缩映射，故有唯一不动点，此即为方程的局部解同理方程有解，如此下去，直到则，即为所求的整体的连续解29. 设A = (a ij)nn为实矩阵，满足证明：对b = (b1, b2, ., bn)T，方程组Ax = b有唯一解证明定义T : Rn Rn为Tx = x - Ax + b则xRn为方程组的解等价于x是T的不动点，实际上， 所以T : Rn Rn为压缩映射，故有唯一不动点x，此x即为方程组的唯一解30. 设(X, d)为完备距离空间，T : X X满足证明T有唯一不动点