工程数学 作业 数学建模入门.doc

工程数学 1. 数学建模基础 工程数学01 数学建模基础：1.1. 实验目的与要求l 数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题1.2. 基本实验1.2.1. 贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。1) 在上述条件下小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？2) 在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3) 如果在第6年初，银行的贷款利率有0.6%/月调整到0.8/月 ，他们仍然采用等额还款方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？4) 某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款，但条件是：a) 每半个月付一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；b) 因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款？解：1. 建立模型：先考虑一般情况：设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每月的还款额，y为借贷公司的佣金，M为贷款的总还款次数。注意到：第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额 x 月利率+第k-1个月的欠款额 每月的还款额，即：Ak=Ak-1(1+r)-x, k=1,2,N, (1.4)其中N为贷款总月数，A0为最初的贷款额。2. 模型求解：由差分方程（1.4）得到第1个月的欠款额是： A1=A0(1+r)-x,第2个月的欠款额为： A2=A1(1+r)-x=A0(1+r)2-x(1+r)+1,第k个月的欠款额为： Ak=Ak-1(1+r)-x=A0(1+r)k-x(1+r)k-1+(1+r)+1=A0(1+r)k-x(1.5)贷款总月数为N，也就是说，第N个月的欠款总额为0，即AN=0，在式（1.5）中令k=N，导出：x= A0r(1.6)对于问题（1），r=0.006，N=240，A0=200000，由式（1.6）计算得到x=1574.699，即每月还款1574.70元，共还款1574.70x240=377928.00元，共付利息177928.00元。在计算出每月还款额x后，则可计算出每月的欠款额Ak，因此，如果打算提前还贷，只需用公式（1.5）计算出相应的Ak即可。对于问题（2），打算在5年后还清全部贷款，即k=60，则A60=173034.90元。对于银行调整利率，则相当于在旧利率下该月的欠款总额为A0，余下的还款总月数为N，调整后的利率为r，用公式（1.6）计算出调整利率后每月的还款额x。对于问题（3），A0=173034.90元（贷款5年后的还款额），N=180（还有150年的还款期），r=0.008（调整后的利率），由式（1.6）得到x=1817.329元。对于问题（4），通常提前3年还款，假设银行贷款利率不变，则第17年后还清全部贷款，即k=204，则A204= 50848.037元，总共需要支付给银行：1574.699x204+50848.037= 372086.633若采用借贷公司的还款方式计算：M=17x2x12=408 则总共需要支付： 1574.70 / 2 x M + y = 1574.70 / 2 x 408 + 200000 x 10% = 341238.8 372086.633结论：小王夫妇可以请这家借贷公司帮助还款1.2.2. 冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0（T0T）的环境中冷却的速度与温差T-T0成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.60C。,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4,，已知室温在几个小时内均为21.1，由案情分分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说：“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解：根据题意所示，T（t）为t时刻物体的温度，k为散热系数，T0为环境温度，可得微分方程： = k(T-T0);则可得t时刻物体的温度 T(t)=T0+Cekt（1）记晚上8时20分为t=0时刻，T(0)=32.6，T(1)=31.4，T0=21.1带入（1）式， 可解得，C=11.5，k=ln10.3-ln11.50.11，则，T(t)=21.1+11.5e-0.11t 设该女子遇害时间为t，T(t)=37，代入上式可得t=-2.95，t=0时刻为晚上8时20分，则遇害时间为8.33-2.95=5.385时23分而张某5时离开办公室，从办公室到案发现场步行需要5分钟，可见张某不能被排除在犯罪嫌疑人之外。1.2.3. 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）1) 某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？答：假设F(t)表示此人第一天在 t 时刻离山下的路程，G(t)表示此人第二天在 t 时刻离山下的路程，假设山顶到山下的路程为s，则由题意可知：F(8)=0，F(17)=s；G(8)=s，G(17)=0；令H(t)=F(t)-G(t)；则H(8)= -s，H(17)=s；又由于H(t)为连续函数，所以由连续函数的零点定理可知：在t=8,17中间，至少存在一点 t 使H(t)=0；也即F(t)-G(t)=0；即F(t)=G(t), 即可证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。2) 甲乙两站之间有汽车相同，每隔10分钟，甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有汽车相同，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？答：由题意可知，坐乙站发车的概率为甲的九倍，假定从甲站发车到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，则从乙站发车到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，即从乙站发车到甲站经过丙站的时刻要比另一个早1分钟3) 张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车与17:00抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生不行了多长时间？答：设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是17：55，张先生17:30抵达A市火车站。可见张先生步行了25分钟。4) 一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直到回到家中。问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？答：男孩和女孩从学校到家的时间都是0.5小时，当他们到家时小狗也到家，所以小狗往返跑的时间也是0.5小时，由于小狗的速度是每小时6公里，因此小狗所走的路程为3公里；设S为初始状态时小狗与家的位移，S1表示孩子到学校时小狗最终位移，i表示小狗与人的相遇次数，ti为第i次小狗与人相遇时所经历的总时间，v1，v2，v3分别表示小狗、男孩、女孩的运动速率，Si表示小狗第i次与孩子相遇时小狗的位移。小狗初始状态S位于家与女孩学校之间（1S0），当t=0时，小狗与女孩相向而行，i=1，之后变为小狗追男孩，在于男孩相遇（i=2）之后再追女孩，如此往返，i为奇数时小狗与女孩相遇，i为偶数时小狗与男孩相遇。S=0时，即小狗、男孩、女孩同时从家出发，设小狗先向女孩运动，假设小狗最后停在Si处，可以得到方程： 当i为无穷多次时，由定理可得S=0，对任意的Si，S0；即当S=0时，小狗的最终位置Si可以为-1,2中的任意数。由上面分析可知，在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的情况下，孩子到学校时小狗的最终位置不确定。1.3. 加分实验（公平投票问题）某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比：1) 为了公平性，评委对本单位选手不给分；2) 每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；3) 评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、。，依次类推。4) 评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平局分最低者获得资助最高，依次类推。本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？答：考虑一般的情况，首先设n个评委给出的评分分别为a1，a2，a3an,所以，该选手的平均得分为r1=（a1+a2+an）/n，若存在甲的单位不对其投票，则甲的得分为r2=（a1+a2+an-1）/n-1，而其他选手为前式。若甲的单位对其投票，则二者之差为r2-r1=（a1+a2+an-1）/n-1 - （a1+a2+